具脈沖效應的非線性時滯拋物系統的振動分析

羅李平, 曾云輝, 羅振國

(衡陽師范學院 數學與計算科學系, 湖南 衡陽 421002)

具脈沖效應的非線性時滯拋物系統的振動分析

羅李平, 曾云輝, 羅振國

(衡陽師范學院 數學與計算科學系, 湖南 衡陽 421002)

利用新的處理非線性擴散項的技巧及脈沖時滯微分不等式, 研究一類具脈沖效應和非線性擴散項的時滯拋物系統在第一類邊界條件下的振動性, 得到了該類系統所有解振動的若干新的充分性條件.結果表明, 系統振動是由脈沖和時滯效應引起的.

脈沖效應; 拋物系統; 振動性; 非線性擴散項; 時滯

0 引 言

脈沖現象在實際應用中普遍存在, 復雜動力系統網絡中的節點特性和網絡的拓撲結構中存在脈沖現象, 如Internet網絡中傳輸的切換信號、節點之間的連接就具有脈沖特點.實際控制系統中普遍存在時滯現象, 而時滯常會導致控制系統性能的完全改變, 對于這種現象, 人們常用脈沖偏微分系統描述.脈沖控制因其易于操作及經濟實用而被廣泛應用, 可用于大型空間航天器的減震裝置、衛星軌道的轉換技術、機器人的研制、神經網絡、混沌控制和保密通訊等.因此, 對脈沖偏微分系統理論的研究已引起人們廣泛關注.振動性是系統運動的又一特征, 也是對系統內部特征“恢復力”的一種刻畫.目前, 對脈沖偏微分系統解的振動性研究已取得了一些結果[1-9], 但關于具非線性擴散項脈沖偏微分系統解的振動性研究報道較少.

考慮一類具脈沖效應和非線性擴散項的時滯拋物偏微分系統:

及第一類邊界條件:

ui=0, (t,x)∈+×?Ω,t≠tk,k∈I∞,i∈Im,(3)

其中:Im={1,2,…,m};I∞={1,2,…};+=[0,∞);Ω?N是具有逐片光滑邊界?Ω的有界區域; Δ是N中的N維Laplace算子; 0

本文考慮系統(1)-(2)在第一類邊界條件(3)下解的振動性, 利用積分平均技巧和脈沖時滯微分不等式, 獲得了判別其所有解振動的不需要利用Dirichlet特征值問題的若干新的充分性判據.所得結果充分反映了脈沖量和時滯量在系統振動中的影響作用.

本文對系統(1)-(2)總假設下列條件成立:

(H1)τr(t)∈C(+,(0,∞)), 且0<τr(t)<τ,r∈In; 其中:σ是正常數;bk>0為常數;k∈I∞;

(H3)hi(ui),hir(ui)∈C1(,),uih(ui)≥0,uih(ui)≥0,hi(0)=0,hir(0)=0,i∈Im,r∈In.

定義1若對i∈Im,ui(t,x)滿足下列條件:

3) 對t≠tk,x∈?Ω,ui(t,x)滿足式(3).

則稱向量函數u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),…,um(t,x))T為邊值問題(1)-(3)的解.

定義2若數值函數ν(t,x):G→最終為正或最終為負, 則稱其為非振動的; 反之, 稱其為振動的.若向量函數u(t,x):G→m的每一分量都是非振動的, 則稱其為非振動的; 若u(t,x)至少有一分量作為數值函數是振動的, 則稱其為振動的.

1 主要結果

定理1設存在常數β>0, 使得tk+1-tk≥β,k∈I∞, 且σ≥β.若

則邊值問題(1)-(3)的所有解在區域G內振動.

證明: 反證法.假設邊值問題(1)-(3)有一個非振動解u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),…,um(t,x))T, 不失一般性, 設當t≥T>0時, 有|ui(t,x)|>0,i∈Im.令δi=sgnui(t,x), 則yi(t,x)=δiui(t,x)>0, (t,x)∈GT,i∈Im.令T1=T+max{τ,σ}, 則yi(t-τr(t),x)>0,yj(t-σ,x)>0, (t,x)∈GT1,i,j∈Im,r∈In.

(i) 當t≥T1,t≠tk,k∈I∞時, 式(1)的第一式兩邊關于x在Ω上積分, 有

由Green公式、邊值條件(3)及(H3), 有

其中: dS是?Ω上的面積元素;v表示?Ω的單位外法向量.

于是有

(ii) 當t≥T1,t=tk,k∈I∞時, 結合脈沖條件(2)及定義1中的條件1)可得

即

（10）

從而可知V(t)是脈沖時滯微分不等式(9),(10)的最終正解.由式(9)可知V′(t)≤-Q(t)V(t-σ)≤0,t≥T1,t≠tk.則當t≥T1,t≠tk時,V(t)在區間(tk,tk+1),k∈I∞上非增.對式(9)從tk到tk+β積分, 并注意到V(t)的非增性, 可得

類似定理1的證明可得如下結論:

定理3設存在常數β>0, 使得tk+1-tk≥β,k∈I∞, 且β>σ.若存在常數b>0, 使得0

則邊值問題(1)-(3)的所有解在區域G內振動.

于是, 由式(13),(14)有

對充分大的t, 由式(9)可得

又由于

于是, 由式(15),(16)可得

這與條件(12)矛盾.證畢.

注1利用本文的方法可類似地討論系統(1)-(2)滿足其他邊值條件(如第三類邊界條件

其中β(x)∈C(?Ω,(0,∞)))的所有解的振動結果.此時只要將假設條件(H3)改為:

(H3)′hi(ui),hir(ui)∈C1(,+),uih(ui)≥0,uih(ui)≥0,i∈Im,r∈In.

2 應 用

例1考慮如下具非線性擴散項的脈沖時滯拋物系統:

邊界條件為

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OscillationAnalysisofNonlinearDelayParabolicSystemswithImpulseEffect

LUO Liping, ZENG Yunhui, LUO Zhenguo
(DepartmentofMathematicsandComputationalScience,HengyangNormalUniversity,Hengyang421002,HunanProvince,China)

Using a new technique of treating nonlinear diffusion term and impulsive delay differential inequalities, the authors studied the oscillation problems for a class of delay parabolic systems with impulse effect and nonlinear diffusion term under first boundary condition and some new sufficient conditions are established for the oscillation of all solutions of such systems.The results obtained fully indicate that the system oscillation is caused by the effect of impulse and delay.

impulse effect; parabolic system; oscillation; nonlinear diffusion term; delay

2014-02-20.

羅李平(1964—), 男, 漢族, 教授, 從事脈沖微分系統解性態的研究, E-mail: luolp3456034@163.com.

湖南省自然科學基金青年項目(批準號: 13JJ4098)和湖南省“十二五”重點建設學科項目(批準號: 湘教發[2011]76號).

O175.26

A

1671-5489(2014)06-1131-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.05

趙立芹)