KdV-Burgers方程的重正化群方法

黃開銀, 田 華, 楊雙羚

(1.吉林大學 數學學院, 長春 130012； 2.東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

研究快報

KdV-Burgers方程的重正化群方法

黃開銀1, 田 華1, 楊雙羚2

(1.吉林大學 數學學院, 長春 130012； 2.東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

利用重正化群方法研究一類KdV-Burgers方程的奇異攝動問題, 得到了該方程的一致有效漸近展開式.

重正化群方法； 奇異攝動； KdV-Burgers方程

考慮如下KdV-Burgers方程：

它是一類較普遍的具有物理特性的非線性演化方程, 應用廣泛, 目前已取得了許多研究結果, 如Cavalcanti等[1]研究了帶有不定阻尼項KdV-Burgers方程Cauchy問題的指數穩定性; Yang等[2]研究了耦合KdV-Burgers方程的精確解; Molabahrami等[3]求得了一類KdV-Burgers方程的數值解; Jun等[4]運用改進三角函數法求得了組合KdV-Burgers方程的顯式精確解.本文主要利用重正化群方法[5-11]研究KdV-Burgers方程的奇異攝動問題.

（2）

為討論方便, 本文考慮方程(2)在2π周期邊值條件下的解, 對于更一般周期條件的討論完全一致.

令Ω=(0,2π), 并記

H(Ω)={u(x)|u(x)∈C3(),u(x+2π)=u(x),x∈},

是方程(2)滿足初邊值條件

證明: 為方便, 記算子L=-?xx+?xxx,F(u)=uux, 則初邊值問題(2)-(4)可改寫為

假設初邊值問題(5)的解u(x,t)有如下漸近展開式:

將式(6)代入式(5), 并對比等式兩端ε的同次冪系數得

將式(9)代入式(8)得

（12）

式(12)稱為重正化群方程, 解得

Uk(t)=φkeiεkφ0t.

（13）

因此, 問題(2)-(4)的一致有效漸近展開式為

其中Uk(t)由式(13)給出.證畢.

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RenormalizationGroupMethodfortheKdV-BurgersEquation

HUANG Kaiyin1, TIAN Hua1, YANG Shuangling2
(1.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China;
2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

The singular perturbation initial-boundary value problem of the KdV-Burgers equation was discussed.Using the renormalization group (RG) method, we gave the uniformly valid asymptotic expansion for the problem.

renormalization group method; singular perturbation; KdV-Burgers equation

2014-09-22.

黃開銀(1990—), 男, 漢族, 碩士研究生, 從事常微分方程理論及應用的研究, E-mail: huangky1010@163.com.通信作者： 田 華(1968—), 女, 漢族, 高級工程師, 從事常微分方程理論及應用的研究, E-mail: thua@jlu.edu.cn.

國家自然科學基金青年基金(批準號： 11301210).

O175.12

A

1671-5489(2014)06-1207-03

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.19

趙立芹)