微動結合部的一次加載過程

田紅亮, 趙春華, 方子帆, 劉芙蓉, 朱大林

(三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002)

辨識微動結合部法向接觸剛度的解析法離不開經典的赫茲彈性理論[1-7]、GW接觸模型[8]、MB分形模型[9]、WK分形理論[10-12]、YK分形分析[13]五套成熟理論的基礎性支持。機械結合部法向接觸剛度分形模型[14 -18]存在3個共同缺陷：① 推導微凸體頂端曲率半徑R的計算原理存在不足，起始頻率指數n1=1在如下點點不可微的WM分形函數

(1)

中對應的一項是

(2)

然后按照曲率半徑的下列計算公式求解微凸體頂端的曲率半徑

(3)

式(3)的正確表達式[19]應改為

(4)

再按照文獻[9]的式(4)得

(5)

故MB分形模型[9]依舊沿用歐幾里得的《幾何原本》[20]，且式(5)與經典赫茲彈性公式[6-7]πRδ=a之間有倍數π的誤差。② 推導法向接觸剛度的方法不通用。③ 假設粗糙表面的微觀形貌各向同性[21-23]。

本文按照刻畫各向異性分形表面特征的帶隨機相位Ausloos-Berman函數，仿真兩個接觸表面不同紋理方向的輪廓，根據赫茲彈性理論反求分形表面微凸體頂端曲率半徑，應用表面微凸體承擔法向壓強的光滑性和連續性原理，修正臨界變形量和臨界彈性變形微接觸截面積，建立微動結合部整體法向總接觸載荷、法向接觸剛度的理論模型。

1 各向異性分形幾何理論

1.1 彈性變形時單個微凸體承擔的法向接觸載荷

AB函數為

(6)

式中:γ為分形粗糙面尺度因子;M為構造表面重疊隆起部的個數;Am為控制表面幾何各向異性的量值;j為虛數單位;k0為分形粗糙表面空間波數;n為頻率指數;ρ為極徑;θ為極角;αm為在方位角的方向偏置隆起部的任意角度;φm,n為在區間[0，2π]內生成均勻分布的M×(nmax+1)維隨機相位矩陣的任一元素;D為表面輪廓分形維數。

式(6)的實部即為表面輪廓的高度

(7)

式(7)中的未知參數可具體化[13]

(8)

(9)

Am=(2π)2-DGD-1

(10)

(11)

(12)

式中:G為分形粗糙度;L為取樣長度。

將式(8) ～ (12)代入式(7)得

(13)

在實際工程中表面輪廓的評定長度為有限值，式(13)中的頻率指數n有上下限，故

(14)

其中

(15)

式中:nmax為頻率指數上限;int為對數值向負無窮大方向取整。

式(14)不同于文獻[30]的式(1)，由于隨機相位φm,n的作用，式(14)能刻畫具有不同紋理方向的三維表面形貌，不同紋理是各向異性的一個特征。各方向的比例因子不為常數是各向異性的另一個特征，這涉及到赫茲接觸區域是一個橢圓，如軋鋼機械滾動軸承中橢圓離心率e未知，在知道兩彈性體在接觸點的主曲率的情況下，可以計算主曲率和、主曲率函數和橢圓離心率，實際工程中由赫茲接觸區域為橢圓而引起比例因子不是1的各向異性是后續重點研究的內容，后文的式(30) ～ (32)涉及到這種各向異性。

當γ=1.5，L=0.61 μm，G=1.36×10-5μm，D=1.4，M=10和nmax=30時，式(14)模擬的各向異性三維表面形貌如圖1所示。

圖1 非穩態三維隨機表面形貌

式(14)的初始極限為

(16)

設M=1，則m=1時，式(14)簡化為

(17)

式(17)不依賴于y，可仿真圖1中沿x軸方向的表面輪廓，以計算微凸體頂端的法向變形量。

當γ=1.5，L=0.61 μm，G=1.36×10-5μm，D=1.4和nmax=30時，式(17)模擬的各向異性二維表面形貌如圖2所示。

圖2 非穩態二維隨機表面形貌

接觸基波長微凸體相應的頻率指數n0滿足

(18)

式(18)在式(17)中對應的余弦差為

(19)

將φ1,n0=2π與x=3r′代入式(19)可得微凸體波峰值為

(20)

將x=2r′代入式(19)可得微凸體波谷值為

z0valley(x=2r′)=0

(21)

在圖3中，半球體微凸體在法向接觸載荷作用下，半球體微凸體與剛性光滑平面作相對運動，剛性光滑平面從經過點e的水平面運動到經過直線cd的水平面，x軸與直線cd平行，z軸與直線eo平行，半球體微凸體被壓扁，其從波谷位置點e連續躍遷到波峰位置點c的增加量，即為單個微凸體頂端的法向變形量

δ=z0peak(φ1,n0=2π,x=3r′)-z0valley(x=2r′)=

(22)

式(22)可改寫為

(23)

其中

a′=πr′2

(24)

式中:a′為單個微凸體微接觸截面積

單個半球體微凸體與剛性光滑平面的彈性接觸如圖3所示，pe為單個微凸體承擔的法向彈性接觸載荷，R為單個微凸體頂端的曲率半徑，r為單個微凸體實際微接觸面積的半徑。

圖3 半球體微凸體與剛性光滑平面的彈性接觸

在圖3的直角三角形△ocd中，根據勾股定理得

(R-δ)2+r′2=R2

(25)

(26)

宏觀母體幾何尺寸R與單個微凸體頂端的細觀變形量δ相比，很大，可假設2R?δ，則存在近似等式

(27)

(28)

將式(23)代入式(28)可得微凸體曲率半徑為

(29)

考慮x與y軸方向的比例因子不同，即假定赫茲接觸區域是一個橢圓，橢圓的半長軸[6]為

(30)

其中

(31)

(32)

式中:E(e)為第二類完全橢圓積分;e為橢圓離心率;∑ρ為曲率和函數；E1，E2為硬質環、軟質環材料彈性模量;μ1，μ2為硬質環、軟質環材料泊松比;Rij為物體i在主平面j上的曲率半徑，i,j=1,2。

(33)

式(33)即為在圖3中單個微凸體實際微接觸面積的赫茲圓形接觸區域半徑r

(34)

其中

(35)

由式(34)得

(36)

在圖3中，單個微凸體承擔的法向彈性接觸載荷也能寫成二元函數

(37)

二元函數式(37)不同于文獻[9]的一元函數式(12)pe(δ)。

令式(36)和(37)相等得

r2=Rδ

(38)

將式(27)代入式(38)得

(39)

根據式(39)與(24)，單個微凸體處于彈性變形時，其實際微接觸面積為

ae=πr2=0.5πr′2=0.5a′

(40)

將式(39)代入式(36)得

(41)

將式(24)代入式(41)得

(42)

將式(29)代入式(42)可得一元函數

(43)

1.2 完全塑性變形時單個微凸體承擔的法向接觸載荷

實際微接觸面積為

a=πR(2δ-δc)

(44)

式中:δc為單個微凸體的臨界變形量。

當2δ?δc時，單個微凸體處于完全塑性變形時，其實際微接觸面積為

afp=2πRδ

(45)

將式(39)代入式(24)得

a′=2πr2

(46)

將式(38)代入式(46)得

a′=2πRδ

(47)

憑借式(45)和(47)得

afp=a′

(48)

所以單個微凸體處于完全塑性變形時，單個微凸體承擔的法向塑性接觸載荷為

pp(a′)=Kσyafp=Kσya′

(49)

式中:K為硬度與屈服強度之比而成的相關因子;σy為較軟材料的屈服強度。

式(49)不同于文獻[17]的式(18)。

1.3 微動結合部承擔的整體法向總接觸載荷

微凸體對應的臨界變形量為

(50)

式中:b為尚等待確定無量綱正系數。

將式(29)代入式(50)得

(51)

其中

(52)

式中:φ為屈服強度與綜合彈性模量之比而成的材料性能參數。

式(23)與(51)之商為

(53)

令δ=δc，可得臨界彈性變形微接觸截面積為

(54)

將式(54)代入式(53)得

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

令式(57)與(59)相等，即

(60)

將式(54)代入式(60)得

(61)

將式(61)代入式(51)得

(62)

將式(61)代入式(54)得

(63)

當D=1.19，γ=1.5，G=1.36×10-11m，K=1和φ=0.23時，單個微凸體的變形情況如圖4所示。

圖4 微凸體變形區域分布

微接觸截面積的概率分布密度[10]為

(64)

微動結合部的整體實際接觸面積為

(65)

將式(40)和(64)代入式(65)得

(66)

微動結合部承擔的整體法向總接觸載荷為

(67)

將式(43)及(49)代入式(67)得

(68)

將式(64)代入式(68)得

式(69)不同于文獻[28]的式(24)。

將下列2個關系式

(70)

(71)

代入式(66)和(69)分別得

(72)

P(Ar>Arc)=

(73)

其中

(74)

式中:Arc為實際臨界接觸面積。

依靠式(72)得

(75)

將式(75)代入式(73)得

P(Ar>Arc)=

式(76)的無量綱形式為

其中

(78)

(79)

(80)

(81)

式(77)不同于文獻[28]的式(28)。

2 微動結合部整體法向剛度修正算法

2.1 文獻[32]兩微凸體間法向剛度的錯誤算法

根據式(37)得

(82)

2.2 兩微凸體間法向剛度經典算法的缺陷

由式(37)得

(83)

將式(38)代入式(83)得

(84)

將式(40)代入式(84)得

(85)

將式(40)代入式(85)得

(86)

在一般情況下，下面不等式成立

(87)

2.3 兩微凸體間法向剛度的合理算法

由式(23)得

(88)

將式(88)代入式(43)得

(89)

取E′=205 GPa，γ=1.5和G=1.36×10-5μm時，法向彈性載荷與法向變形量之間的加載曲線如圖5所示。

圖5 法向彈性載荷與法向變形量的關系

根據式(89)得

(90)

將式(23)代入式(90)可得兩個微凸體之間互相影響的法向接觸剛度為

(91)

式(91)不同于經典解式(86)。

若令式(91)與(86)相等得

(92)

D=0

(93)

式(93)明顯不合理，再次證明經典解式(86)的求解原理是錯誤的。按照式(90)得

2.4 微動結合部整體法向彈性接觸剛度

微動結合部整體法向總彈性接觸剛度為

(95)

將式(91)代入式(95)得

將式(64)代入式(96)得

將式(70)及(71)代入式(97)得

Kn(Ar>Arc)=

將式(75)代入式(98)得

Kn(Ar>Arc)=

(99)

式(99)的無量綱形式為

(100)

各分形參數要滿足下列不等式

(101)

圖6 某兩實踐粗糙表面的實際接觸情況=0.1)

3 實際接觸面積影響因素分析

3.1 表面輪廓分形維數D對的影響

圖7 表面輪廓分形維數D對接觸率的影響曲線

3.2 無量綱分形粗糙度G*對的影響

3.3 無量綱法向載荷P*對的影響

圖9 無量綱法向接觸載荷P*對接觸率的影響曲線

4 法向接觸剛度影響因素分析

4.1 無量綱實際接觸面積對的影響

圖10 接觸率對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

4.2 無量綱法向接觸載荷P*對的影響

圖11 無量綱法向接觸載荷P*對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

4.3 表面輪廓分形維數D對的影響

圖12 表面輪廓分形維數D對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

圖13 表面輪廓分形維數D對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

圖14 表面輪廓分形維數D對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

4.4 無量綱分形粗糙度G*對的影響

圖15 無量綱分形粗糙度G*對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

4.5 相關因子K對的影響

圖16 相關因子K對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

4.6 材料性能參數φ對的影響

圖17 材料性能參數對無量綱法向接觸剛度的影響曲線

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