α-穩定噪聲驅動隨機Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

賈秀利, 關麗紅, 閆 龍

(1.吉林工商學院 基礎部, 長春 130062; 2.長春大學 理學院, 長春 130022,3.吉林大學 數學研究所, 長春 130012)

α-穩定噪聲驅動隨機Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

賈秀利1, 關麗紅2, 閆 龍3

(1.吉林工商學院 基礎部, 長春 130062; 2.長春大學 理學院, 長春 130022,
3.吉林大學 數學研究所, 長春 130012)

利用壓縮映射原理研究α-穩定噪聲驅動的隨機Cahn-Hilliard方程, 得到了該方程解的存在唯一性.

α-穩定噪聲; 隨機Cahn-Hilliard方程; 存在唯一性

0 引 言

Cahn-Hilliard方程[1]可模擬材料科學中二元合金相位分離的過程, 又稱調幅分解.即二元合金的溫度從T0淬火到臨界溫度Tc以下后, 二元合金分離成單質的過程.當該過程受到熱干擾時, Prato等[2]研究了布朗運動驅動的隨機Cahn-Hilliard方程, 給出了該方程解的性質; 文獻[3-4]給出了該類方程解分布密度函數的性質.

近年來, Lévy噪聲驅動的隨機微分方程受到研究者的廣泛關注[5-9].α-穩定噪聲是一種特殊的Lévy噪聲, 它能夠展現重尾現象, 使得研究α-穩定噪聲驅動的隨機微分方程很有意義[10-12].考慮下述α-穩定噪聲驅動的隨機Cahn-Hilliard方程:

方程(1)滿足初值條件u(0,·)=u0和齊次Neumann邊值條件:

其中:T>0;D=[0,π]d;Lt是α-穩定噪聲.α-穩定噪聲驅動的隨機Cahn-Hilliard方程描述材料科學中二元合金相位分離的過程, 其中:u表示二元合金相位分離率; 隨機項Lt表示熱擾動; Δu+f(u)表示化學勢;f是首項系數為正的3次多項式,f的標準形式是3次多項式f(u)=u-u3; Neumann邊值條件表示質量守恒和相位分離過程中與外部環境沒有熱交換.

方程(1)可用下列積分方程的形式表示[13]:

本文給出方程(1)解的存在唯一性.

1 預備知識

令H為實可分的Hilbert空間, 其內積為〈·,·〉0, H內的范數為‖·‖0.對于α∈(0,2), 令St是α/2-穩定的隸屬子, 即遞增的一維Lévy過程, 其Laplace變換為

引理1[3]存在C>0和c>0, 1≤a≤3, 對于t∈(0,T],x,y∈D, 如下估計成立:

2 主要結果

假設:

(H1)f是一個主項系數為正的3次多項式;

(H2) 對于p≥2,

首先截斷函數f, 使其在空間C([0,T];Lp(D))內, 當p≥3時是全局Lipschitz連續的; 其次證明截斷方程的解弱收斂到原方程的解.

令n>0, 并且定義Ψn: [0,∞)→[0,1]是一個C1函數, 使得

其中(t,x)∈[0,T]×D.

當p>3時, 令H為所有Lp(D)-值Ft適應的隨機過程u(t,·)的空間, 其范數為‖·‖H,

在空間H上定義非線性算子:

證明: 對于t∈[0,T], 利用引理1、H?lder不等式和文獻[14]中定理3.2, 有

下面證明L(t,x)是H?lder連續的.對于任意的s,t∈[0,T],x,y∈D,

類似于式(12)的計算, 可得E‖L1‖p≤C(h)(t-s)(-d/4+d/(4α))p.再注意到

利用式(4),(5), 可得

證明: 先證明當T足夠小時, 算子Hn和L是壓縮的.顯然,

（13）

利用Cardon-Weber[3]中第785頁的結果, 可知

‖Hn(u)(t,·)‖p≤C(n+1)3T1+d/(4r1)-(d+2)/4,

其中1≤r1<∞, 所以

‖Hn(u)(t,·)‖H≤∞.

（14）

另一方面, 由引理2, 對于任意的γ>1, 有

（15）

由式(13)～(15)可知,Hn和L是從H映到自身的映射.

利用Cardon-Weber[3]中第785頁的結果, 可知

如果CnTβ((2-d)/4+d/(4r1))<1, 則Hn是H上的壓縮映射.因此可得到方程在每個區間[0,T]內方程(9)解的存在唯一性.再利用Cardon-Weber[3]中第786～794頁的結果可得方程全局解的存在唯一性.

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ExistenceandUniquenessofSolutionsforStochasticCahn-HilliardEquationsDrivenbyα-StableNoise

JIA Xiuli1, GUAN Lihong2, YAN Long3
(1.DepartmentofBasicCourse,JilinBusinessandTechnologyCollege,Changchun130062,China;
2.CollegeofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China;
3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Applying contracting mapping, we studied a class of stochastic Cahn-Hilliard equations driven byα-stable noise, and obtained the existence and uniqueness of solutions for the equations.

α-stable noise; stochastic Cahn-Hilliard equations; existence and uniqueness

2014-04-15.

賈秀利(1973—), 女, 漢族, 碩士, 副教授, 從事微分方程的研究, E-mail: jiaxiaoyi888@126.com.

國家自然科學基金(批準號: 11171130).

O211.63

A

1671-5489(2014)06-1151-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.08

趙立芹)