二階亞純函數系數非齊次線性微分方程解的超級

梅 芳，劉 章，曾春華

(江西農業大學理學院，330046,南昌)

二階亞純函數系數非齊次線性微分方程解的超級

梅 芳，劉 章，曾春華

(江西農業大學理學院，330046,南昌)

研究了二階亞純函數系數非齊次線性微分方程f″+Af′+Bf=F解的超級不同零點收斂指數。當其系數滿足一定的條件時，得到方程解的超級零點收斂指數的精確的估計。

亞純函數；非齊次線性微分方程；超級不同零點收斂指數

1 背景

在文獻[4]中，得到了下面的引理。

引理A：設A、B、F?0為有限級亞純函數，A、B為超越的，且滿足

σ(A)<σ(B)<∞

(1)

和

(2)

若方程

f″+Af′+Bf=F

(3)

有亞純解，則

2 引理

引理1[6]：假設g(z)為亞純函數，σ(g)=β<+∞，那么對任意給定的ε>0，存在一個線測度和對數測度都為有窮的集合E1?(1,+∞)，使當|z|=r?[0,1]∪E1,r→+∞時|g(z)|≤exp{rβ+ε}。

引理3[8]：假設f(z)是超越亞純函數，設P={(k1,j1),…,(km,jm)}表示一個整數對的有限集合，滿足ki>ji≥0，(i=1,2,…,m),α>1是一個給定常數，那么存在子集E3?(1,+∞)有有窮對數測度，存在僅依賴α和P的常數K>0，滿足對所有滿足|z|=r?[0,1]∪E3的z和(k,j)∈P，得到

3 主要結果

1996年Kwon Ki-Ho在文獻[5]中研究了二階線性整函數系數微分方程

f″+A(z)f′+B(z)f=0

的解的超級問題。

本文在文獻[5]的啟發下主要研究了引理A中無窮級解的超級，進一步深化了對方程(3)解的討論，得到以下結果。

定理：設A、B、F?0為有限級亞純函數，A、B為超越的，且滿足條件

max{σ(F),σ(A)}<σ(B)<∞

(4)

和

(5)

定理的證明：取α,β>0，使得σ(A)<α<β<σ(B)<+∞，先將方程式(3)改寫為

(6)

由引理1可知，存在線測度和對數測度均有窮的集合E1?(1,+∞)，使|z|=r?[0,1]∪E1,r→+∞時，

|A(z)|≤exp{rα}

(7)

由定理的條件(5)可知

|B(z)|≥exp{(1+o(1))rσ(B)-ε}

(8)

設f為方程(3)的無窮級解，則f為超越亞純函數，由引理3可知，存在一個子集E3?(1,+∞)具有有窮對數測度及常數K>0，對滿足|z|=r?[0,1]∪E3的所有z有

(9)

若f在z0有k(≥1)階極點，而A(z),B(z)都在z0點解析，則f″+Af′+Bf在z0有k+2階極點，但F在z0解析，矛盾，所以f的極點只能發生在A(z),B(z),F(z)的極點處，因……