一種葉片干摩擦阻尼器耦合振動分析的二維局部摩擦模型

何冰冰, 任興民, 何尚文, 秦衛陽, 楊永鋒, 鄧旺群

(1.西北工業大學 振動工程研究所，西安 710072；2. 鄭州大學 力學與工程科學學院,鄭州 450001；3. 中國航空動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

給葉片附加干摩擦阻尼器可以有效抑制航空發動機葉片振動，國內外學者已在此領域開展了大量研究。研究表明建立科學、準確的干摩擦接觸模型是該類阻尼器計算、設計的關鍵。Iwan[1]提出了彈簧的并聯和串聯模型來模擬一維摩擦接觸；Menq等[2-3]引入彈性剪切層模擬摩擦接觸對一維局部滑移進行了研究；漆文凱等[4-5]提出了一種一維解析局部滑移摩擦模型，并在國內得到了廣泛應用。隨著研究深入，一維摩擦接觸模型不能求解葉片阻尼器系統耦合振動問題的局限性愈加明顯，且工程中葉片并非一維振動，單穎春等[6-7]利用軌跡跟蹤法分析了二維運動時摩擦力的情形，其研究基于二維整體滑動模型，接觸點要么滑動、要么粘滯。

實際上和一維滑動[2,8]一樣，二維滑動過程中，存在著完全粘滯、局部滑動、整體滑動三種情形或階段。本文在一維局部滑動模型[8]和二維整體滑動模型[6-7]基礎上，通過帶滑動觸點的并聯彈簧系統來模擬二維平面運動時摩擦接觸點的局部滑動(部分觸點滑動，部分觸點粘滯)，建立了一種二維局部摩擦模型，推導了各種摩擦接觸下摩擦力的計算公式，為葉片阻尼耦合振動分析打下了堅實基礎。

1 二維局部滑動模型的建立

參考[8]中的一維局部滑動模型，給定相關摩擦接觸參數，從臨界滑動狀態(接觸面間將要發生整體滑動，此時摩擦力f值為μN，μ為動滑動摩擦系數，N為接觸面間正壓力)卸載、重復加載時干摩擦力和接觸面間相對位移的遲滯曲線如圖1所示。另外為了模擬接觸面間一維局部滑動，Iwan[1]的彈簧并聯和串聯模型很有代表性，且并聯模型更為直觀、便捷。

圖1 臨界狀態時摩擦力-位移遲滯曲線

用并聯彈簧模型對摩擦進行模擬時，摩擦力f與位移u的關系為：

(1)

式中:序號為1到j的彈簧滑動觸點已開始滑動，j+1到n的彈簧為彈性變形階段；km與Rm分別為對應彈簧剛度及臨界摩擦力。用并聯彈簧模型來模擬文獻[8]的一維局部模型，參考圖1類橢圓內部初始加載階段曲線，令接觸面局部滑動與整體滑動的臨界位移分別為u1、un，以u1為首項un為末項形成一等差數列，則第2到n-1個彈簧的臨界位移為分別為數列的第2到n-1項。由初始加載曲線可得um對應的Pm，由方程(2)可解得km(m=1,2,…,n)并得到Rm。當用6個彈簧并聯來模擬時如圖2所示。

(2)

圖2 并聯模型形成遲滯曲線與圖1對比

由圖2可知，當彈簧個數為6時兩遲滯曲線已基本重合，實質上當接觸面長度、彈性模量、橫截面積及滑動摩擦系數這些因素變化不大時，此結論具有較強通用性，在忽略正壓力變化對接觸面長度、彈性模量、滑動摩擦系數等參數的影響時對上述結論通用性影響較小。本文選用6個彈簧來模擬相同摩擦接觸條件下的二維摩擦，如圖4所示。令方程(2)中的n等于6進行求解，可得六個彈簧的參數km和Rm(m=1,2,…,6)。

圖3中b1,…,b6為彈簧對應滑動觸點，當第m個彈簧變形小于Rm/km，則bm保持粘滯狀態，否則bm開始滑動，各個觸點可能狀態不同。

圖3 二維局部滑動模型

兩個接觸面摩擦，a為某葉片上的摩擦觸點，bm為滑動觸點。設初始時bm和a重合，葉片開始振動后，由諧波平衡法[9-10]知點a軌跡為xa=Axcos(ωt+φx)，ya=Aycos(ωt+φy)，ω為外激勵角頻率，Ax、Ay為x,y方向振幅，φx、φy為對應初相位。已知a點的運動軌跡，由軌跡跟蹤法求b1運動軌跡(其它滑動觸點軌跡確定方法與b1相同)：首先將一個振動周期時間離散為適當多時刻ti(i=0,1,…,n)(n取值要兼顧精確性及計算效率)。設ti時刻a點位置ai(xai,yai)為(Axcos(ωti+φx)，Aycos(ωti+φy)),b1點位置為(xbi,ybi)。假定b1初始位置為(0, 0)，比較a0距(0, 0)的距離與R1/k1，若小于或等于，則xb0=0,yb0=0，若大于則b1將向a點運動且使摩擦力值保持R1，xb0,yb0按式(3)計算。比較a1和(xb0,yb0)間的距離和R1/k1，如果小于或等于，則b1保持不動，若大于則b1將向a點運動且使摩擦力值保持為R1，xbi,ybi(i≥1)按式(4)計算，可確定一個周期內b1的軌跡，再以這個周期最后的b1位置作為下個周期b1位置的初始點，按上述跟蹤方法計算，當相鄰兩個周期的軌跡趨于一致時即收斂。由a點和b1點的運動軌跡可求得一個穩態周期內摩擦力大小及方向(按式(5)計算)，同理可得到其它5個彈簧所模擬的摩擦力大小和方向，將所有摩擦力分解到x和y兩個方向合成可得二維接觸運動時一個穩態周期內干摩擦力在x和y方向的離散數值解如式(6)所示。二維摩擦力fx、fy可通過式(7)等效為剛度和阻尼應用于葉片阻尼器系統耦合振動分析。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 二維摩擦接觸仿真及分析

一個穩態周期內，對摩擦接觸面處于完全粘滯、局部滑動和完全滑動三種情況下各個滑動觸點的穩態軌跡及摩擦力進行了計算。結果如圖4至圖8所示(各圖(a)中最外曲線為觸點a軌跡，圖5、6、7為局部滑動的3種情形)。

圖4(a)表明在一個穩態周期內各滑動觸點保持粘滯(正壓力很大)；圖4(b)表明摩擦力均小于臨界滑動摩擦力Rm(無水平直線段)，各彈簧保持彈性變形；圖4(c)、4(d)說明x和y方向摩擦力和對應位移為線性關系，與一維局部滑動的規律一致，阻尼器主要顯示剛度特性。

(a)完全粘滯時各個滑動觸點的穩態軌跡 (b)完全粘滯時摩擦力大小隨時間的變化曲線 (c)完全粘滯時x方向總摩擦力隨對應位移的變化曲線 (d)完全粘滯時y方向總摩擦力隨對應位移的變化曲線

(a) 部分滑動觸點一直粘滯時各個滑動觸點的穩態軌跡 (b) 部分滑動觸點一直粘滯時摩擦力大小隨時間的變化曲線 (c)部分滑動觸點一直粘滯時x方向總摩擦力隨對應位移的變化曲線 (d)部分滑動觸點一直粘滯時y方向總摩擦力隨對應位移變化曲線

由圖5(a)、5(b)可知：在一個穩態周期內有4個滑動觸點一直處于完全粘滯狀態，對應4個彈簧保持彈性變形，模擬的摩擦力一直小于臨界滑動摩擦力；2個滑動觸點處于粘滑轉換狀態，模擬的摩擦力在振動中達到了臨界滑動摩擦力(圖5(b)中水平直線段)；圖5(c)、5(d)說明x和y方向摩擦力和對應位移形成遲滯曲線，與一維局部模型的規律一致，均未出現整體滑動，阻尼器顯示剛度及阻尼特性。

由圖6(a)、6(b)可知：在一個穩態周期內所有滑動觸點處于粘滑轉換，所有彈簧模擬的摩擦力在振動中均達到臨界滑動摩擦力(圖6(b)中水平直線段)；圖6(c)、6(d)說明x和y方向摩擦力和對應位移形成遲滯曲線，且x方向發生了整體滑動，y方向摩擦力和相對位移不同時達到最值；阻尼器顯示剛度和阻尼特性。

(a) 所有滑動觸點處于粘滑轉換時各個滑動觸點的穩態軌跡 (b) 所有滑動觸點處于粘滑轉換時摩擦力大小隨時間的變化曲線 (c) 所有滑動觸點處于粘滑轉換時x向總摩擦力隨對應位移變化曲線 (d) 所有滑動觸點處于粘滑轉換時y方向總摩擦力隨對應位移變化的曲線

(a) 部分滑動觸點保持滑動時各個滑動觸點的穩態軌跡 (b) 部分滑動觸點保持滑動時摩擦力大小隨時間的變化曲線 (c) 部分滑動觸點保持滑動時x方向總摩擦力隨相應位移變化曲線 (d) 部分滑動觸點保持滑動時y方向總摩擦力隨對應位移變化曲線

由圖7(a)、7(b)可知：在一個穩態周期內5個滑動觸點處于粘滑轉換狀態，對應彈簧模擬的摩擦力在振動中均達到臨界滑動摩擦力(圖7(b)中水平直線段)，1個滑動觸點一直處于滑動狀態，對應摩擦力一直等于臨界值(圖7(b)最下水平直線)；圖7(c)、7(d)與圖6(c)、6(d)基本一致；阻尼器顯示剛度及阻尼特性。

圖8 完全滑動狀態

由圖8(a)、8(b)知，在一個穩態周期內所有的滑動觸點一直處于滑動狀態，所有彈簧模擬的摩擦力值一直等于臨界滑動摩擦力，摩擦力大小變化規律與一維庫倫摩擦模型相同，摩擦力方向在平面內不停變化；圖8(c)、8(d)(未畫出)與圖7(c)、7(d)相似，x和y方向形成遲滯曲線且x方向發生整體滑動，y方向摩擦力和相對位移不同時達到最值；阻尼器顯示剛度及阻尼特性。

從圖4到圖8接觸正壓力逐步減小，接觸狀態由完全粘滯到局部滑動再到完全滑動，在此過程中二維局部滑動模型逐步呈現出與一維局部滑動模型明顯不同的一些特性(周期激振力作用下)：y方向遲滯曲線中干摩擦力與相對位移不同時達到最大或最小；一個穩態周期內二維運動可以一直保持整體滑動狀態(正壓力很小)。

3 結 論

(1) 二維接觸運動情況下確定所有滑動觸點運動軌跡時追蹤一般不超過4個周期。

(2) 將局部滑動模型由一維擴展到二維，解決了一維模型不能分析葉片—干摩擦阻尼器耦合振動問題的弊端。

(3) 仿真表明二維運動與一維運動相比，接觸面完全粘滯時兩者的摩擦力變化規律基本一致；局部滑動時，只有前者存在摩擦力與相對位移不同時達到最值的情形；發生整體滑動時，前者存在一個穩態周期內摩擦界面間一直處于滑動狀態的情形，后者不存在此情形。

[1] Iwan W D. On a class of models for the yielding behavior of continuous and composite systems[J].ASME Journal of Applied Mechanics, 1967, 89:612-617.

[2] Menq C H, Bielak J, Griffin J H. The influence of microslip on vibratory response, Part I: A new microslip model [J]. Journal of Sound and Vibration, 1986, 107(2):279-293.

[3] Menq C H, Griffin J H, Bielak J. The influence of microslip on vibratory response, Part II: A comparison with experimental results [J].Journal of Sound and Vibration, 1986, 107(2):295-307.

[4] 漆文凱,高德平.帶摩擦阻尼裝置系統振動響應分析法研究[J].航空動力學報，2006,21(1):167-173.

QI Wen-kai, GAO De-ping. Study of vibration response analysis method for the dry friction damping systems [J].Journal of Aerospace Power, 2006, 21(1):167-173.

[5] 漆文凱,高德平.摩擦阻尼減振設計中的局部滑動問題[J].航空學報, 2006,27(5): 805-809.

QI Wen-kai, GAO De-ping. Microslip study on friction damping and its application in design of vibration reduction [J]. Acta Aeronautica Et Astronautica, 2006, 27(5):805-809.

[6] 單穎春,朱梓根.平面接觸圓運動摩擦力的解析與數值算法[J].航空動力學報，2006,17(4): 447-450.

SHAN Ying-chun, ZHU Zi-gen. Theoretical and numerical methods for solving friction force of circular motion in contact plane [J].Journal of Aerospace Power, 2006, 17(4):447-450.

[7] 單穎春,朱梓根.復雜接觸運動下非線性摩擦力的求解[J].潤滑與密封，2006, 175(3):73-77.

SHAN Ying-chun, ZHU Zi-gen. The solution of nonlinear friction forces when friction interfaces constrained to complex contact motions [J]. Lubrication Engineering, 2006, 175(3):73-77.

[8] 何尚文,任興民,秦衛陽,等.基于整體-局部統一滑動模型的葉片緣板阻尼器減振特性分析[J].西北工業大學學報,2010,28(6): 872-876.

HE Shang-wen, REN Xing-min, QIN Wei-yang, et al. A method for reducing the blade vibration of platform damper using the macro-micro slip model [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2010, 28(6):872-876.

[9] Berthillier M, Dupont C, Mondal R, et al. Blade forced response analysis with friction dampers [J]. Transaction of the ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1998,120:468-474.

[10] 聞邦椿,李以農,許培民,等. 工程非線性振動[M].北京:科學出版社, 2007：34-36.