非奇異H-矩陣的一組新判定

邰志艷, 李慶春

(1.吉林醫藥學院 數學教研室, 吉林 吉林 132013； 2.北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

非奇異H-矩陣的一組新判定

邰志艷1, 李慶春2

(1.吉林醫藥學院 數學教研室, 吉林 吉林 132013； 2.北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

根據α-對角占優矩陣理論, 運用不等式的放縮技巧, 得到非奇異H-矩陣的幾個新判定條件, 推廣并改進了已有的對H-矩陣的判定方法, 并用數值算例說明了所給判定方法的優越性.

非奇異H-矩陣； 對角占優矩陣； 正對角矩陣；α-對角占優矩陣

0 引 言

非奇異H-矩陣在控制論及神經網絡大系統的穩定性、線性時滯系統的穩定性研究中應用廣泛, 然而其實際判別卻很困難[1-9].文獻[1]給出了一種判別方法, 改進了一些已有的結果.本文進一步改進文獻[1]的結果, 給出了新的判定條件.

本文記Mn()是n階復矩陣的集合,={1,2,…,n}.設A=(aij)∈Mn(), 又記

定義1[1-2]設A=(aij)∈Mn(), 若|aii|>Λi(A), ?i∈, 則稱A為嚴格對角占優矩陣, 記A∈D.若存在正對角陣X, 使得AX∈D, 則稱A為廣義嚴格對角占優矩陣, 記A∈D*.也稱A為非奇異H-矩陣, 記為A∈H.

定義2[3-4]設A=(aij)∈Mn(), 若?α∈(0,1], 使得

|aii|>αΛi(A)+(1-α)Ri(A), ?i∈,

則稱A為嚴格α-對角占優矩陣, 記為A∈D(α).

引理1[3-4]設A=(aij)∈Mn(), 若?α∈(0,1], 使得A∈D(α), 則A∈D*.

若存在N1,N2?滿足N1∩N2=?, 且N1∪N2=, 則稱N1和N2為集合的劃分, 記作=N1⊕N2.

1 主要結果

定理1設A=(aij)∈Mn(), 若=N1⊕N2,α∈(0,1], 對p,q>1,+=1, 下列兩個條件成立：

其中

且

則A是非奇異H-矩陣.

證明： 由已知條件知, 對?i∈有01, 由文獻[1]知,

令D=diag(d1,d2,…,dn),B=AD=(bij)n×n, 則:

1) 對?i∈N1, 由H?lder不等式, 有

即

則

進而

|bii|>αΛi(B)+(1-α)Ri(B).

（3）

2) 對?i∈N2, 由H?lder不等式, 有

即式(1)成立, 從而式(2)成立, 進而式(3)成立.

綜上可知,B是嚴格α-對角占優矩陣, 又由文獻[3]知B是非奇異H-矩陣, 進而知A是非奇異H-矩陣.

定理2設A=(aij)∈Mn(), 若=N1⊕N2,α∈(0,1], 且下列兩個條件成立：

則A是非奇異H-矩陣.

證明： 設

則由條件(i),(ii)知, 當i∈時, 0

令D=diag(d1,d2,…,dn),B=AD=(bij)n×n, 則:

1) 對?i∈N1, 有

即式(1)成立, 從而式(2)成立, 進而式(3)成立.

2) 對?i∈N2, 有

即式(1)成立, 從而式(2)成立, 進而式(3)成立.

綜上可知,B是嚴格α-對角占優矩陣, 又由文獻[3]知B是非奇異H-矩陣, 進而知A是非奇異H-矩陣.

注1易見文獻[1]中定理1和定理2是本文定理1和定理2當α=1時的特殊情形, 因此本文改進了文獻[1]的主要結果.

2 數值算例

例1設

[1]侯進軍, 李斌.H-矩陣的一組新判定 [J].應用數學學報, 2008, 31(2): 266-270.(HOU Jinjun, LI Bin.Some New Conditons for Nonsingular H-Matrices [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2008, 31(2): 266-270.)

[2]徐仲, 路全.判定廣義對角占優矩陣的一組充分條件 [J].工程數學學報, 2001, 18(3)： 11-15.(XU Zhong, LU Quan.A Set of Sufficient Conditions for Identifying Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J].Journal of Engineering Mathematices, 2001, 18(3)： 11-15.)

[3]孫玉祥.廣義對角占優矩陣的充分條件 [J].高等學校計算數學學報, 1997(3)： 216-223.(SUN Yuxiang.Sufficient Conditions for Generalized Diagonally Dominant Matrices [J].Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 1997(3)： 216-223.)

[4]張月朗, 莫宏敏, 劉建州.α-對角占優與廣義嚴格對角占優矩陣的判定 [J].高等學校計算數學學報, 2009, 31(2): 119-128.(ZHANG Yuelang, MO Hongmin, LIU Jianzhou.α-Diagonally Dominant and Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J].Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 2009, 31(2)： 119-128.)

[5]邰志艷, 李慶春.局部α-雙對角占優矩陣及其應用 [J].吉林大學學報: 理學版, 2013, 51(2): 207-211.(TAI Zhiyan, LI Qingchun.Localα-Double Diagonally Dominant Matrices and Their Application [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2013, 51(2): 207-211.)

[6]謝清明.關于H-矩陣的實用判定的注記 [J].應用數學學報, 2006, 29(6): 1080-1084.(XIE Qingming.A Note on the Practical Criteria for H-Matrices [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2006, 29(6): 1080-1084.)

[7]Varga R S.On Recurring Theorems on Diagonal Dominace [J].Linear Algebra and Its Appl, 1976, 13(1/2): 1-9.

[8]李慶春, 張樹功, 孫玉祥.矩陣對角占優性的推廣 [J].吉林大學學報: 理學版, 2006, 44(5): 700-704.(LI Qingchun, ZHANG Shugong, SUN Yuxiang.Generallization of Diagonal Dominance of Matrices [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(5): 700-704.)

[9]李慶春, 張樹功.矩陣C-特征值的包含區間 [J].吉林大學學報: 理學版, 2008, 46(6): 1037-1041.(LI Qingchun, ZHANG Shugong.Inclusion Interval of Coneigenvalues of a Matrix [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2008, 46(6): 1037-1041.)

ASetofNewCriteriaforNonsingularH-Matrices

TAI Zhiyan1, LI Qingchun2
(1.DepartmentofMathematics,JilinMedicalCollege,Jilin132013,JilinProvince,China;
2.CollegeofMathematicsandStatistics,BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China)

Based on the theory ofα-diagonally dominant matrices and some techniques for inequlities, several new sufficient conditions to determine non-singular H-matrices were obtained and thus the corresponding results were improved and generalized.These conditions have improved and generalized some relate existed results for H-matrices.A numerical example was given to show the advantages of our results.

nonsingular H-matrices； diagonlly dominant matrices； positive diagonally matrices；α-diagonal dominant matrices

2014-02-07.

邰志艷(1976—), 女, 漢族, 碩士, 副教授, 從事矩陣代數的研究, E-mail: taizhiyan@126.com.通信作者: 李慶春(1959—), 男, 漢族, 博士, 教授, 從事數值計算的研究, E-mail: liqingchun01@163.com.

國家自然科學基金(批準號： 11171133)和吉林省教育廳“十一五”科學技術研究項目(批準號： 2010130).

O151.21

A

1671-5489(2014)06-1171-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.12

趙立芹)