一類非本原代換誘導的超空間系統

汪 威, 李 健, 朱曉剛, 廖夢蘭, 李俊杰

(1.吉林農業大學 信息技術學院, 長春 130118； 2.長春工程技術學院, 長春 130117；3.吉林大學 數學研究所, 長春 130012)

研究簡報

一類非本原代換誘導的超空間系統

汪 威1, 李 健1, 朱曉剛2, 廖夢蘭3, 李俊杰1

(1.吉林農業大學 信息技術學院, 長春 130118； 2.長春工程技術學院, 長春 130117；
3.吉林大學 數學研究所, 長春 130012)

考慮具有兩個符號等長的非本原代換誘導的超空間系統的Li-Yorke混沌性, 利用該代換系統存在Li-Yorke混沌集的條件, 進一步得出了其誘導的超空間系統存在Li-Yorke混沌集和不存在Li-Yorke混沌集的條件.

非本原代換; 超空間系統; Li-Yorke混沌

0 引 言

混沌性在農業生產中應用廣泛, 如玉米產量的預測、小麥病蟲害預報及灌區水資源優化等.關于代換系統的混沌性研究目前已有一些成果, 如文獻[1]討論了具有兩個符號本原代換誘導的子移位的Li-Yorke混沌性態及不存在分布混沌對的性質; 文獻[2]給出了一類非本原等長代換誘導的子移位的混沌性; 文獻[3]探討了非本原非等長代換的混沌性; 文獻[4]給出了一類代換系統是Li-Yorke混沌的充要條件及不是分布混沌的一個充分條件.本文研究由兩個符號非本原等長代換誘導的子移位的超空間系統的混沌性態.

設(X,f)為緊致系統,d是X的一個拓撲度量, 如果Y?X中任何不同兩點x,y都滿足:

則稱Y為f的Li-York混沌集.

文獻[5-6]給出了一些動力性質在緊致系統及其誘導的超空間系統上的等價關系.本文涉及的有關超空間系統的定義及記號參見文獻[7].

設(X,J)是一個拓撲空間,P(x)表示X的所有非空子集構成的集合,G1,G2,…,Gn是X的n個非空開集, 令

則所有形如B(G1,G2,…,Gn)的集合構成了空間P(x)某個拓撲的基, 該拓撲稱為Vietoris拓撲.該拓撲空間記作(P(X),Jv), 也稱為(X,J)的超空間.本文主要考察空間(X,J)的閉集類, 即K(X)={K∈P(X);K是X的非空緊子集}.

設(X,d)為緊致度量空間.對任意的A,B∈K(X), 令ρ*(A,B)=inf{ε>0:A?N(B,ε)}, 稱為集合A,B的Hausdorff分離.其中N(B,ε)={x∈X;d(x,A)<ε}.H(A,B)=max{ρ*(A,B),ρ*(B,A)}稱為K(X)上的Hausdorff度量.

1 非本原代換

定義1設η為符號空間Σ2上的等長代換, 定義為η(0)=a=a0a1…an-1,η(1)=b=b0b1…bn-1, 且滿足條件: 1)a0=0; 2) 存在i>0, 使得ai=1.則η在Σ2中有一個以0開頭的不動點, 記作u.

定義2如果0η(1), 即η(1)包含0, 則稱η是本原的; 否則稱η是非本原的.

下面假設f是由等長代換η誘導的代換子移位, 并且假設：

(H1) 存在不同的s1,s2,t∈{0,1,…,n-1}, 使得as1≠bs1,as2≠bs2, 并且at=bt.

引理1[8]設η是非本原代換, 則有如下結論:

1) 若η滿足條件(H1), 則其誘導映射f有c稠密的Li-Yorke混沌集；

2) 若η不滿足條件(H1), 則其誘導映射f沒有Li-Yorke混沌集.

2 存在Li-Yorke混沌集的條件

證明: 由引理1中1)可知,η滿足條件(H1), 則η存在Li-Yorke混沌集S?Xη, 使得對任意的x,y∈S, 都有

而{{x},{y}}?K(Xη), 則

ρ*({x},{y})=ρ(x,y),ρ*({y},{x})=ρ(y,x),

對應的Hausdorff度量為

H({x},{y})=max{ρ*({x},{y}),ρ*({y},{x})}=ρ(x,y).

于是, 對上述{x},{y}, 有

3 不存在Li-Yorke混沌集的條件

證明: 根據定義1,η滿足條件a0=0.若η不滿足條件(H1), 則對任意的i>0, 都有ai=1,η存在一個以0開頭的不動點, 記為u=011…, 并且按照Xη的定義, 在Xη中只有兩個點, 即v=111…和不動點u=011….因而, 集合K(Xη)是有限集, 即K(Xη)={{u},{v},{u,v}}.

[1]廖公夫, 范欽杰, 王立冬.一類本原代換與混沌集 [J].中國科學A輯: 數學, 2008, 38(4)： 469-476.(LIAO Gongfu, FAN Qinjie, WANG Lidong.A Class of Primitive Substitutions and Chaotic Sets [J].Science China Series A: Mathematics, 2008, 38(4)： 469-476.)

[2]廖公夫, 汪威, 范欽杰.一類非本原代換與混沌 [J].數學年刊, 2009, 30A(2)： 183-188.(LIAO Gongfu, WANG Wei, FAN Qinjie.A Class of Non-primitive Substitutions and Chaos [J].Chinese Annals of Mathematics, 2009, 30A(2): 183-188.)

[3]楚振艷, 廖麗.一類非本原代換系統的拓撲熵與混沌 [J].吉林大學學報: 理學版, 2011, 49(6)： 1053-1054.(CHU Zhenyan, LIAO Li.Topological Entropy and Chaos for a Class of Non-primitive Substitution Systems [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(6)： 1053-1054.)

[4]王宏仁, 廖麗, 范欽杰.一類非本原代換系統的混沌性態 [J].吉林大學學報: 理學版, 2011, 49(2): 240-242.(WANG Hongren, LIAO Li, FAN Qinjie.Chaotic Behaviors for a Class of Non-primitive Substitution Systems [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(2): 240-242.)

[5]馬先鋒.一類超空間上的離散動力系統 [D].長春: 吉林大學, 2006.(MA Xianfeng.Discrete Dynamical Systems for Some Hyperspaces [D].Changchun: Jilin University, 2006.)

[6]MA Xianfeng, HOU Bingzhe, LIAO Gongfu.Chaos in Hyperspace System [J].Chaos Solitons Fractals, 2009, 40(2): 653-660.

[7]Klein E, Thompson A.Theory of Correspondences [M].New York: Wiley-Inter-Science, 1984.

[8]廖公夫, 王立冬, 范欽杰.映射迭代與混沌動力系統 [M].北京： 科學出版社, 2013.(LIAO Gongfu, WANG Lidong, FAN Qinjie.Mapping Iteration and Chaotic Dynamical System [M].Beijing: Science Press, 2013.)

HyperspaceSystemInducedbyaClassofNon-primitiveSubstitution

WANG Wei1, LI Jian1, ZHU Xiaogang2, LIAO Menglan3, LI Junjie1
(1.CollegeofInformationTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China;
2.InstituteofChangchunEngineeringTechnology,Changchun130117,China;
3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We discussed Li-Yorke chaotic properties for hyperspace systems induced by non-primitive substitutions on two symbols.With the help of the conditions of containing Li-Yorke chaotic sets in the substitution system, we obtained the conditions for the hyperspace systems to contain Li-Yorke chaotic sets and not to contain Li-Yorke chaotic sets.

non-primitive substitution; hyperspace system; Li-Yorke chaos

2014-07-02.

汪 威(1981—), 女, 漢族, 博士, 講師, 從事拓撲動力系統的研究, E-mail: maggie0403@126.com.

吉林省科技發展計劃項目(批準號： 20140204045NY; 20130522110JH)、吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目(批準號： 吉教科合字[2014]第468號)和吉林農業大學科研啟動基金(批準號： 201310).

O189

A

1671-5489(2014)06-1219-03

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.22

趙立芹)