基于極大重疊離散小波變換的金融高頻數據波動率估計

秦喜文, 劉文博, 董小剛, 王純杰, 李純凈

(1.長春工業大學 基礎科學學院, 長春 130012； 2.吉林大學 數學學院, 長春 130012；3.吉林建筑大學 基礎科學部, 長春 130118)

研究簡報

基于極大重疊離散小波變換的金融高頻數據波動率估計

秦喜文1,2, 劉文博3, 董小剛1, 王純杰1, 李純凈1

(1.長春工業大學 基礎科學學院, 長春 130012； 2.吉林大學 數學學院, 長春 130012；
3.吉林建筑大學 基礎科學部, 長春 130118)

利用極大重疊離散小波變換方法對資產收益的積分波動率進行估計.針對滬深300指數選取不同小波函數估計積分波動率, 計算相對誤差統計量.結果表明, 不同小波函數對積分波動率估計不存在顯著差異, 但隨著抽樣頻率的增加, 估計精度逐漸提高.對尺度及其相應尺度下的波動率進行對數變換可見, 二者之間存在顯著的線性關系, 隨著尺度的增加, 波動率逐漸變小.

高頻數據； 極大重疊離散小波變換； 波動率估計； 小波方差

假設X={Xt:t=0,…,N-1}為原始的時間序列數據, 定義運算

1.2 小波方差 假設{Xt:t=…,-1,0,1,…}表示一個離散參數實值隨機過程, 令

1.3 積分波動率的小波估計 資產收益的積分波動率由下式給出:

其中ωJ,k(dp)表示dp的小波系數.

在給定一組等間隔抽樣的時間序列(tj,p(tj))(j=1,2,…,n)下, 構造基于Haar小波的系數:

為了獲取積分波動率的小波估計, 將式(6)代入式(5)得

2 實例分析

2.1 利用不同小波函數估計積分波動率 本文所研究的序列為上海和深圳證券交易市場中選取300只A股作為樣本編制而成的成份股指數, 即滬深300指數, 選取2010-05—2012-05每間隔5 min的收盤價數據, 共24 192個樣本數據.采用股票指數的對數收益率作為分析變量, 令t時刻收盤價為pt, 收益率為rt, 表示為rt=lnpt-lnpt-1.

先分別利用Haar,Daubecheies,Coiflets,Least Asymmetric小波函數對滬深300指數的對數收益率進行極大重疊離散小波變換(MODWT), 得到小波系數, 估計資產收益率的日內積分波動率.同時, 在原始樣本數據的基礎上進行重采樣, 得到間隔為10 min的樣本數據, 利用上述方法計算日內積分波動率, 進而計算出不同采樣間隔積分波動率相對誤差的統計指標, 結果列于表1.

表1 不同小波函數的相對誤差統計結果Table 1 Relative errors based on different wavelet functions

由表1可見: 在相同采樣間隔情況下, 利用不同小波函數計算積分波動率的均值、標準差、偏度、峰度不存在顯著性差異; 5 min采樣間隔積分波動率估計的相對誤差平均水平和波動性均小于10 min采樣間隔, 表明對積分波動率估計時盡量要采用高頻數據； 偏度結果表明相對誤差均為右偏的, 5 min采樣間隔的峰度接近3, 表明近似服從正態分布; 而10 min采樣間隔的峰度除Haar小波外均小于3, 表明相對誤差分布比正態分布平坦.

圖1為小波估計積分波動率相對誤差的直方圖.由圖1可見, 隨著抽樣頻率的降低(采樣間隔從5 min到10 min), 無論采用哪種小波函數, 相對誤差分布均顯著變大, 并且在分布的尾部有更多的極端值出現, 即有更大的誤差出現, 高頻或超高頻數據能產生更多的有效信息, 估計效果更好.對滬深300指數的對數收益率進行極大重疊離散小波變換時, 需要給定使用哪種小波函數, 試驗表明, 積分波動率的估計結果對所用的小波并不敏感.

(A),(B) Db4小波估計; (C),(D) Haar小波估計; (E),(F) C6小波估計; (G),(H) La8小波估計.

圖2 滬深300指數尺度與波動率的關系Fig.2 Relationship between scale and volatility of Shanghai and Shenzhen 300 indices

2.2 不同尺度與積分波動率的關系 下面考慮基于MODWT方法計算不同尺度τj下的積分波動率估計, 其中尺度τj=2j-1(j=1,2,…,14), 對應的尺度分別為20×5,21×5,22×5,…,213×5 min(約170 d).采用Db小波, 具有n階消失矩, 而且正則性隨n增加而線性增加的小波函數中支集最小的函數.不同尺度積分波動率的結果如圖2所示, 其中小尺度對應高頻數據, 大尺度對應低頻信息.由圖2(A)可見, 隨著尺度的增加, 積分波動率逐漸變小, 并且近似呈負指數變換.針對尺度和積分波動率分別取自然對數, 由圖2(B)可見, 隨著尺度的增加, 收益率的積分波動率逐漸變小, 并且二者具有顯著的線性關系, 即數據處于高頻時, 收益率的積分波動率大, 而在低頻時, 積分波動率小.通過離散小波變換系數估計滬深300指數的5 min收益波動率, 從而得到不同尺度下的積分波動率, 對尺度及其相應尺度下的方差進行對數變換可見, 二者之間存在顯著的線性關系.

綜上所述, 本文利用極大重疊離散小波變換方法對金融高頻數據的積分波動率進行了估計, 實證分析表明: 在相同抽樣間隔下, 采用不同的小波函數計算積分波動率, 其相對誤差的統計指標不存在顯著差異性； 在不同抽樣間隔下, 隨著采樣頻率的增加(由低頻到高頻), 積分波動率估計的相對誤差逐漸減小, 波動性也逐漸減小, 表明當增加抽樣頻率時, 能有效提高積分波動率估計的精度; 對尺度及其相應尺度下的方差進行對數變換, 可見二者之間存在顯著的線性關系； 隨著尺度的增加(頻率降低), 積分波動率的估計值逐漸減小.

參考文獻

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VolatilityEstimationofFinancialHighFrequencyDataBasedonMaximumOverlapDiscreteWaveletTransform

QIN Xiwen1,2, LIU Wenbo3, DONG Xiaogang1, WANG Chunjie1, LI Chunjing1
(1.SchoolofBasicScience,ChangchunUniversityofTechnology,Changchun130012,China;
2.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China;
3.DepartmentofBasicScience,JilinJianzhuUniversity,Changchun130118,China)

Integrated volatility of asset return was estimated by means of maximum overlap discrete wavelet transform.The different wavelet functions were chosen to estimate the integrated volatility of Shanghai and Shenzhen 300 indices, and relative error statistics was calculated.The results show that integrated volatilities based on different wavelets had no significant difference.The estimated accuracy was improved with the increasing of sampling frequency.There was an obvious linear relationship between logarithmic scale and logarithmic volatility.The volatility decreasd gradually with the scale increasing.

high frequency data; maximum overlap discrete wavelet; volatility estimation; wavelet variance

[8], 下面簡要介紹一下積分波動率的小波估計方法.

2014-03-10.

秦喜文(1979—), 男, 漢族, 博士, 副教授, 從事數據分析與統計建模的研究, E-mail: qinxiwen@mail.ccut.edu.cn.通信作者： 董小剛(1961—), 男, 漢族, 博士, 教授, 博士生導師, 從事高頻時間序列數據的研究, E-mail: dongxiaogang@mail.ccut.edu.cn.

國家自然科學基金(批準號： 11301036; 11226335； 11071026).

O29

A

1671-5489(2014)06-1222-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.23

金融高頻數據的波動率估計目前已成為數據分析領域的研究熱點[1-2].波動率不僅可以體現金融市場的效率與質量, 而且可作為衡量資產風險的重要指標[3-4].在資產定價、投資組合和風險管理等領域, 準確捕捉收益的波動性, 可正確評判收益水平, 從而有效規避風險[5-6].

針對金融高頻數據的波動率非參數估計問題研究目前已有許多結果.如Merton[7]提出了用“已實現波動率”(realized volatility, RV)估計高頻數據中波動率的方法.當觀測數據是連續的且沒有測量誤差時, RV是波動率的有效估計.Lunde等[8]首次給出了已實現波動和積分波動率(integrated volatility)的小波估計, 并驗證了該估計與Fourier估計[9]效果一樣好, 且小波估計比Fourier估計需要更少的樣本量, 計算成本更低.Subbotin[10]用小波濾波器, 給出了時變的小波波動率估計, 但其只適合計算固有頻率的變差.Mancino等[11]利用高頻數據對多元波動率進行了估計.本文引入極大重疊離散小波變換方法估計積分波動率, 用上證綜合指數進行實例分析, 并采用不同小波基函數對原始樣本進行離散小波變換, 通過得到的小波系數構建波動率的估計, 得出小波函數對波動率估計的影響, 并探求不同尺度下積分波動率的變化規律.

1積分波動率的小波估計方法

趙立芹)