基于排隊論模型分析生化恐怖襲擊事件的醫療救助能力

王斌，王菊韻

(中國傳媒大學 理工學部，北京 100024)

1 前言

生化恐怖襲擊一旦發生對社會和人民生命會帶來極大的威脅，如已發生的日本地鐵沙林毒氣事件和美國炭疽事件。1994年6月27日，松本市遭受了沙林毒氣的襲擊，事件造成7人死亡。二年后的1995年3月20日，沙林毒氣襲擊事件在東京地鐵站再次發生，事件造成12人死亡，6000多人受傷。當這樣的恐怖襲擊發生后，受害者的自救能力和醫療救助方式與其他的災害并不相同[1][2]。因此，在生化恐怖襲擊發生時，分析和預測醫院的救助能力，使受害者的傷亡減少到最低，是事故救援中的最重要的問題。

文中主要研究兩個問題：(1)當生化恐怖襲擊發生時，分析計算受害人群到達首選醫院的人數。(2)在救助黃金時間，受害者首選醫院的救助能力及受害者等待時間的計算。

2 方案和研究目的

基于上文中提到的日本沙林毒氣事件，我們設置如下的研究場景。在一定時間里，北京某地鐵站里有上百人(包括等地鐵的和換乘地鐵的人群)。刺激性氣味從可疑物體發出后，迅速蔓延到整個站臺。許多人已經有了中毒現象，開始惡心、流淚，一些靠近可疑物體的人有了更嚴重的癥狀。此時，乘客開始沖出地鐵站尋找最近的醫院尋求治療，并且許多傷者進入的都是離地鐵站最近的醫院。

如果等待時間超過了黃金時間，可能會影響受害者的治療甚至造成傷亡人數的增加。所以，根據醫院的救助水平，受害者人數等，需要計算出平均救助時間和相關的參數。這些參數可以表示出醫院的醫療救助能力。

3 計算到達率模型

3.1 瞬態系統中計算到達的受害者人數

傳統方法中，排隊論是對時間間隔相對較長下顧客到達情況的理論研究。即顧客的到達時間服從泊松分布并且到達時間間隔和服務時間服從指數分布。經一段時間后該系統會達到穩態的排隊系統。

生化恐怖襲擊的特征是發生概率低和有很大的不確定性。并且在短時間內會聚集大量受害人群，所以，當恐怖襲擊發生時，預測受害人群涌入醫院的情況不能用傳統的排隊論系統。當人們心理恐慌時，大量受害人會在短時間內涌入醫院，因此顧客到達是非穩態的，基于這種情況我們需要建立一個瞬態行為系統，從而估計每個時刻到達醫院的受害者人數，以及對到醫院的受害人數作出判斷，預測在“黃金救助時間”內醫院的救治能力。

假定在時刻t受害者到達醫院，到達時間服從近似泊松分布，到達率為λ(t)。醫院有s(t)個并行服務臺，服務時間服從指數分布，服務率為μ(t)。醫院能容納的受害者人數最多為N。

設pi(t)表示系統在初始狀態下，在時間t時系統中有i個受害者的概率。p0(0)=1，如果i>0，pi(0)=0。通過下述模型，計算出在t+△t時刻系統中有i個受害者的概率：

P0(t+△t)=(1-λ(t)△t)P0(t)

+μ(t)△tPi(t)

(1)

Pi(t+△t)=λ(t)△tPi-1(t)+(1-λ(t)△t

-min(s(t)，i)μ△t)Pi(t)

+min(s(t)，i+1)

μ(t)△tPi+1(t)

(2)

1≤i≤N-1

PN(t+△t)=λ(t)△tPN-1(t)

+(1-min(s(t)，N)μ(t)△t)

PN(t)

(3)

上面的等式可以計算在時刻t+△t時，到達或者接受服務的受害者的概率。E(t)表示在某時刻等候和接受治療的人數，它的平均值如下表述：

(4)

3.2 醫院醫療救助能力的計算

當受害者的平均到達率λ小于醫院的平均服務率μ時，可用傳統排隊論計算受害者等待時間，本文主要討論受害者的平均到達率λ大于醫院的平均服務率μ的情況。

當λ>μ時，醫院沒有足夠的救助能力。這時系統是有限的，醫院救助能力可以通過排隊論模型 (M/M/S/GD/c/∞)計算。這個系統中，到達時間間隔和服務時間都服從指數分布，每個受害者接受服務的時間是獨立的，并行服務臺個數(包括醫生和護士)是S，系統容量是c，受害者人數是無限的。因為系統是有限的，所以當系統有c個受害者的時候，再多的受害者就不會進入系統。最后，即使到達率大于服務率，系統都不會“爆炸”而會處于穩態。

關于系統的某些參數如下所述。系統服從“先到先服務”的服務規則。qj表示系統中有j個受害者的穩態概率。

(5)

等待時間服從j-c+1的愛爾朗分布，等待時間的分布函數表示如下：

在醫院的受害者的平均等待時間表示如下：

(7)

因為，系統中不是所有的受害者都能在“黃金救治時間”被治療，所以，我們通過公式(6)，即等待時間的分布函數計算出在“黃金救治時間”里能治療的受害者的人數，從而預測醫院能夠治療的受害者人數。

將(6)式展開整理得到公式(8)。(8)式表示等待時間小于等于1小時的概率。

(8)

4 實驗

本節通過仿真驗證上述提出的方法。4.1為到達率的仿真。4.2為醫療救助能力的仿真。

4.1 到達率的計算仿真

在恐怖襲擊發生時，通過等式(4)，能夠計算出每個時刻到達醫院的受害者人數。假定生化襲擊同時發生在北京復興門地鐵站的兩個站臺，離地鐵站最近的醫院北京二龍口醫院就成為人們第一時間接受治療的醫院。紅色標識B表示的就是二龍路醫院。地鐵站有A、B、C、D四個出口。B口是離醫院最近的一個出口，D出口是距離醫院最遠的一個出口。由此可知第一個到達醫院接受治療的受害者最可能是從B口步行到達的。復興門站距離醫院的最近距離大概為833米。

圖1

在早上7:30到9:00之間，北京地鐵處于早高峰時段，若此時復興門地鐵站遭受生化恐怖襲擊，將會有大量的人群涌入二龍口醫院。根據地鐵站與二龍口醫院的地理距離以及遭受意外事故的受傷人群的步行能力，能夠估算出最快到達醫院的受害者的時間大概是15min。

早高峰期間，地鐵一號線和二號線列車運行間隔都會縮短，列車進站的頻率就會加快，站臺的人數相應就會增多。另外，通過調查統計得到復興門站早高峰時換乘地鐵人數。采用高峰期7:30—8:30的客流調查數據，其具體數據如表1所示。由此看出此時復興門站的人數(換乘的乘客)超過2萬人次，平均每分鐘的換乘人數超過400人。

表1 高峰時段各個地鐵站的換乘量

同時還會有大批的乘客通過入口到站臺等待乘車，此時復興門地鐵站人數處于一個高峰值。所以，若此時發生恐怖襲擊，地鐵站有大概上千人，根據日本沙林毒氣襲擊事件報告可知，其中會有百分之三十左右的受害人會去醫院。通過醫院距離地鐵站的距離和道路情況等因素，可以估算出受害者到達醫院的速率，如表2所示。

表2 不同時間受害者到達醫院的速率λ

按照文獻[3]的方法，可以通過等式(1)(2)(3)模擬出到達醫院的受害者的概率分布。局部的結果如表3所示。

通過等式(4)可以計算出一小時內到達醫院的受害者人數，其結果如圖2所示。

圖2 到達醫院的受害者人數

時 間不同時間到達的受害者的概率秒小時P(0)P(1)P(2)P(295)P(296)00100006000.171000012000.335.19E-282.46E-265.63E-250018000.508.11E-934.37E-911.14E-894.38E-086.65E-0824000.673.53E-1107.76E-1098.26E-1080.1580.45330000.833.44E-1051.43E-1042.95E-1044.00E-053.21E-06360017.62E-1041.36E-1031.57E-1035.36E-102.18E-11

條件：1.到達人數服從非齊次泊松分布。2.醫院有十個醫生，每小時可以治療70個受害者。3.醫院最多可以容納296人。4.第一個受害者到達醫院需要15分鐘。

由上圖可知，在第十五分鐘，第一名受害者到達醫院后，到達人數有明顯的增長趨勢。在一小時內有大約296個受害者到達醫院，并且幾乎所有的受害者都是在四十分內到達的。同時，隨著受害者被不斷被救助后，系統中的受害者在不斷減少。仿真的結果與我們的經驗是吻合的。

4.2 計算救助能力的仿真

本文中假設受害者到達醫院后需要兩個階段的救治服務。首先，受害者在第一階段需要填表登記并初步診斷其病情的輕重，無明顯癥狀或病情輕微的患者進入觀察室進行觀察治療，病情中度或嚴重的患者就必須接受下一個階段的專業治療。其中，病情中度者經過治療，比如，打針輸液，就可以出院。嚴重癥狀的患者則需要住院治療。其次，在觀察室的受害者中有部分人員目前癥狀比較輕微，一段時間后病情就會加重，需要進一步接受治療，而觀察室剩下的大部分人員在一段時間的觀察后，未表現出嚴重癥狀，就可以離開醫院。受害者到達醫院的具體排隊流程如圖3所示。

圖3

假設到達醫院的296名受害者在等候治療。服務時間服從指數分布，在第一階段的治療過程中，有三名醫生(即三個服務臺)，每名醫生每小時可以診斷60名受害者。第二個階段，有七名醫生(即七個服務臺)，每名醫生每小時只能救助3名受害者，并且等候區域能容納所有受害者。根據(7)式和(8)式可以得出表4。

由表4可以看出在時間緊迫，醫生人數有限的情況下，半小時內，3名醫生只能診斷94人。一小時內，若要求救助率達到95%的話，只能救20人。

假如第一階段設置的等待時間超過半小時，第二階段的受害者人數就會相應增加，這就超出了此時醫院的救助能力范圍。所以，第一階段設置的等待時間是半小時。

在日本沙林毒氣發生后的官方報告中，我們得知，在發生襲擊的第一天有640人到醫院就診，其中有111人(占就診人數的17%)接受住院治療。在對528人進行觀察的過程中，有107人(占觀察人數的20%)表現出中度的中毒癥狀，又從觀察室到診室接受治療。有4人病情嚴重，住進了重度監護病房，還有1個人在急診病房中不治身亡[5][6]。

表4 診斷人數及平均等待時間

在已有的數據下，我們做出如下分析。在診斷的94人中，有15%至20%的受害者(也就是16名左右的傷員)癥狀嚴重，需要到下一服務臺接受治療。剩下的受害者到觀察室等待，這些在觀察室的受害者中還會有大概20%(18名左右)的人員病情會加重，這些受害者依然得接受專業治療。在救助率達到95%的前提下，第二個階段安排7名醫生完全可以救助最初癥狀嚴重的患者。

若一小時內，觀察室的人員病情加重，也就是說此時病情嚴重患者多于20人。在初步診治的階段和專業治療過程中，由于醫療能力限制，對于未能接受診斷和專業治療的受害者。醫院和突發事件指揮中心必須作出以下兩種選擇：1)盡快將他們轉移到其他醫院，其他的醫院的救助能力也可以使用此方法計算；2)需要更多的醫生救助這些受害者，可以從其他醫院調來足夠的醫生救助受害者。當然，醫院的救助條件也必須考慮在內(比如緊急病床數目、救援設備等等)，因此，最有效的辦法是把受害者轉移到其他醫院接受治療。

5 結論

文中，我們研究了當生化恐怖襲擊發生時，受害者涌入首選醫院的到達率以及醫院的醫療救助能力。建立了一個瞬態系統，在這個系統中，緊急情況發生時可以通過排隊論的方法求解所需數據。通過受害者的到達率和服務者的服務率的關系，能分別計算出每個時刻到達醫院的受害者人數以及等候時間。

特別地，本文討論了當λ>μ時，醫院的醫療救助能力的計算，這種計算方法更符合生化應急方案及實際情況。當受害者的等待時間服從j-c+1的愛爾朗分布時，使用等待時間的概率分布函數可以計算出醫院的醫療救助能力。

研究中已經舉例證明了該方法的可行性。未來的研究包括瞬態行為模型的到達率函數的給出，并根據地點、時間、周圍環境和事件中的其他條件，仿真出更符合實際情況的受害者的到達率，繼續探討復雜情況下的醫院救治能力的預測。

[1]黃培堂. 如何應對生物恐怖[M].北京：科學出版社，2006.

[2]陳冀勝. 如何應對化學恐怖與化學毒性災害[M].北京：科學出版社，2006.

[3]Wayne L Winston. 運籌學-概率模型應用范例與解法[M].北京：清華大學出版社，2006.

[4]唐應輝，唐小我. 排隊論一基礎與分析技術[M].北京：科學出版社，2006.

[5]Tetsu Okumura，Kouichiro Suzuki.The Tokyo Subway Sarin Attack: Disaster Management，Part 1:Community Emergency Response[J]. Academic Emergency Medicine，1998(5)：613-617.

[6]Tetsu Okumura，Kouichiro Suzuki.The Tokyo Subway Sarin Attack: Disaster Management，Part 2: Hospital Response[J]. Academic Emergency Medicine，1998(5)：618-624.