彎扭耦合影響的MEMS扭轉諧振器件中的熱彈性阻尼

臺永鵬，李 普, 左萬里

(東南大學 機械工程學院，南京 211189)

微諧振器是微機電系統(MEMS)的典型器件，廣泛應用于高頻和高精度的驅動器和傳感器。為了獲得高性能、高精度，微諧振器件在設計和制造的時候希望能夠有非常小的能量損耗和特別高的質量因數。然而，事實證明器件尺度的減小必然導致質量因數的減小。因此，研究微型器件中的能量耗散機理具有重要意義。微諧振器件中有三種主要的能量耗散方式：空氣阻尼[1]，支承阻尼和熱彈性阻尼。其中，前兩種耗散機理可以通過真空封裝和合理的結構設計消除。熱彈性阻尼是系統所固有的能量耗散機理，不能通過設計制造完全消除。這使得熱彈性阻尼經常成為MEMS器件主要的能量耗散機理，決定系統質量因數的上限。近年來，為了設計和制造出高性能的MEMS器件，熱彈性阻尼的研究越來越熱門。

熱彈性阻尼是由熱彈性材料中的不可逆熱流引起的。當MEMS器件振動時，材料內部必然會產生應變場，其中受擠壓的部分溫度升高，受拉伸的部分溫度降低。產生的溫度梯度使不可逆熱流從溫度高的部分流向溫度低的部分。這種由于不可逆熱流導致的能量耗散就叫做熱彈性阻尼。只要材料的熱膨脹系數不為零，熱彈性阻尼就必然存在。

在1937年，Zener[2-3]第一次精確計算出了懸臂梁的熱彈性阻尼。Zener研究了彎曲振動的懸臂梁，推導出了只考慮厚度b方向熱傳導的一維熱彈性阻尼解析模型：

(1)

式中:E為楊氏模量，α為熱膨脹系數，T0為環境溫度，Cv為定體積熱容，τ為松弛時間。2000年，Lifshitz和Roukes (LR)[4]精煉了Zener的理論，給出了梁在彎曲振動時一維熱彈性阻尼的LR模型

(2)

式中:ξ=b×sqrt(ω/(2χ))，其中χ為熱擴散系數。Zener模型和LR模型都是計算熱彈性阻尼的經典的解析模型，已經得到了實驗數據的驗證，并廣泛應用于MEMS器件熱彈性阻尼的預測。這兩種理論在建立的過程中都作了如下假設：① 器件的質量因數極高，其諧振頻率不受影響；② 應變場與溫度場單向耦合，即應變場影響溫度場，溫度場不影響應變場，因為溫度變化非常微小；③ 熱傳導是一維的，只發生在梁厚度方向，寬度和長度方向因為熱傳導比較微弱而忽略不計。

MEMS諧振器件一般具有簡單的結構，容易得到熱彈性阻尼的閉合的解析表達式。這些表達式簡單而高效，不僅用來預測熱彈性阻尼，還可以為數值計算結果提供非常理想的參考和驗證模型。比如，一些學者提出了計算二維、三維熱彈性阻尼的方法[5，6]，以及層壓復合結構、矩形板、圓盤、圓環、碳納米管中的熱彈性阻尼模型。此外，以有限元(FEM)法為主的偏微分方程數值解法能很好地處理復雜幾何形狀及邊界條件，求解復雜形狀器件的熱彈性阻尼。但是，數值模型的存在局限性也很明顯：① 有限元法不能直接體現器件的幾何參數與物理性能之間的關系。數值法的方程階數高，計算效率低，不利于系統級模擬和優化迭代計算，更適合在校核計算中使用。② 很難在短時間內學會熟練使用ANSYS等商業有限元軟件。

通常，MEMS諧振器件運行在純扭轉振動模態或者純彎曲振動模態。熱彈性阻尼主要是由彎曲振動模態引起的。而純扭轉模態不會產生體積的變化，沒有熱彈性阻尼。但是，一些MEMS扭轉諧振器件在振動時并不是純扭轉，而是彎扭耦合振動。彎扭耦合不僅影響到器件的動力學特性，而且其彎曲振動的部分不可避免產生熱彈性阻尼，影響到器件的性能。目前，在能量耗散方面，MEMS扭轉諧振器件的研究主要集中在空氣阻尼，也有少量文獻涉及熱彈性阻尼。然而，在彎扭耦合的MEMS扭轉諧振器件中，并沒有文獻討論其熱彈性阻尼的解析模型。同時，實驗數據說明[7-10]，彎扭耦合的單平板和雙平板諧振器的熱彈性阻尼很重要，不能忽略。

本文考慮了MEMS諧振器件中的彎扭耦合現象，利用彎扭耦合的靜態平衡方程和動力學方程推導出支承梁的動力學特性，以此為基礎，在假設微平板為剛體的前提下，根據熱傳導方程和LR理論推導出熱彈性阻尼的解析模型。將本文所提出的解析模型與有限元仿真結果相比較，兩者的擬合度很高，誤差較小，證實了理論的可行性。解析模型與實驗數據的比較揭示了熱彈性阻尼在內部耗散中的重要性。通過對解析模型特性的研究，本文分析了諧振器件幾何尺寸對熱彈性阻尼的影響。

1 彎扭耦合MEMS諧振器件的熱彈性阻尼模型

1.1 靜電力作用下的彎扭耦合振動模型

圖1 靜電驅動的扭轉MEMS諧振器件示意圖

圖1是扭轉諧振器件示意圖。靜電力驅動的微平板由兩個支承梁分別固定在錨定上。電極板放置在基底上，位于微平板的下方。微平板的長度和寬度分別為L，a；兩根支承梁的長度和寬度分別為l，c；器件整體厚度為b。微平板和電極間施加驅動電壓V=V0+v(t)，其中V0是直流偏置分量，v(t)是交流分量，通常V0?v(t)。假設微平板是剛體，在驅動電壓的作用下，產生縱向位移y(t)=y0+δ(t)，以及繞支承梁旋轉的角位移φ(t)=φ0+φ(t)，其中y0和φ0是偏置電壓導致的偏置位移，δ(t)和φ(t)是交流激勵電壓導致的動態位移。當施加偏置電壓時，該扭轉諧振器件的靜態平衡方程可表示為[11]

(3)

式中：Ky，Kφ分別表示彎曲剛度和扭轉剛度，a1和a2表示電極的位置參數，ε為真空介電常數，h為電極與微平板的間距。矩形截面梁的彎曲剛度和扭轉剛度可以表示為

(4)

式中：G為剪切模量；I，Ip分別為梁的截面慣性矩和極慣性矩。

當器件受靜電力作用，以頻率ω做簡諧振動時，微平板的激勵電壓和動態位移可表示為

v(t)=v0eiωt,φ(t)=φ0eiωt,δ(t)=δ0eiωt

(5)

忽略其他阻尼的影響，系統動力學方程可表示為[12]

(6)

式中：m為微平板質量，Iφ為轉動慣量，Fe，Me分別為驅動電壓V導致的靜電力和靜電力矩。將Fe，Me在(V0,φ0,y0)處一階Taylor展開，然后代入式(6)中，則線性化的動力學方程可以寫成

(7)

求解式(7)，得到微平板動態位移之比

(8)

式中：參數AB，BB，CB，AT，BT，CT是Taylor展開得到的常數項；根據式(3)，它們可以進一步用偏置電壓V0作用下微平板的偏置位移表示：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

CT=BB

(14)

式中：g0=h-y0為偏置電壓作用下，電極板與微平板的間距。

1.2 簡化的微平板動態位移之比

微平板在彎扭耦合振動時會引起它與電極板之間的間距變化。這種變化導致靜電力與簡諧激勵電壓間復雜的非線性關系，如式(6)所示。如果微平板在振動時的動態位移非常小，可以忽略微平板與電極板之間間距的變化所導致的非線性靜電力。這種情況下，Fe，Me都可看作簡諧振動，并且

Me=rFe

(15)

其中：r為平板受力點到扭轉軸的距離。將式(15)代入式(6)，得到簡化的微平板動態位移之比為

(16)

從上式可以看出，對于簡化的模型，微平板動態位移之比只與受力位置和振動頻率有關。

1.3 熱彈性阻尼計算

考慮彎扭耦合諧振器件做簡諧振動。由于微平板看作是剛體，不存在熱應變，所以只需要考慮支承梁的熱彈性阻尼。支承梁的熱傳導方程可以表示為[4]

(17)

式中：θ=θ0eiωt為溫度變化，ΔE=Eα2T0/Cv為楊氏模量的松弛強度，Y(x,t) =Y0(x)eiωt為梁在y方向的位移。假設用支承梁的撓度曲線近似表示梁的位移。根據邊界條件：Y(0) = 0，Y(l) =δ(t)，?Y(0)/?x= 0，?Y(l)/?x= 0，則Y(x,t)可以表示為[13]

(18)

根據LR理論，溫度場方程可以表示為[4]

(19)

通常，材料內部由于溫度變化導致的熱應力與施加的應力場相比可以忽略不計，所以支承梁x軸方向的應力場和熱應變分別表示為

(20)

(21)

整個諧振器件的損失功需要考慮兩根支承梁能量耗散的總和為

(22)

一個振動周期里諧振器件最大存儲彈性能包含扭轉彈性能和振動彈性能兩部分為

(23)

根據品質因數Q的定義，利用式(22)和(23)得到熱彈性阻尼解析表達式

(24)

式中：pf為彎曲振動存儲能量與總存儲能量之比。可見，彎扭耦合MEMS扭轉諧振器件中的熱彈性阻尼為能量比與LR理論結果的乘積。將式(8)和式(18)代入式(24)，可得

(25)

式中：系數D=Kφ/Ky=GIpl2/Eb3c，其數值與材料屬性和幾何尺寸相關。

2 解析模型與FEM仿真和實驗數據比較

2.1 FEM仿真結果比較

為了驗證本文解析模型，將解析模型計算結果與有限元(FEM)仿真結果比較。本文采用ANSYS仿真軟件進行有限元仿真，其中支承梁利用SOLID226單元建模，這種單元可以仿真三維熱彈性阻尼，而微平板利用SOLID45單元建模。假設器件為多晶硅制造，其材料特性參數：E=157 GPa，α=2.6×10-6K-1，泊松比υ= 0.22，密度ρ= 2 330×10-18kg·μm-3，定壓熱容Cp= 699×1012pJ (kg·K)-1，χ=0.55×10-4m2s-1，ε=8.854×10-6pF μm-1，T0=300 K。表1(模型1)給出了器件基本結構參數，電極板施加電壓為V0=20 V，v0=2 V。

表1 MEMS扭轉諧振器件的基本結構參數(單位：μm)

圖2給出了本文解析模型和FEM數值仿真的比較。如圖所示，解析模型曲線與FEM數值仿真曲線擬合度比較好。由于有限元仿真計算的是三維熱彈性阻尼，所以它的數值通常比一維計算結果要大，而且計算精度更高。從圖中可以看出，在特征頻率F0附近，兩者相對誤差小于10 %；在低頻段，兩者相對誤差甚至小于5 %；在高頻段兩者誤差較大。

圖2 熱彈性阻尼解析模型計算結果與FEM數值仿真結果比較

2.2 實驗數據比較

實驗數據說明[7-10]，彎扭耦合的單平板和雙平板諧振器的熱彈性阻尼很重要，不能忽略。Liu等[9]測量了單平板MEMS諧振器在不同溫度、1-1模態(470 kHz)下的內部耗散(主要為熱彈性阻尼)。這個實驗是在微平板底部放置壓電激勵器驅動微平板做彎扭耦合簡諧振動，并給出了激光退火后諧振器件的內部耗散與溫度的關系。該器件由單晶硅制造，基本尺寸見表1(模型2)，材料特性參數：E=169 GPa，α=2.6×10-6K-1，ρ=2 30 ×10-18kg μm-3，Cp=699×1012pJ (kg·K)-1，χ=0.86×10-4m2s-1，ε=8.854×10-6pF μm-1。

圖3給出了該諧振器內部耗散隨溫度變化的實驗數據以及熱彈性阻尼解析模型計算結果。為了方便計算，解析模型利用了簡化的微平板動態位移比βs，并假設受力位置r=a/2。如圖所示，解析模型計算的結果與實驗數據接近并具有相同的趨勢。在室溫下，熱彈性阻尼在內部耗散中占重要比例。值得注意的是，在高階模態下，微平板內部也會產生可觀的熱彈性阻尼，但是解析模型將微平板看成剛體，從而忽略了這部分由微平板產生的熱彈性阻尼。相反，在相對較低的振動頻率，微平板內部產生的熱彈性阻尼可以忽略。

圖3 不同溫度下熱彈性阻尼解析模型計算結果與實驗數據比較

3 器件幾何尺寸對熱彈性阻尼的影響

假設研究的MEMS扭轉諧振器件為多晶硅制造，真空封裝，并且忽略其他外部阻尼的影響。器件的材料特性參數與FEM仿真所使用的相同。本文從兩個方面研究器件的幾何尺寸對熱彈性阻尼的影響：① 支承梁長度l不變，梁的厚度寬度之比b/c對熱彈性阻尼的影響；② 支承梁厚度b不變，梁的長寬比l/c對熱彈性阻尼的影響。改變幾何尺寸時，我們保持扭轉剛度不變Kφ，盡量不影響該器件的扭轉特性；并且微平板的厚度為定值2 μm。

圖4給出了支承梁的厚度寬度之比b/c對pf的影響。梁的長度l=50 μm，偏置電壓V0=20 V，其他結構參數見表1(模型1)。如圖所示，在低頻段，pf隨b/c的增大而減小；在高頻段，pf隨b/c的增大而增大。pf最小值(≈0)和最大值(≈1)分別出現在扭轉共振頻率ftorsion和彎曲共振頻率fbending。表2給出了550 kHz(>fbending)時，不同的b/c對熱彈性阻尼的影響。從表中可見，熱彈性阻尼隨b/c的增大而增大，解析模型與FEM仿真結果相差很小。

圖5給出了支承梁的長寬比l/c對pf的影響。梁的厚度b=2 μm，偏置電壓V0=20 V，其他結構參數見表1(模型1)。如圖所示，在低頻段，pf隨l/c的增大而增大；在高頻段，pf隨l/c的增大而減小。pf最小值和最大值分別對應扭轉共振頻率ftorsion和彎曲共振頻率fbending。表3給出了550 kHz(>fbending)時，不同的l/c對熱彈性阻尼的影響。從表中可見，熱彈性阻尼隨l/c的增大而減小；解析模型與FEM仿真結果很接近。

圖5 支承梁不同幾何尺寸l/c對應的能量比pf曲線

表2 不同b/c對應的熱彈性阻尼

表3 不同l/c對應的熱彈性阻尼

4 結 論

本文首先研究了彎扭耦合MEMS諧振器件的靜態平衡方程和動力學方程，以此為基礎，在假設微平板為剛體的前提下，推導出熱彈性阻尼的解析模型。從而解決了Zener和LR等經典理論不能計算彎扭耦合MEMS扭轉諧振器件的熱彈性阻尼的問題。通過對解析模型特性的研究，本文發現熱彈性阻尼受器件幾何尺寸影響較大，尤其是器件厚度的影響最明顯。本文推導的解析模型與FEM數值仿真結果作比較，結果說明解析模型與數值仿真擬合度很高，誤差很小。通過與實驗數據比較，說明熱彈性阻尼在彎扭耦合MEMS扭轉器件的內部耗散中占重要比例。該解析模型在熱彈性阻尼的計算中效率更高，對于同類器件的設計和優化具有很高的參考價值。

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