一類反周期分數階q-差分邊值問題解的存在性

孫明哲, 侯成敏

(延邊大學 理學院數學系, 吉林 延吉 133002)

(f)(x)=(x-qt)(α-1)f(t)dqt, α>0, x∈[0,1],

研究簡報

一類反周期分數階q-差分邊值問題解的存在性

孫明哲, 侯成敏

(延邊大學 理學院數學系, 吉林 延吉 133002)

利用基本的不動點定理研究一類帶有反周期非線性分數階q-差分方程邊值問題, 得到了邊值問題解的存在與唯一的充分條件, 并通過具體方程驗證了所得結論.

分數階q-差分; 邊值問題; 不動點定理

q-微積分在量子力學、核及高能物理等研究領域應用廣泛.文獻[1-3]給出了分數階q-微積分的基本概念和性質; 文獻[4-9]給出了分數階q-差分邊值問題的研究成果.但對于含有分數階邊值條件的邊值問題目前報道很少, 本文討論帶有分數階邊值條件的q-差分邊值問題:

解的存在性和唯一性, 其中: 1<α<2, 0<ν<1為常數;f(t,u(t)): [0,1]×[0,+∞)→為連續函數是Caputo分數階q-導數.

定義1[8]分數階q-積分定義為

引理1[10]設X是一個Banach空間,T:X→X是一個完全連續算子, 集合V={u∈X|u=μTu, 0<μ<1}有界, 則算子T在X上有不動點.

定理1設1<α<2, 0<ν<1, 則u(t)是問題(1)解的充要條件是u(t)有如下形式:

其中

證明: 假設u(t)是問題(1)的解, 則有

利用邊值條件(2)解得

將C1,C2代入式(4)得式(3).反之, 如果u(t)滿足式(3), 則易推出u(t)是問題(1)-(2)的解.證畢.

記Banach空間C=C([0,1],), 賦范數‖u‖|u(t)|.定義算子T:C→C, 且

由定理1知問題(5)有解當且僅當算子T有不動點.

定理2假設對于t∈[0,1],u∈C, 存在常數M>0, 滿足|f(t,u)|≤M, 則問題(1)-(2)至少存在一個解.

證明: 首先, 考慮算子T是完全連續的.由f的連續性易知T是連續的.令Ω?C有界, 則由u∈Ω, |f(t,u)|≤M, 得

表明‖Tu(t)‖≤M2, 此外

因此對于t1,t2∈[0,1],t1

故T在[0,1]上是等度連續的, 由Arzela-Ascoli定理知, 算子T:C→C是完全連續的.

其次, 考慮集合V={u∈C|u=μTu, 0<μ<1}有界.若u∈V,u=μTu, 0<μ<1, 對于任意的t∈[0,1], 有|u(t)|≤μ|Tu(t)|≤|Tu(t)|≤M2, 從而對于任意的t∈[0,1], 有‖u(t)‖≤M2, 即V有界.

由引理1知,T至少有一個不動點, 即問題(1)-(2)至少存在一個解.證畢.

定義Ω={u∈C|‖u‖

由引理2知,T至少有一個不動點, 即問題(1)-(2)至少存在一個解.

定理4假設f: [0,1]×→為連續函數, 滿足|f(t,u)-f(t,v)|≤L|u-v|, ?t∈[0,1],u,v∈且L<, 則問題(1)-(2)存在唯一解.

因此‖(Tu)(t)‖≤r.

對于u,v∈C,t∈[0,1], 有

例1考慮邊值問題

易知

滿足定理2的假設條件, 因此問題(6)至少有一個解.

例2考慮邊值問題

例3考慮邊值問題

滿足定理4的假設條件, 故問題(8)有唯一解.

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ExistenceofSolutionsforaClassofAnti-periodicBoundaryValueProblemswithFractionalq-DifferenceEquations

SUN Mingzhe, HOU Chengmin
(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,JilinProvince,China)

We studied a class of the fractionalq-differences boundary value problem with the fractionalq-differences boundary conditions with the aid of some standard fixed point theorems, obtaining sufficient conditions for the existence and uniqueness results of solutions.As the application, some equations were presented to illustrate the main results.

fractionalq-difference; boundary value problem; fixed point theorem

2014-01-23.

孫明哲(1979—), 女, 漢族， 碩士, 講師, 從事微分方程理論及應用的研究, E-mail: mzsun@ybu.edu.cn.通信作者： 侯成敏(1964—), 女, 漢族， 碩士, 教授, 從事微分方程理論及應用的研究, E-mail: cmhou@foxmail.com.

國家自然科學基金(批準號: 11161049)和吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目(批準號: 吉教科合字[2014]第20號).

O175.8

A

1671-5489(2014)06-1215-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.21

趙立芹)