基于Kalman濾波器的車輛振動速度估計

盧 凡，陳思忠，劉 暢，李滿紅, 趙玉壯

(1.北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081; 2.總裝車船軍代局駐北京地區軍事代表室，北京 100021)

車輛振動測量與控制中，需要獲取實時加速度、速度或位移響應信號。振動加速度傳感器安裝簡便，可靠性較高。因此通常直接測量振動加速度信號，再經過信號處理得到速度和位移信號。

理論上，對加速度信號進行一次積分和二次積分，可以分別得到速度和位移。由于加速度傳感器對低頻信號的測量精度較低[1]，以及漂移和噪聲的干擾，加速度測量不準確，測量誤差在積分過程中累積放大，導致積分結果誤差較大；此外，積分初值無法確定使得積分后的信號包含直流分量[2]。所以，在積分前后都必須對信號進行去趨勢項處理。通常采用高通濾波器[3]濾除直流和趨勢項，但濾波器過渡帶和多次使用濾波器會帶來較大的計算誤差[1]。采用多項式擬合法[4]可以有效去除時域信號的趨勢項，從而得到更準確的速度和位移信號。直接在頻域將低頻成分幅值置零[5]也能獲得較好的去趨勢項效果，還可以在頻域完成積分，比時域積分的準確度更好，計算速度更快，也更穩定。然而后兩種去趨勢項方法均需要利用一定長度的振動信號，增加了歷史信息的存儲；另外，如果低頻截止頻率選擇不合適，可能將信號中有效的低頻成分當作趨勢項消除，導致積分結果產生較大誤差。因此，通過積分計算振動速度和位移，在隨機振動實時測控系統中的應用有一定的局限性。

為了解決這個問題，針對車輛懸架系統，將加速度傳感器分別安裝在車身和車輪上，利用系統動力學方程，對速度和位移狀態進行估計，可以獲得更準確的振動速度和位移。Kalman濾波是一種線性最小方差估計，其離散型算法是可直接在計算機上實現的最優遞推濾波算法。適合處理多維隨機過程、時變系統和非平穩隨機過程[6-7]。Kalman濾波算法在時域中進行遞推，由前一時刻的狀態估計值，和當前時刻的測量值，遞推校正當前時刻的狀態估計值[8]。如果預設的過程噪聲協方差大小與實際情況不符，濾波器將產生較大的估計誤差甚至發散，需要根據輸出信號自適應調節狀態噪聲協方差陣，進而調整Kalman增益[9]。 韓璐等[10]將一種基于預測濾波器的自適應Kalman濾波算法應用于組合導航系統，驗證了該自適應濾波算法對過程噪聲統計特性具有更強的魯棒性，并能獲得更精確的狀態估計。

本文基于四分之一車輛振動模型，設計Kalman濾波器對加速度信號進行處理，估計振動速度。該濾波器充分利用車身和車輪加速度之間的動力學關系，可以快速有效地估計振動速度，不受初值選取的影響。通過分析過程噪聲協方差不準確對濾波效果的影響，說明了過程噪聲協方差自適應的必要性；然后，基于預測濾波器，設計自適應Kalman濾波器，以消除過程噪聲協方差不準確引起的估計誤差。

1 車輛振動模型和路面激勵模型

1.1 四分之一車輛振動模型

圖1 四分之一車輛模型示意圖

僅有兩個自由度的四分之一車輛振動模型雖然簡單，但也能較為準確地反映車輛的基本振動特性[11]。本文研究模型為圖1所示的四分之一車輛模型。圖中，mb為等效車身質量；mw為等效車輪質量；zg、zb和zw分別為路面激勵、車身和車輪的垂向位移；ks、cs分別為懸架剛度系數和阻尼系數；kt為輪胎剛度系數。

以靜平衡位置為系統原點，建立該系統的動力學微分方程：

(1)

1.2 隨機路面激勵模型

車輛振動的路面不平度輸入主要以路面功率譜密度形式描述其統計特性，由文獻 [12]知，車輛振動的隨機路面速度輸入在關心頻帶內是一白噪聲，功率譜密度由路面等級和行駛車速確定：

(2)

式中:u為汽車行駛速度；n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gzg(n0)為路面不平度系數。

為了模擬實際路面的隨機成分，考慮下截止頻率，可以用物理意義明確、計算方便的濾波白噪聲法[13]生成時域路面激勵信號進行仿真：

(3)

式中:zg為隨機路面激勵；n00為下截止空間頻率，n00=0.011 m-1；w0為單位白噪聲。

1.3 車輛振動狀態方程

選擇狀態變量x和輸出變量y為：

則系統動力學方程改寫為狀態空間形式：

(4)

狀態變量的前兩個分量分別為車身和車輪的振動速度，第三個狀態量為懸架動撓度，而第四個狀態量為輪胎動變形。相應的狀態方程(4)符合Kalman濾波假設：① 由于路面輸入信號不易測量，選擇此組狀態變量可以保證輸入方程不顯含未知的輸入變量；② 隨機路面行駛工況下，忽略下截止頻率，路面速度輸入可視作系統的過程噪聲，符合白噪聲假設。

過程噪聲w和量測噪聲v分別是均值為零、方差為Q和R且相互獨立的白噪聲。量測噪聲v，通常只考慮傳感器的固有噪聲，即由傳感器的電子、電氣和機械組成自身產生的噪聲。傳感器固有噪聲是隨機、不可預測的。可以采用統計的方法，通過對噪聲波形進行采樣，得到噪聲標準差，或者是噪聲的功率譜密度分布，然后轉化成協方差陣R。而該四分之一車輛振動系統的過程噪聲w是隨機路面速度輸入，可以利用式(2)計算得到過程噪聲協方差Q。

2 Kalman濾波算法及過程噪聲自適應調節

2.1 標準Kalman濾波算法

圖2 標準Kalman濾波原理

其中，增益矩陣K(k)由以下步驟迭代計算：

Γ(k-1)Q(k-1)ΓT(k-1)

(5a)

(5b)

(5c)

本文所研究的系統是一致完全隨機可觀的，因此所設計的Kalman濾波器是漸近穩定的，可以盲目選取濾波初值，通常為了方便直接選取零狀態為初值[6]。此外，由于此系統是線性時不變的，且過程噪聲和量測噪聲均平穩，可由離散Riccati方程離線獲取穩態誤差協方差矩陣，并計算相應的Kalman增益矩陣。以穩態的增益矩陣設計Kalman濾波器：

(6)

由式(6)可知，線性時不變系統的Kalman濾波器的增益矩陣也是時不變的，每一個采樣時刻，只需要根據量測信號對狀態估計值進行更新，減少了計算量和數據存儲量。

2.2 標準Kalman濾波器應用

針對表1所確定的車輛模型設計標準Kalman濾波器，仿真估計其車身和車輪的振動速度。

表1 四分之一車輛模型仿真參數

為仿真初值未知的工況，標準Kalman濾波器(KF)從t=0.5 s時刻才開始作用。積分法常用的去直流和趨勢項的三種方法中，多項式擬合法和頻域低頻幅值置零法的實時性較差，此處僅用帶高通濾波的積分器(HP-INT)作對比：加速度信號經高通濾波器濾去直流分量和趨勢項，積分得到速度信號后，再進行一次高通濾波。對車輛以10 m/s駛過B級隨機路面的工況，選取設置高通濾波器的截止頻率為路面輸入下截止頻率的一半，flp=0.05 Hz，仿真結果如圖3所示。

圖3 隨機路面激勵振動速度信號

由仿真曲線知，雖然高通濾波器可以濾去部分趨勢項，抑制了積分的發散，但得到的振動速度誤差較大。而Kalman濾波器不僅能準確估計振動速度，而且能快速消除初值對濾波結果的影響。產生上述問題的原因主要是：帶高通濾波的積分器是單輸入單輸出系統，分別對車身和車輪加速度信號進行處理，而Kalman濾波器是多輸入多輸出系統，由這兩個加速度信號共同作用進行振動速度的估計。由于懸架彈性力和阻尼力同時作用于車身和車輪質量，使得車身和車輪的加速度有一定的聯系，且懸架彈性力和阻尼力分別是車身和車輪的相對振動位移和速度的函數，所以引入懸架系統動力學模型，可以抑制速度估計的發散。

車輛受到脈沖激勵的響應比隨機激勵情況更復雜，頻譜更豐富。為仿真此工況下，Kalman濾波器對車輛振動速度估計的準確性，假設車輛以10 m/s駛過固定于隨機路面上、半徑為100 mm的半圓形凸塊的工況，結果如圖4所示。

圖4 脈沖路面激勵振動速度信號

圖4表明高通濾波器在去除趨勢項的同時，也濾去了脈沖響應中有效的低頻成分，使得積分得到的振動速度明顯偏離真實值，而且由脈沖響應引起的積分誤差要經過一段較長的時間才能消除。而Kalman濾波器充分利用了兩個加速度信號，保證了對振動速度的實時有效估計。

2.3 過程噪聲自適應Kalman濾波算法

實際系統中的過程噪聲協方差是變化且不可準確測量的，會影響狀態估計的效果。記真實過程噪聲協方差為Q1，而Q為設計Kalman濾波器時的預設過程噪聲協方差。仿真得到噪聲協方差參數不準確對振動速度估計精度的影響，如圖5所示。

圖5 過程噪聲協方差對振動速度估計誤差均方根值的影響

由圖5可知，當預設的過程噪聲協方差Q大于真實值時，對車身和車輪振動速度估計的誤差基本沒有影響。當Q小于真實值時，Q越小，車身振動速度的估計誤差越大，當Q為真實值的0.01倍時，誤差增大了71.5%；而對于車輪速度，隨著Q減小，估計誤差先減小后增大。過程噪聲協方差不準確主要影響車身速度的估計。綜合考慮對車身和車輪速度估計誤差，可以認為當Q小于0.01Q1時，濾波器對速度的估計失效。

過程噪聲是完全隨機的，無法知道預設的協方差值較真實值是偏大還是偏小，因此需要根據加速度信號自適應調節過程噪聲。基于預測濾波器的自適應Kalman濾波[10]狀態觀測器原理如圖6所示。該算法利用預測濾波器實時估計系統模型誤差d(k-1)及其協方差矩陣，對標準Kalman濾波算法的時間更新步驟進行了修正，從而自適應調節Kalman增益。

圖6 自適應Kalman濾波原理

其中，增益矩陣M(k-1)的計算式：

M(k-1)=[W+ΓT(k-1)HT(k)H(k)Γ(k-1)]-1×

ΓT(k-1)HT(k)

(7)

式中:W為d(k)的權重矩陣且為正定陣，一般取對角矩陣，其取值應滿足協方差約束。

同時預測估計誤差協方差的迭代式(5a)也要做相應的修正(針對本問題，只列寫線性時不變系統的公式)：

E[d(k-1)]=M[R+HΓ·d(k-1)]MT(8a)

(8b)

NT(k-1)+Γ{E[d(k-1)]+Q}ΓT

(8c)

注意到增加自適應調節后，Kalman濾波增益K(k)不再是常矩陣，需要通過式(5)和(8)進行實時迭代計算，相應增加了計算量和數據存儲量。

自適應Kalman濾波算法增加了一個參數矩陣W，文獻[14]僅對W的取值有一個定性的分析，并沒有給出具體的計算公式。作者指出，W表示模型誤差參與修正假設系統模型的權重。W越小，模型誤差的對模型的修正越多，估計值越接近測量值；而W越大，估計值越接近假設模型。為了更好地利用量測信號修正觀測模型，應當在滿足協方差約束條件下盡可能選取小的權重矩陣W。本問題中，取權重矩陣參考值：

W=2ΓTHTHΓ

(9)

對車輛以10 m/s駛過B級隨機路面的工況，預設過程噪聲協方差為真實值的0.01倍來模擬過程噪聲協方差未知的情況，分別應用Kalman濾波器(KF1)和過程噪聲自適應Kalman濾波器估計振動速度，結果如圖7所示。

圖7 過程噪聲未知時的隨機路面激勵振動速度信號

圖8 過程噪聲未知時的脈沖路面激勵振動速度信號

由于未知過程噪聲，預設的協方差不準確。由圖7可知，KF1估計得到的車輪速度較準確，但車身速度誤差大；而AKF有效地消除了過程噪聲不準確帶來的估計誤差，自適應效果明顯。

圖8所示是脈沖路面激勵工況的仿真結果。

由圖8可知，不準確的過程噪聲協方差使得KF1不能估計出準確車身振動速度，而自知應調節步驟保證了AKF對振動速度的估計比較理想。

3 結 論

利用車輛振動模型，設計Kalman濾波器，由加速度信號估計振動速度，仿真分析得到如下結論：

(1) Kalman濾波器利用動力學模型將兩個加速度信號聯系起來，可以準確地估計振動速度，并快速消除初值對濾波結果的影響。Kalman濾波器的使用有效解決了基于高通濾波的積分器對低頻信號處理效果不理想的問題。

(2) 當Kalman濾波器過程噪聲協方差未知時，若預設值大于真實值，對車身和車輪振動速度估計的誤差基本沒有影響；若預設值小于真實值，對車身振動速度估計影響較大，甚至可能導致濾波器失效。

(3) 基于預測濾波器的自適應Kalman濾波器可以消除過程噪聲參數對振動速度估計結果的影響，而不用考慮預設的過程噪聲協方差與真實值的大小關系。

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