美式回望看漲期權(quán)的有限元方法

張 琪, 高景璐

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

(uτ,v)+(ux,vx)-(κ2-1)(ux,v)+u1v1=(g,v)+f1v1, ?v∈([0,xN+1]).(4)

美式回望看漲期權(quán)的有限元方法

張 琪, 高景璐

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

考慮美式回望看漲期權(quán)的定價問題, 先利用變網(wǎng)格有限元方法對Black-Scholes方程進行離散, 求出期權(quán)值, 再采用Newton迭代法給出最佳實施邊界, 兩種方法交替使用, 得到了相應(yīng)的數(shù)值解.通過與二叉樹方法進行比較表明, 該數(shù)值方法有效.

美式回望看漲期權(quán)； 變網(wǎng)格有限元方法； 最佳實施邊界

0 引 言

美式回望期權(quán)是一類依賴于原生資產(chǎn)的最值期權(quán), 它是一類拋物型自由邊界模型, 對于美式回望期權(quán)數(shù)值方法的研究目前已有許多結(jié)果[1-6].本文主要考慮看漲期權(quán), 它滿足下列微分方程[7]:

觀察方程(1)可見, 該問題是反向變系數(shù)問題, 且關(guān)于空間方向是二階的, 將導(dǎo)致問題的求解較困難, 為此本文做以下變換, 并將問題簡化, 使得邊界條件為零[9]:

令κ1=2r/σ2,κ2=2(r-q)/σ2, 則方程(1)可變?yōu)?/p>

其中:

由于空間右端邊界是與時間有關(guān)的函數(shù), 無法應(yīng)用一般有限元求解, 因此本文采用變網(wǎng)格方法結(jié)合有限元法, 即在每個時間層上應(yīng)用有限元, 再利用u在τ時刻的值確定自由邊界B(τ).先討論B(τ).設(shè)uN=u(xN,τ)已知, 由于xN≤B(τ)[10], 則存在p使得B(τ)=xN+ph(h為網(wǎng)格步長), 利用方程(2)及Taylor展式可得p所滿足的非線性方程：

可以證明式(3)在區(qū)間[0,∞)上存在唯一解[8].

1 變網(wǎng)格有限元方法

下面主要對方程系統(tǒng)采用θ格式的有限元法進行離散化.

將變網(wǎng)格有限元法和Newton迭代法交替使用, 可逐步求出各時間層的函數(shù)值及最佳實施邊界.

給定ε=10-6和p(0), 算法如下.

令p(0)=pm-1;

Forj=1,2,…;

1) 求解式(2)得到uN(pj-1);

3) 如果|p(j)-p(j-1)|≤ε, 則終止循環(huán);

2 M矩陣及穩(wěn)定性分析

下面給出上述方法的理論分析[11].

證明： 對于式(2)取v=um-θ, 則原式可化為

對于

若假設(shè)成立, 結(jié)合邊值條件um-θ(B)=0有

注意到f1(τ)=eκ1τ, 且um-θ(x1)有界, 故

證明： 不失一般性, 本文只證明θ=1時(即隱格式)所形成的剛度陣為M矩陣, 式(2)可化為

不妨設(shè)所形成的剛度陣為A, 則有：

注意到當(dāng)ρ充分小時,A為M矩陣, 故結(jié)論得證.

3 數(shù)值解法及應(yīng)用實例

下面對一支美式回望看漲期權(quán)進行數(shù)值模擬.模型(1)中參數(shù)分別為r=0.1,q=0.05,σ=0.4, 空間間隔h=0.01, 時間份數(shù)M=512, 到期日T1=1, 參數(shù)θ=1.

例2在上述條件下, 圖2描述了在標(biāo)的資產(chǎn)價格最小值m=1時, 期權(quán)價格C與S,t的函數(shù)關(guān)系.

圖1 最佳實施邊界B與時間τ的函數(shù)關(guān)系Fig.1 Relationship between the optimal exercise boundary B and time τ

圖2 期權(quán)價格關(guān)于原生資產(chǎn)和時間的函數(shù)關(guān)系Fig.2 Function of option price on underlying assets and time

[1]Babbs S.Binomial Valuation of Lookback Options [J].J Econ Dynam Control, 2000, 24(11/12): 1499-1525.

[2]Andricopoulos A D, Widdicks M, Duck P W, et al.Universal Option Valuation Using Quadrature Methods [J].J Financial Econ, 2003, 67(3): 447-471.

[3]Chang G H, Kang J K, Kim H S, et al.An Efficient Approximation Method for American Exotic Options [J].J Future Markets, 2007, 27(1): 29-59.

[4]Lai T L, Lim T W.Exercise Regions and Efficient Valuation of American Lookback Options [J].Math Finance, 2004, 14(2): 249-269.

[5]Hofer M, Mayer P.Pricing and Hedging of Lookback Options in Hyper-Exponential Jump Diffusion Models [J].Appl Math Finance, 2013, 20(5): 489-511.

[6]Heuwelyckx F.Convergence of European Lookback Options with Floating Strike in the Binomial Model [J].Int J Theor Appl Finance, 2014, 17(4): 1450025.

[7]JIANG Lishang, DAI Min.Convergence of Binomial Tree Method for European/American Path-Dependent Options [J].SIAM J Numer Anal, 2004, 42(3): 1094-1109.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法 [M].北京: 高等教育出版社, 2003.(JIANG Lishang.Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M].Beijing: Higher Education Press, 2003.)

[9]Pantazopoulos K N, Houstis E N, Kortesis S.Front-Tracking Finite Difference Methods for the Valuation of American Options [J].Comput Econ, 1998, 12(3): 255-273.

[10]DAI Min, Kwok Y K.American Options with Lookback Payoff [J].SIAM J Appl Math, 2005, 66(1): 206-227.

[11]Holmes A D, YANG Hongtao.A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J].SIAM J Sci Comput, 2008, 30(4): 2158-2180.

FiniteElementMethodfortheValuationofAmericanLookbackCallOption

ZHANG Qi, GAO Jinglu
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We analyzed American lookback call option valuation problem.Using the variable mesh finite element algorithm, we obtained the discrete form of the Black-Scholes equation, which is used to determine the value of American lookback option.Furthermore, we got the optimal exercise boundary using the Newton iterative method.When the two methods were alternately used, we gave corresponding numerical solutions.Finally, compared with the binomial method, this method is efficient and the theoretical analysis.

American lookback call option; variable mesh finite element algorithm; optimal exercise boundary

2014-03-28.

張 琪 (1988—), 女, 漢族, 博士研究生, 從事隨機偏微分方程數(shù)值解的研究, E-mail： zqi13@mails.jlu.edu.cn.通信作者: 高景璐(1982—), 女, 漢族, 博士, 編輯, 從事偏微分方程數(shù)值及理論的研究, E-mail： jlgao@jlu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 11271157).

O241.8

A

1671-5489(2014)06-1167-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.11

趙立芹)