動荷載作用下預(yù)測玻璃板破壞強度和破壞時間的一種改進模型
——Ⅰ.理論

柳錦春，于潤清，唐德利

(1.解放軍理工大學(xué) 國防工程學(xué)院，南京 210007;2.爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點實驗室，南京 210007)

隨著城市建設(shè)的高速發(fā)展，以及建筑設(shè)計理念的不斷提升，玻璃門窗和玻璃幕墻等成為現(xiàn)代建筑重要的組成部分。但玻璃是脆性材料，在爆炸等強動載作用下易于破碎，且產(chǎn)生高速飛散的碎片，易對人和物造成傷害[1-2]。準確確定玻璃板的破壞應(yīng)力，對玻璃門窗和玻璃幕墻的抗爆設(shè)計有著重要意義。目前有很多計算玻璃抗爆能力的方法，影響最廣的是Beason的理論[3]，他基于Weibull分布進行復(fù)雜的理論推導(dǎo)，將任意形式荷載等效為恒定荷載，由此得出玻璃的最大抗力。由他的理論發(fā)展出美國和加拿大的玻璃抗爆設(shè)計規(guī)程。

但玻璃板的破壞是由板中的微小裂紋引起的[4]，裂紋的分布和裂紋的擴展都會影響玻璃板的破壞應(yīng)力，在爆炸沖擊荷載作用下更是如此，而且裂紋的分布和擴展又有著很大的隨機性。本文首先對常用玻璃破壞模型進行了分析和討論，指出現(xiàn)有玻璃破壞模型的適用性和不足。在借鑒已有模型[5]的基礎(chǔ)上，通過蒙特卡洛法確定玻璃板表面的隨機裂紋，運用有限元軟件計算玻璃板的應(yīng)力分布，再綜合考慮裂紋的動態(tài)擴展和玻璃表面的預(yù)應(yīng)力，確定玻璃的破壞準則，最終確定出玻璃板的破壞強度和破壞時間。基于此思路，本文提出了一種可以預(yù)測動荷載作用下玻璃板破壞應(yīng)力和破壞時間的改進模型。

1 常用玻璃破壞模型介紹及討論

玻璃的破壞應(yīng)力有很大的離散性，一般采用Weibull分布描述破壞應(yīng)力的分布[6-7]，形式如下：

(1)

其中:Pf是失效概率，σ0是破壞應(yīng)力的均值，σm是最小破壞應(yīng)力。A、a分別是有效體積(面積)和參考體積(面積)，m是參數(shù)。式(1)被稱為Weibull三參數(shù)分布。

當σm=0時，式(1)簡化為式(2)，式(2)被稱為Weibull雙參數(shù)分布。由于Weibull雙參數(shù)分布也可以較好的描述其分布且形式更加簡單，因此，很多預(yù)測玻璃破壞應(yīng)力的模型[3,8-12]的形式是基于Weibull雙參數(shù)分布的。

(2)

但是，這些模型存在以下不足點，一是材料參數(shù)較難準確確定，這是因為影響這兩個參數(shù)的因素較多，且參數(shù)值容易受到試驗誤差的影響；二是Weibull雙參數(shù)分布的兩個參數(shù)表達的物理意義并不十分明確[5]；三是Weibull分布只有當裂紋的數(shù)量服從指數(shù)分布時才成立[13-14]；四是由Weibull分布發(fā)展的模型一般是用于描述玻璃板在準靜態(tài)情況下破壞應(yīng)力的分布，并不適用于分析玻璃板承受如爆炸荷載等動荷載作用的情況。

由于玻璃板的破壞是由裂紋引起的，因此可以由裂紋的開裂來計算破壞應(yīng)力。Nurhuda等[5]根據(jù)此思想提出了一種計算玻璃板破壞應(yīng)力的模型。他將玻璃板中裂紋簡化為二維Griffith裂紋，不考慮裂紋的交叉，通過蒙特卡洛法模擬玻璃板裂紋的幾何隨機性，結(jié)合有限元分析軟件，對玻璃板的破壞應(yīng)力做出預(yù)測。玻璃板的破壞是由某一關(guān)鍵裂紋控制的，因此，該模型主要是確定出關(guān)鍵裂紋的位置和長度，由此估算出破壞應(yīng)力。具體思路如下[5]：

(1) 隨機確定裂紋的數(shù)目、長度、位置。

裂紋的數(shù)目服從Poisson分布

f(n)=[(ρA)n/n!]exp(-ρA)

(3)

式中：ρ是裂紋密度，n是裂紋數(shù)目。

設(shè)定裂紋的最大長度為278 μm，裂紋長度假定服從特定函數(shù)分布，即均勻分布，正態(tài)分布，Weibull分布(左偏分布)，對數(shù)正態(tài)分布(右偏分布)中的一種。

裂紋的位置是均勻隨機分布。

(2) 建立關(guān)鍵裂紋確定標準，找出關(guān)鍵裂紋。

Griffith裂紋長度為aj，與破壞應(yīng)力σj有如下關(guān)系式：

(4)

其中:KI是應(yīng)力強度因子，Y是裂紋的形狀參數(shù)。

Nurhuda取KI=KIC為裂紋破壞臨界條件，即

(5)

其中:λj是任意處應(yīng)力與板中最大應(yīng)力比，σmax是板中最大應(yīng)力。

當最大裂紋處于板中最大主應(yīng)力處，玻璃板有最小破壞應(yīng)力σmin，即

(6)

由式(5)和式(6)，可得

(7a)

(7b)

其中:rj是任意處裂紋長度與裂紋最大長度之比。

在求出每條裂紋的Sj后，取Sj值最小的裂紋為關(guān)鍵裂紋。在確定關(guān)鍵裂紋后，回代入式(4)可以求出破壞應(yīng)力。

Nurhuda 等提出的模型雖然對裂紋的隨機性做了充分的研究，但是沒有考慮裂紋的動態(tài)擴展，此外，Nurhuda假設(shè)玻璃板最大應(yīng)力在板中央點，而在動荷載作用下，板中央的應(yīng)力并不一定是最大的，所以Nurhuda的模型不能很好地分析玻璃板承受動荷載的情況。

2 改進的玻璃破壞模型

基于上述分析，我們對Nurhuda提出的模型進行改進。在這里，將玻璃板視為二維板，不考慮裂紋的交叉及相互耦合，主要考慮以下四點來模擬玻璃的破壞。

(1) 考慮玻璃板在荷載作用下的幾何非線性。文獻表明[15]，薄板在承受較大均布荷載時表現(xiàn)出明顯的非線性，若用線性薄板理論計算可能會高估薄板的撓度和應(yīng)力值。

(2) 考慮表面預(yù)壓應(yīng)力對玻璃板破壞的影響。

(3) 考慮裂紋的動態(tài)擴展。

(4) 考慮裂紋的幾何隨機性(用蒙特卡洛法模擬)。

該改進模型采用ABAQUS軟件計算玻璃板的應(yīng)力。在計算時不考慮裂紋的影響，仍將玻璃板設(shè)為均值材料，提取出玻璃板每一點的應(yīng)力時程曲線組成應(yīng)力矩陣，作為原始分析數(shù)據(jù)；在玻璃板的各點運用蒙特卡洛法隨機“虛加”裂紋，根據(jù)破壞準則對應(yīng)力矩陣進行分析，找出最先破壞的點，并將此點此刻的應(yīng)力作為破壞應(yīng)力，此刻作為破壞時間，模型結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 模型結(jié)構(gòu)示意圖

模型的裂紋隨機性通過編制隨機程序產(chǎn)生，下面主要介紹Griffith的動態(tài)擴展、玻璃表面預(yù)應(yīng)力和破壞準則的確定。

2.1 Griffith裂紋的動態(tài)擴展

圖2 裂紋開裂速度與應(yīng)力強度因子的關(guān)系

裂紋的擴展是有一定的條件的[16]，當KIKIC時，裂紋迅速擴展，此時可認為裂紋破壞。

在一定環(huán)境下，開裂速度可以表示為

(8)

其中:n，v0是與環(huán)境和材料有關(guān)的參數(shù)。

裂紋在擴展時可分為三個階段，如圖2，隨著KI的增大，n的值是變化的，但是，由于在裂紋擴展的第二階段和第三階段的開裂速度較大，所以用第一階段的n值代替第二三階段的n值對估算的最終破壞時間影響并不大。

2.2 玻璃表面的預(yù)壓應(yīng)力

常用的單層玻璃有浮法玻璃，半鋼化玻璃和鋼化玻璃，不同性質(zhì)的玻璃由于加工工藝的不同導(dǎo)致在玻璃的橫截面上存在預(yù)壓力[17]，如圖3。一般而言，玻璃表面有預(yù)壓應(yīng)力，內(nèi)部則是預(yù)拉應(yīng)力。不同性質(zhì)的玻璃板表面的預(yù)壓力不同[18]，見表1。

表1 不同種類玻璃表面預(yù)壓力值[18]

圖3 鋼化玻璃截面拋物線應(yīng)力分布[17]

當玻璃板在受力時，表面的拉應(yīng)力首先要抵消預(yù)壓應(yīng)力，由于玻璃板內(nèi)部的預(yù)壓應(yīng)力小于表面的預(yù)壓應(yīng)力，因此，一旦表面被破壞，玻璃板就會迅速破壞。所以，可以只考慮表面預(yù)壓應(yīng)力的影響，忽略玻璃板內(nèi)部預(yù)壓應(yīng)力的大小。對于不同的性質(zhì)的玻璃板，本文取預(yù)壓應(yīng)力的最小值。

2.3 模型的破壞準則

圖 4 裂紋的方向與裂紋處的應(yīng)力

本文模型的破壞準則是指在各點應(yīng)力時程曲線組成應(yīng)力矩陣中確定出最先破壞的裂紋所遵循的規(guī)則。

如圖4，將玻璃視為線彈性材料，設(shè)定好彈性模量和泊松比，用ABAQUS有限元軟件計算σ11、σ12、τ12的瞬間大小，再用蒙特卡洛法隨機模擬出裂紋的方向θ，由此就可以計算出裂紋處法向應(yīng)力大小。

(9)

若忽略剪應(yīng)力的影響，則得

σθ=σ11cos2θ+σ22sin2θ

(10)

式(10)即為Weibull和Overend采用的法向應(yīng)力值[7,17]。

由于玻璃表面存在預(yù)壓應(yīng)力，因此還要考慮預(yù)壓應(yīng)力f的影響，式(9)可寫為式(11):

(11)

裂紋的法向應(yīng)力σθ與裂紋的長度a是耦合的，在計算時要先進行解耦，本文假設(shè)裂紋在很小的時間增量步內(nèi)應(yīng)力不變，由式(4)、式(8)可得裂紋長度與應(yīng)力之間的迭代關(guān)系式：

(12)

其中:aj是第j時刻的裂紋長度，σj-1是j-1時刻裂紋法向拉應(yīng)力，Δt為時間增量步。

式(12)在迭代時，根據(jù)時間輸入相應(yīng)的應(yīng)力值(σ11、σ12、τ12)，此應(yīng)力值是由ABAQUS預(yù)先計算的，在計算應(yīng)力時并不考慮裂紋，因此可以說，裂紋是“虛加”的。通過式(12)的迭代計算，既可以得出各點應(yīng)力強度因子的時程曲線，認定KI=KIC時為破壞臨界點，此時的荷載作用時間即為該點的破壞時間，取破壞時間最小的點為最先破壞點，最先破壞點對應(yīng)的破壞時間和破壞應(yīng)力視為玻璃板的破壞時間和破壞應(yīng)力。

2.4 改進模型的整體計算思路

(1) 運用蒙特卡洛法在玻璃板的上下表面“布置”假定的隨機裂紋。裂紋的數(shù)目、長度、位置的模擬參照Nurhuda模型，裂紋方向假設(shè)為隨機均勻分布。

(2) 根據(jù)式(12)進行裂紋長度的迭代，根據(jù)破壞準則判斷是否開裂。

(3) 比較所有裂紋的破壞時間，取破壞時間最短的裂紋為關(guān)鍵裂紋，將此時刻作為玻璃板的破壞時間，并輸出此時刻關(guān)鍵裂紋處的應(yīng)力作為玻璃板的破壞應(yīng)力。

(4) 玻璃板的破壞應(yīng)力具有概率性，為得到不同破壞應(yīng)力對應(yīng)的概率大小，重復(fù)(1)～(3)步，計算N塊玻璃板的破壞時間和破壞應(yīng)力，由此可求得累計概率(CPD)Pf：

(13)

按上述方法進行模擬需要確定兩個未知參數(shù)和一個未知分布，即裂紋分布密度、最大裂紋長度和裂紋長度的分布。在計算時可以先假設(shè)裂紋長度分布，結(jié)合試驗確定在該長度分布下最優(yōu)的分布密度和最大長度，然后對比不同長度分布模擬的結(jié)果，取與試驗結(jié)果最相近的裂紋長度分布和相應(yīng)的裂紋分布密度和最大長度。

該改進模型可以同時計算出玻璃板的破壞時間和破壞應(yīng)力。此外，該模型在計算玻璃板應(yīng)力時，采用的是有限元方法，可以充分考慮玻璃板的受力特性，且不受玻璃板形狀和邊界條件的限制。

2.5 改進模型的驗證

由于同時給出破壞應(yīng)力和破壞時間的實驗數(shù)據(jù)較少，下面分別對采用本文模型計算的破壞時間和破壞應(yīng)力進行試驗驗證對比。

Gavanski等[19]研究了浮法玻璃板的破壞時間，通過試驗統(tǒng)計了破壞時間的累計概率。本節(jié)選擇合適的裂紋長度分布函數(shù)、裂紋分布密度和最大的裂紋長度，對玻璃板的破壞時間進行模擬，未知參量的確定見文獻[20]。

取玻璃的彈性模量E=73 GPa，泊松比v=0.25，密度ρ=2 450 kg/m3，玻璃板四邊簡支，尺寸為1 m×1 m×0.006 m，加載速率為6.5 kPa/s。取長度分布函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布，均值0.272 5，方差1.616，裂紋最大長度230 μm，裂紋密度為6 m-2，共進行取15組模擬，每組20個，取模擬結(jié)果的平均值與試驗值對比，如圖5所示。由圖5可知，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果有較好的一致性。

圖5 模擬的結(jié)果與試驗結(jié)果的對比

取Nurhuda的試驗[5]計算玻璃板破壞應(yīng)力的累計概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃板尺寸為2 m×0.4 m×0.008 m，玻璃板四邊簡支，改進模型的參數(shù)確定及取值同上，計算結(jié)果如圖6。由圖6可知，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合。

圖6 模擬的結(jié)果與試驗結(jié)果的對比

3 結(jié) 論

本文在借鑒已有模型[5]的基礎(chǔ)上，提出了一種能夠同時預(yù)測破壞時間和破壞應(yīng)力的改進模型。改進模型通過蒙特卡洛法確定玻璃板表面的隨機裂紋，運用有限元軟件計算玻璃板的應(yīng)力分布，通過隨機裂紋的破壞計算出破壞應(yīng)力和破壞時間。在運用有限元軟件計算應(yīng)力時，考慮了玻璃板的幾何非線性；在計算裂紋的動態(tài)擴展時，考慮了Griffith裂紋的動態(tài)擴展，推導(dǎo)出裂紋開裂長度與破壞應(yīng)力之間的迭代關(guān)系式；在計算裂紋開裂時，考慮了裂紋開裂的條件(KIKIC時,裂紋迅速擴展)和玻璃板的表面預(yù)應(yīng)力的影響。此改進模型有三個需要確定的未知參量，即裂紋分布密度、最大裂紋長度和裂紋長度的分布，這些參量的確定見論文的第Ⅱ篇[20]。最后對此改進模型進行了驗證分析，結(jié)果表明該改進模型可以較準確地同時計算預(yù)測玻璃板的破壞應(yīng)力和破壞時間。由于此改進模型是運用有限元軟件進行玻璃板的應(yīng)力分析，因此其不受玻璃板形狀和邊界條件的限制，使用范圍較廣。

[1] Norville H S，Harvill N．Glass-related injuries in oklahoma city bombing[J]．ASCE：Journal of Performance of Constructed Facilities，1999，13(2)：50-56.

[2] Norville H S，Conrath E J．Considerations for blast resistant glazing design[J]．ASCE：Journal of Architectural Engineering．2001，7(3)：80-86.

[3] Beason. A failure prediction model for window glass[R], Institute for Disaster Research, Texas Tech University, USA, 1980.

[4] Brown W G. A load duration theory for glass design [R]. NRCC 12354, Canada, National Research Council of Canada, Division of Building Research, 1972.

[5] Nurhuda I, Lam N T K, Gad E F, et al. Estimation of strength in large annealed glass panels [J]. Int. J. Solids Struct. , 2010, 47(18-19): 2591-2599.

[6] Behr R A, Karson, Minor. Reliability analysis of window glass failure pressure data [J]. Struct. Safety, 1991, 11: 43-58.

[7] Weibull. A statistical distribution functions of wide applicability [J]. Appl. Mech., 1951, 18: 293-297.

[8] Beason W L, Morgan. Glass failure prediction model [J]. J. Struct. Eng., 1984, 110(2): 197-212.

[9] Sedlacek G, Blank K, Gusgen J. Glass in structural engineering[J]. J. Struct. Eng., 1995, 73(2): 17-22.

[10] Dalgliesh W A, Taylor. The strength and testing of window glass [J]. Can. J. Civ. Eng., 1990, 17: 752-762.

[11] Charles R J. Static fatigue of glass 1&2[J], J. Appl. Phys, 1958, 29(11): 1549 1560.

[12] Fischer-Cripps A C, Collins. Architectural glazing: Design standards and failure models [J]. Build. Environ, 1995, 30(1): 29-40.

[13] Todinov M T. Is Weibull distribution the correct model for predicting probability of failure initiated by non-interacting flaws[J]. Int. J. Solids Struct., 2009, 46:887-901.

[14] Todinov M T. Selecting designs with high resistance to overstress failure initiated by flaws [J]. Computational Materials Science, 2008, 42: 306-315.

[15] Mehmet Z A. Laminated glass plates: revealing of nonlinear behavior[J]. Computers and Structures, 2003, 81:2659-2671.

[16] Evans A G , Wiederhorn S M. Proof testing of ceramic materials-an analytical basis for failure prediction [J]. Int. J. Fract, 1974, 10(3): 379-392.

[17] Overend M, Parke G A R, Buhagiar D. Predicting failure in glass-a general crack growth model [J]. Journal of Structural Engineering, 2007, 8:1146-1155.

[18] Wurm J. Glass structures: design and construction of self-supporting skins [M]. Berlin: Springer, 2007.

[19] Gavanski E, Gregory A K, ASCE M. Glass breakage tests under fluctuating wind loads[J]. American Society of Civil Engineers, 2011, 3:34-41.

[20] 柳錦春, 于潤清, 唐德利. 動荷載作用下預(yù)測玻璃板破壞強度和破壞時間的一種改進模型——Ⅱ.參數(shù)確定及驗證[J]. 振動與沖擊, 2014,33(13):82-85,116.

LIU Jin-chun, YU Run-qing, TANG De-li. Improved prediction model for failure strength and failure time of glass panels under dynamic loading —— Ⅱ. Parameter determination and verification [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(13):82-85,116.