一類半無窮區間上分數階非線性微分方程邊值問題多個正解的存在性

張海斌, 賈 梅, 陳 強

(上海理工大學 理學院, 上海 200093)

一類半無窮區間上分數階非線性微分方程邊值問題多個正解的存在性

張海斌, 賈 梅, 陳 強

(上海理工大學 理學院, 上海 200093)

考慮一類具有Caputo導數的分數階非線性微分方程在半無窮區間上的邊值問題, 用Schauder不動點定理和Leggett-Williams不動點定理分別得到了該邊值問題至少1個正解和至少3個正解的存在性定理.

Caputo導數； 正解； 不動點定理； 半無窮區間

0 引 言

半無窮區間上的微分方程邊值問題及分數階微積分在應用數學和物理等領域應用廣泛.文獻[1-5]討論了半無窮區間上整數階邊值問題解或正解的存在性; 文獻[6-10]給出了分數階微積分方程的相關結果; 文獻[10]研究了一類半無窮區間上具有Riemann-Liouville分數階導數α階微分方程邊值問題正解的存在性, 其中1<α≤2.但目前對于半無窮區間上具有Sturm-Liouville邊界條件的分數階微分方程邊值問題正解的存在性研究報道較少.

本文考慮半無窮區間上分數階Sturm-Liouville邊值問題:

注1由p(s)的定義可知,M>0.

假設如下條件成立:

(H1) 存在函數h∈C([0,+∞),(0,+∞)),v∈C((0,+∞),(0,+∞)), 滿足

1 引 理

證明: 在式(3)兩邊同時積分得

根據邊界條件(4)可得

令

則

引理2設假設條件(H0)成立, 則對任意的t,s∈[0,+∞)有G(t,s)≥0, 且G(t,s)是連續的, 并滿足：

證明： 當0≤t

所以對任意的t,s∈[0,+∞)有G(t,s)≥0.

由G(t,s)的表達式易知G(t,s)在t,s∈[0,+∞)上是連續的.

1) 由G(t,s)的表達式, 易得結論成立.

顯然0<γ0<1.所以, 對任意的t∈[l1,l2]?(0,+∞)和s∈[0,+∞),G(t,s)≥γ0G(s,s).

引理3[6]若V?E, 且如下條件成立：

1)V在E中一致有界；

3)V在+∞處等度收斂, 即對任意的ε>0, 存在T(ε)>0, 使得對任意的z∈V, 當t≥T(ε)時, 成立|z(t)-z(+∞)|<ε.

則V是E中相對緊集.

定義算子A為

引理4若假設條件(H0),(H1)成立, 則算子A:E→E是全連續算子.

若z∈E, 則存在r0>0, 使得‖z‖≤r0.設t∈[0,+∞), 則

所以A:E→E連續.

設Ω?E是任意一個有界集, 則存在r>0, 使得當z∈Ω時, 有‖z‖≤r.對任意的z∈Ω, 可得

所以A(Ω)是一致有界的.

因此,A(Ω)在+∞處是等度收斂的.由引理3知A是相對緊的, 故A:E→E是全連續的.

引理5(Schauder不動點定理)[11]設S是Banach空間E的有界凸閉集, 而A:S→S是全連續的, 則A在S中必有不動點, 即存在x*∈S, 使得A(x*)=x*.

設P是實Banach空間E中一個錐.考慮P上一個非負連續凹泛函φ(x), 記PK={x∈P: ‖x‖

1) {y∈P(φ,L,K):φ(y)>L}≠?, 且當y∈P(φ,L,K)時, 恒有φ(Ay)>L；

3) 當y∈P(φ,L,R)且‖Ay‖>K時, 恒有φ(Ay)>L.

注2當K=R時, 條件1)包含條件3).

2 至少1個正解和3個正解的存在性

定理1若假設條件(H0)～(H2)成立, 則邊值問題(1)-(2)至少存在一個正解z(t), 滿足： 0≤z(t)≤R,t∈[0,+∞), 其中R在(H2)中定義.

證明： 記S={z:z∈E,‖z‖≤R}.對任意的z∈S, 有

即A(S)?S.由引理4知, 算子A:S→S是全連續算子.

定理2若假設條件(H0)～(H2)成立, 存在常數r,L>0, 0

3) 存在u∈C((0,+∞),(0,+∞))滿足u(t)h(x)≤f(t,x),u(t)≥k0v(t), 0

所以, 引理6的條件2)滿足.

下證引理6的條件1)滿足.令z(t)=(L+R)/2,t∈[0,+∞).由P(φ,L,R)的定義知,z∈P(φ,L,R).所以{z∈P(φ,L,R):φ(z)>L}≠?.若z∈P(φ,L,R), 由條件2),3)和引理2得

因此引理6的條件1)滿足.由注2知條件3)滿足.

由Leggett-Williams不動點定理知, 邊值問題(1)-(2)至少存在3個正解z1,z2,z3, 且滿足

3 應用實例

例1考慮如下邊值問題：

例2考慮如下邊值問題:

其中:b=2;p(t)=et;f(t,z)=v(t)h(z),

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ExistenceofMultiplePositiveSolutionsforaClassoftheBoundaryValueProblemsofFractionalOrderNonlinearDifferentialEquationontheHalfLine

ZHANG Haibin, JIA Mei, CHEN Qiang
(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

We studied a class of the boundary value problems for fractional order nonlinear differential equation with Caputo derivative on the half line.Based on the Schauder fixed point theorem and the Leggett-Williams fixed point theorem, the existence theorems of at least one positive solution and at least three positive solutions have been established, respectively for this class of the boundary value problems.

Caputo derivative; positive solutions; fixed point theorems; half infinite interval

2014-01-17.

張海斌(1989—), 男, 漢族, 碩士研究生, 從事常微分方程的研究, E-mail： 1042920826@qq.com.通信作者： 賈 梅(1963—), 女, 漢族, 碩士, 副教授, 從事常微分方程的研究, E-mail： jiamei-usst@163.com.

國家自然科學基金(批準號： 11171220)和滬江基金(批準號： B14005).

O175.8

A

1671-5489(2014)06-1145-06

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.07

趙立芹)