矩陣的秩與非零特征值個數差的確定

呂洪斌, 楊忠鵬, 馮曉霞, 陳梅香, 梁小春

(1.北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013； 2.莆田學院 數學學院, 福建 莆田 351100；3.閩南師范大學 數學與統計學院, 福建 漳州 363000； 4.福州大學 數學與計算機科學學院, 福州 350108)

研究簡報

矩陣的秩與非零特征值個數差的確定

呂洪斌1, 楊忠鵬2,3, 馮曉霞3, 陳梅香2, 梁小春4

(1.北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013； 2.莆田學院 數學學院, 福建 莆田 351100；
3.閩南師范大學 數學與統計學院, 福建 漳州 363000； 4.福州大學 數學與計算機科學學院, 福州 350108)

以矩陣的Jordan標準形為工具, 給出了用矩陣方冪的秩表示的矩陣的秩和非零特征值個數差的確定方法, 其結果不依賴于矩陣的Jordan標準形.

矩陣秩； 矩陣方冪； 矩陣指數； 冪零矩陣

秩與非零特征值個數相等的矩陣在數理統計、試驗設計、多元統計分析、金融計量統計和經濟統計分析等領域應用廣泛.矩陣的Jordan標準形和其初等因子是互為確定的, 因此目前已有關于矩陣的秩和非零特征值個數關系的研究結果都依賴于矩陣的Jordan標準形[1-11].本文給出矩陣的秩和非零特征值個數差的確定方法, 得到的結果不依賴于矩陣的Jordan標準形, 而以矩陣方冪的秩為基本工具.文獻[2]從矩陣Jordan標準形出發, 得到:

命題1[2]設A∈n×n, 如果A的Jordan標準形中共有t個階數分別為n1,n2,…,nt的冪零Jordan塊, 則0≤r(A)-u(A)=n1+n2+…+nt-t≤n-1.

1 預備知識

參照文獻[2-3], 當A∈n×n時, 總設

其中:P∈n×n可逆;

Jj=λjEnj+Nnj∈nj×nj,λj≠0,j=t+1,t+2,…,s(3)

約定當ni=1時Ji是1階的, 因此1階冪零Jordan塊可記為N1(=0)∈； 當t=0時,ni=0,i=1,2,…,t； 顯然n.由文獻[1]或文獻[2]中引理3知k=n1=indA, 因此式(1)中冪零Jordan塊的不同階數最多有k=n1=indA個.當A∈n×n且k=indA時, 總設

其中di∈(i=1,2,…,k)為冪零Jordan塊不同階數的個數, 顯然d1+d2+…+dk=t.

易得下述引理.

引理1設A∈n×n, 則:

引理2設A∈n×n, 則:

1) indA=0 ?A可逆, 即r(A0)=r(Am)=n, ?m∈；

2) 1≤indA=k=n1? 存在1≤k≤m∈, 使得r(Ak-1)>r(Ak)=r(Am).

引理2表明indA即為JA中冪零Jordan塊的最大階數, 從而對冪零矩陣應用引理2即可得文獻[4]中命題2.5; 引理2中的2)表明可不依賴Jordan標準形而只使用矩陣方冪的秩也可以確定矩陣的指數.

引理3設A∈n×n, 則:

1) 如果存在1≤l≤n-1, 使得r(Al)≠r(Al+1), 則l

2) 當r(Al)=r(Al+1)時, 則indA≤l；

3) 當1≤k=indA時,r(A)>r(A2)>…>r(Ak-1)>r(Ak)=r(Am),k≤m.

文獻[9]證明了當A∈n×n為n-冪零矩陣時,r(Al)=n-l(l=1,2,…,n).實際上, 由An=0且An-1≠0即A∈Wn和引理2中2)知,n-1r(A2)>…>r(An-1)>r(An)=0, 即得文獻[9]的結果.

引理4設A∈n×n,mA(x)=xkh(x),h(x)∈[x]且h(0)≠0, 則indA=k.

引理5設A∈n×n, 則A∈Wn?u(A)=0.

引理6設A∈Wn, 則A為k-冪零的 ? indA=k.

2 主要結果

定理1設A∈n×n, 如果indA=k, 則:

證明： 當indA=k=0時, 由引理2中1)知式(7)成立, 因此只證明r(A)≤n-1的情形.

由引理2及r(A)≤n-1知, 1≤t且r(Am)=r(Ak)

又由式(1),(4)知d1k+d2(k-1)+…+2dk-1+dk=n1+n2+…+nt, 再由式(5),(6),(9)知

從而由命題3可知式(7)成立.

當1≤l≤k=indA時, 由式(1)～(6),(9)有

即

再由式(4),(10)有

即

又由r(A0)=r(E)=n=kd1+(k-1)d2+…+2dk-1+dk+r(Ak)和式(7)有

r(A0)-r(A)=n-r(A)=d1+d2+…+dk-1+dk=t,

可見式(11)對l=1也成立, 即

令k-l+1=f, 則l=k-f+1, 進而可得式(12)的等價形式

又由式(13)有dl=(r(Ak-l)-r(Ak-l+1))-(r(Ak-l+1)-r(Ak-l+2)), 即式(8)成立.證畢.

式(8)表明只用矩陣方冪的秩就可得到由式(7)確定的矩陣的秩和非零特征值個數的差.

如果indA=k,A∈n×n, 則有唯一的X滿足XAX=X,AX=XA,Ak+1X=Ak,X=AD稱為A的Drazin逆[5].由A的Drazin逆的唯一性知下述結論成立：

推論1設A∈n×n, 當存在k(≥1)∈, 使得r(Ak-1)>r(Ak)=r(Am),k≤m時, 則在式(1)～(3)下, 有

推論1在應用上比文獻[1]中定理2.5及文獻[6]中定理2.1.2更方便些.

定理2設A∈n×n, 則下述條件等價：

1)r(A)=u(A)；

2)A可逆或屬于零特征值的Jordan塊的階數都等于1；

3) indA=0或1且d1=n-r(A)；

4)mA(x)=h(x)或mA(x)=xh(x)且h(0)≠0；

5)r(A)=r(A2)；

6) 對任意的m(≥2)∈, 都有r(A)=r(Am).

證明: 1)?2).由式(7),(9)知indA=k, 即r(A)=r(Ak).由引理3中2)知indA≤1； 當indA=0時, 由引理2中1)知A可逆； 當indA=1時, 由引理2中2)得n1=indA=1, 即A屬于零特征值的Jordan塊的階數都等于1.

2)?3).當A可逆時, 由引理2中1)知indA=0且d1=0=n-r(A)； 當A屬于零特征值的Jordan塊的階數都等于1時, 由引理2中2)得indA=n1=1, 再由式(8)得,d1=r(A0)-2r(A)+r(A2)=n-r(A).

3)?4).由引理2和引理4可得結論.

4)?5).由引理2和引理4知indA=n1≤1, 再由引理2得r(A)=r(A2).

5)?6).由r(A)=r(A2)和引理3中2)得indA≤1, 于是由引理2知, 對任意的m(≥2)∈, 都有r(A)=r(Am).

6)?1).由m≥2任意性知r(A)=r(A2), 從而由引理3中2)得indA=k=0或1, 進而由式(7),(9)得r(A)-u(A)=r(A)-r(Ak)=0.證畢.

定理2簡化了文獻[2]中定理3的證明.

如果AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A, 則稱A∈n×n是群可逆的,A#為A的群逆, 此時也稱A為GP矩陣.由文獻[6-8]知, 不是每個矩陣都為群可逆的, 當然GP矩陣的群逆是唯一的.由文獻[7]中推論5.5.9知,A為GP矩陣 ? indA≤1, 從而定理2給出了GP矩陣的等價刻畫.

定理3設A∈n×n,n≥2, 則下述結論等價：

1)r(A)-u(A)=n-1；

2)r(A)=n-1,A∈Wn；

3) indA=n,JA=Nn；

4)mA(x)=xn；

5)An-1≠0,An=0；

6)r(Al)=n-l, 1≤l≤n-1且r(Al)=0,n≤l；

7) 對任意的1≤p,l≤n(p≠l), 總有r(Ap)≠r(Al).

證明: 1)?2)顯然.

2)?3).由A∈Wn和引理5知u(A)=0且n1+n2+…+nt=n, 再由式(7)得

r(A)-u(A)=r(A)-r(Ak)=r(A)=n-t=n-1,

知t=1, 進而由引理2知indA=k=n1=n, 即JA=Nn.

3)?4).由引理2和引理4知此時mA(x)=xn.

4)?5).由mA(x)=xn和引理4知indA=n1=n, 進而JA=Nn, 再由式(1),(5)得An-1≠0,An=0.

5)?6).由An-1≠0,An=0, 引理2和引理5知indA=n,u(A)=0； 又由引理3中3)知n-1≥r(A)>r(A2)>…>r(An-1)≥1且r(An)=0, 表明r(Al)=n-l, 1≤l≤n-1且r(Al)=0,n≤l.

6)?7)顯然.

7)?1).由對1≤p,l≤n(p≠l)總有r(Ap)≠r(Al)知,n-1≥r(A)>r(A2)>…>r(An-1)>r(An)≥0, 表明r(Al)=n-l, 1≤l≤n-1且r(An)=0； 又由引理5知u(A)=0, 進而由式(7)知n-1=r(A)-u(A)=r(A). 證畢.

定理3推廣并簡化了文獻[2]中定理5的相關結論.由定理1～定理3可得:

定理4設A∈n×n, 則:

1)r(A)=u(A) ?r(A)=r(A2)；

2)r(A)-u(A)=n-1 ?r(A)=n-1,r(An)=0 ? indA=n,JA=Nn?A為n-冪零的.

3 冪零矩陣Jordan標準形的確定

定理5設A∈Wn, 則:

1) 如果存在k-1∈, 使得r(Ak-1)=1, 則indA=k, 即A為k-冪零的；

2)dl=r(Ak-l)-2r(Ak-l+1)+r(Ak-l+2),d1=r(Ak-1), 1≤l≤k=indA.

證明: 當r(Ak-1)=1時, 如果0≠r(Ak)≤r(Ak-1)=1, 則r(Ak)=r(Ak-1)=1.由引理3中2)知indA≤k-1, 再由引理6得Ak-1=0, 矛盾； 表明r(Ak)=0, 因此由引理6知indA=k, 即A為k-冪零的. 由式(8)可得2).證畢.

定理6設A∈Wn, 若存在1≤k∈, 使得r(Ak+1)=r(Ak)

由矩陣相似的充要條件為它們有相同的Jordan標準形及定理5和定理6得:

定理7設A,B∈Wn, 則:

1)A,B相似 ?r(Al)=r(Bl), 1≤l≤n-1；

2) 如果1≤k=indA, 則A,B相似 ?r(Al)=r(Bl), 1≤l≤k.

文獻[9-11]討論了3-冪零矩陣, 于是由引理6、定理5～定理7, 有:

推論2設A,B∈Wn都是3-冪零的, 則:

1)A,B相似 ?r(A)=r(B),r(A2)=r(B2)；

2) 當A,B相似時,d1=r(A2),d2=r(A)-2r(A2),d3=n-2r(A)+r(A2), 且

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DeterminationofDifferencebetweentheRankandtheNumberofNon-zeroEigenvaluesofaMatrix

Lü Hongbin1, YANG Zhongpeng2,3, FENG Xiaoxia3, CHEN Meixiang2, LIANG Xiaochun4
(1.SchoolofMathematicsandStatistics,BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China；
2.SchoolofMathematics,PutianUniversity,Putian351100,FujianProvince,China;
3.SchoolofMathematicsandStatistics,MinnanNormalUniversity,Zhangzhou363000,FujianProvince,China;
4.CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350108,China)

Taking the Jordan canonical form as a basic tool, we showed the determination method of the difference between the rank of matrix’s power and the number of non-zero eigenvalues, with its result independent of the Jordan canonical form.

rank of a matrix; matrix power; matrix index; nilpotent matrix

2014-05-21.

呂洪斌(1964—), 男, 漢族, 博士, 教授, 從事數值代數和矩陣理論及其應用的研究, E-mail: lhb1964@126.com.通信作者： 楊忠鵬(1947—), 男, 漢族, 教授, 從事矩陣及其應用的研究, E-mail: yangzhongpeng@126.com.

吉林省教育廳科學技術研究項目(批準號： 2013192)、福建省教育廳科研基金(批準號： JA12286; JA08196)、福建省自然科學基金(批準號： 2010J01018)和2008年福建省高校服務海西建設重點項目(批準號： 2008HX03).

O151.21

A

1671-5489(2014)06-1210-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.20

趙立芹)