探討振動激勵下濕顆粒物質中的斷層行為

母應坤, 孔維姝, 胡 林, 王 影

(貴州大學 理學院 貴州光電子技術與應用重點實驗室,貴陽 550025)

濕顆粒物質是泛指包含一定液體的尺度d≥1 μm的大量離散固體顆粒組成的宏觀復雜體系，它普遍存在于自然界，例如沙石、土壤、浮冰、泥漿、積雪等。濕顆粒物質有許多不同于固體、液體、氣體的奇特性質，如成堆、結團、對流、表面斑圖等，產生這些運動形式的物理機理成為近年來顆粒物質物理的研究熱點[1-2]。Milica等[3]在研究完全侵濕的濕顆粒系統振動時發現，示蹤粒子的對流深度與時間滿足冪律關系。 Liao等[4]研究了振動激勵下大小不同的混合濕顆粒分層運動，結果表明分層過程與液體粘度和體積分數密切相關。Johann等[5]在研究泥漿的振動行為時發現泥漿床層表面會出現許多大小不一的對流堆，在一定條件下對流堆會演變成一個皇冠(或花冠)斑圖。Giusepponi等[6]認為振動顆粒床中的顆粒體系可看作是很多蹦球的耦合，蹦球是一個簡單的理論模型，但所包含的非線性現象卻極其復雜[7-10]；Naylor等[11]研究了蹦球的倍周期分叉、混沌等非線性理論；姜澤輝等[12]研究了振動的干顆粒系統對臺面沖擊力的倍周期現象。最近我們在豎直激振下圓筒容器內的濕顆粒物質中，發現了一種未見報道的倍周期運動的斷層現象。實驗表明倍周期運動強烈地依賴約化加速度Г，并且對環境條件、液體性質等因素敏感。我們采用蹦球模型對其進行了動力學分析，其數值解結果與實驗結果吻合較好。

1 實驗

圖1 實驗裝置示意圖

實驗裝置如圖1所示，信號發生器產生正弦信號，經功率放大器放大后輸出至激振器，激振器連接的振動平臺帶動容器作豎直振動。振動平臺上裝有兩個加速度傳感器，一個與加速度測量計相連，用于調控振臺加速度，另一個連接數據采集器，采集斷層塊對振臺的沖擊信息。室內空氣溫度(20.0±0.5)℃，相對濕度95%。玻璃筒內徑和高度分別為(20.00±0.02)mm和(100.00±0.02)mm；容器內裝有飽和度為7.5%的濕顆粒，干顆粒以及示蹤子共重(25.60±0.01) g，顆粒材料為玻璃，粒徑為(1.0±0.1) mm，示蹤子的材料、大小與顆粒相同，顏色為黑、紅、藍、黃四種。實驗中一次性配制多瓶相同的濕顆粒，改變一組參數前先更換一瓶濕顆粒，控制參量為頻率f和約化加速度Γ(Γ=Aw2/g=A(2πf)2/g,其中A為振臺振幅，w為振動角頻率)。由于濕顆粒的斷層塊運動對環境條件、液體性質等因素敏感，實驗中我們注意了嚴格控制實驗參量；另外，為了獲得較好的實驗結果，每個采集狀態均須持續振動約3 min，待狀態穩定后方可進行數據采集。

圖2 (a) 斷層運動照片截圖 (b)不同Γ值下的沖擊波形 (c) 波形的局部放大

圖2(a)為豎直振動激勵下斷層運動的照片截圖，斷層位置出現在約化高度(上層顆粒底部離容器底部的高度除以顆粒介質的總高度)為[0.5,0.7]的范圍內。圖2(b)是f∈[65,75] Hz，Γ=8,10,13時，數據采集器采集到的振臺的沖擊力強度隨時間變化的波形圖，其中正弦信號是激振信號，波谷附近的鋸齒信號(圖2(c)為Γ=10時，鋸齒信號的局部放大圖)是上層顆粒(以下將上層顆粒稱為斷層塊)沖擊振臺的信號，由圖可見, 斷層塊對振臺的沖擊信號是有節律的，即斷層塊沖擊振臺的運動具有周期性，沖擊周期剛好為激振周期的n倍，其中n=1,2,3,…(以下將n稱為倍率)。在采集到的信號中未見下層顆粒沖擊振臺的信號，因此，顆粒層斷裂后，下層顆粒的運動可以視為與振臺同步運動。實驗結果表明：f∈[65,75] Hz時, 隨著Γ的加大，倍率階梯式增大，當Γ∈[7.8，8]，n=2；Γ∈[10，11],n=3；Γ∈[13,14],n=4。

2 實驗分析

在豎直振動激勵下，顆粒間的碰撞是非彈性的，這種非彈性碰撞不停地消耗顆粒的能量，導致顆粒有聚集到一起的傾向，再加上液體的粘滯性和顆粒間的液橋作用等因素，顆粒間更容易粘接在一起，從而使顆粒的結構較為密實，這樣，當斷層發生時，斷層塊的運動可以用一個完全非彈性蹦球[13-14]來模擬，在外界周期性振動的激勵下斷層塊的運動類似于恢復系數為零的蹦球運動。實際斷層塊運動將受到振動容器形狀、材料、規格、液體種類等多種因素制約，為簡化問題，將蹦球所受的一切外部阻力用一個大小不變且與速度無關的恒定阻力來估算[15]:

Ff=βmg

其中:Ff為蹦球所受阻力，m為蹦球質量，β為阻力系數，β∈[0,1]，表征蹦球所受外部阻力的強弱。若以地面為參考系(慣性系)，則該恒定阻力的方向始終與蹦球運動的方向相反。假設一個蹦球在一個正弦豎直振動的平臺上做完全非彈性運動，設振動臺的振幅和角頻率分別為A和ω,則振臺的加速度為：a(t)=-Aωsin(ωt),當t=0時，蹦球隨平臺一起運動，運用牛頓運動定律可得N(t)-mg-Ff=ma(t),其中N(t)為平臺對蹦球的支持力，當N(t)=0時，蹦球與平臺處于分離臨界狀態，由此可得蹦球第一次被上拋的時刻為：

由于重力的作用，蹦球飛行一段時間后，將落回平臺。上升階段做勻減速直線運動：a=(1+β)g，下降階段做勻加速直線運動：a=(1-β)g。當蹦球與平臺發生完全非彈性碰撞，碰撞后蹦球的運動狀態有兩種:當著陸時振臺的加速度a(t)g(β-1)時，碰撞后蹦球將停留在平臺上，隨其一起運動，直到下一個振動周期內滿足起跳條件重新被拋起，稱蹦球落入吸收區(圖3中B區 )，落入同一吸收區的蹦球都將從同一位置起拋，這是導致蹦球倍周期運動的原因。蹦球可能經過多次碰撞才落入吸收區完成一個周期運動，考慮到我們的實驗設備不能清晰地接收到經多次碰撞產生的高倍率信號，為簡化問題，數值解時，僅考慮經一次或兩次碰撞完成一個周期運動的情況(圖3中方塊標記的曲線為一次碰撞，圓點標記的曲線為兩次碰撞)。

圖3 不同Γ下蹦球的倍周期運動(A為發射區，B為吸收區)

設蹦球的振動周期為T′(若蹦球落入吸收區，碰撞后將隨臺面一起運動直到下一個起拋點才開始新一輪的循環運動，則只要落入該吸收區的蹦球，其振動周期也為T′),臺面振動周期為T，當n=T′/T,n=1,2,3,…,稱蹦球的運動是n倍周期運動。對于一定的Γ值，可根據下式確定蹦球第k次與振臺碰撞的時刻tk

(1)

其中：k=1, 2, 3, …，tk-1表示前一次碰撞時刻，由tk可以計算出蹦球與下層顆粒碰撞時的速度(以下簡稱著陸速度，著陸速度反映沖擊力的大小)：

u(t)=Awcos(wtk)+(1-β)g[tk-tk-1-

(2)

取Γ=9，(1),(2)兩式的數值解如圖4所示，其中飛行時間用振臺周期T約化，即

t/T=(tk-tk-1)/T=(tk-tk-1)·f

圖4中實心點和空心點表示的兩組數據分別對應β=0和β=0.4，數據表明，當約化加速度Γ和頻率f固定時，阻力系數β小所對應的蹦球約化飛行時間t/T和著陸速度u大，這與文獻[15]的研究結果一致。圖4(a)和4(b)表明，約化飛行時間與激振頻率無關，但強烈地依賴于約化加速度Γ，隨著Γ的增大，約化飛行時間增加(這是隨著Γ增大倍率n增大的原因)，并出現分叉現象，整數約化飛行時間發生在分叉點處。圖4(c)和(d)表明，當約化加速度一定時(圖中Γ=9)，隨著頻率的增加，蹦球的著陸速度指數衰減。當頻率一定時(圖中f=70 Hz)，隨著Γ的增大，蹦球的著陸速度隨Γ振蕩增加(這是倍率的實驗值n<4的原因, 因Γ較大時，著陸速度大意味著沖擊力大，沖擊力過大時斷層塊被沖散)，分叉點的Γ值與圖4(b)的Γ值對應。

圖4 不同Γ(或頻率f)下的約化飛行時間和著陸速度

圖5是β=0和β=0.4時倍率n隨約化加速度Γ變化的關系，其中空心點對應β=0的數值解，實心點對應β=0.4的數值解，十字叉對應實驗數據。 數據表明：①隨著Γ的增加，倍率n的理論值隨約化加速度Γ值的加大階梯式變化；②阻力大時，對于同一倍率n所需的Γ值大，這與圖4顯示的實驗結果一致；③三倍、四倍周期的Γ實驗值與臺階上的理論值幾乎吻合，而二倍周期的Γ實驗值則比臺階上的Γ理論值偏大。

圖5 整數倍周期的理論值與實驗值的比較

3 結 論

豎直振動激勵下圓筒容器中的濕顆粒物質通過液橋力、粘滯力等力的作用可形成較密實的顆粒床。實驗表明，當Γ取值范圍在[8,15]時，顆粒床會從某一位置斷裂，形成斷層現象，斷層塊會有節律的與下層濕顆粒相互碰撞，產生二倍、三倍、四倍周期運動。我們采用蹦球模型對實驗結果進行計算模擬，三倍、四倍周期對應的Γ實驗值與數值解吻合較好，二倍周期對應的Γ實驗值則大于數值解的結果。濕顆粒物質中的斷層運動與許多因素有關，比如顆粒大小、容器尺寸；摩擦阻力、空氣阻力、液橋力、粘滯阻力；溫度、濕度等等，其運動比振動板上的完全非彈性蹦球的運動更為復雜，這應該是理論與實驗出現偏差的一個原因，斷層塊的倍周期運動的動力學分析十分復雜，有待更進一步的研究。

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