基于有理插值公式GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造新方法與應(yīng)用

晉斌，張輝

(中國傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

1 前言

自上世紀(jì)80年代以來，灰色系統(tǒng)理論所需樣本數(shù)據(jù)少，不需要計算統(tǒng)計特征量等優(yōu)點已經(jīng)應(yīng)用到許多領(lǐng)域，特別是在顯著不確定性和缺乏數(shù)據(jù)信息的領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。雖然GM(1，1)模型進行預(yù)測在許多案例中取得了成功，但也有一些案例預(yù)測誤差較大，說明GM(1，1)模型的實用性有待提高。因此，我們需要對GM(1，1)模型進行深入的研究，提高GM(1，1)模型精度及其適應(yīng)性，使模型可以更廣泛地應(yīng)用到實際中。文獻[1]用實驗的方法分析了GM(1，1)模型誤差特性，文獻[2]提出GM(1，1)模型中的背景值構(gòu)造方法影響其精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，并給出了一個重構(gòu)公式。文獻[3]給出了基于多項式的Netwon插值重構(gòu)，本文作者提出了基于古老的連分式理論的有理插值，仿真例子表明本文所提出方法的有效性。

2 傳統(tǒng)GM(1，1)模型的建模機理

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為：

X(0)={x(0)(1)，…，x(0)(n)}

(1)

其中x(0)(i)>0，i=1，…，n。

對原始數(shù)據(jù)作一次累加，得：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}

(2)

稱一階線性常微分方程：

(3)

為GM(1，1)模型的線性白化微分方程。其中a和b為待辯識常數(shù)。待辨識常數(shù)的最小二乘解為：

(4)

其中

Y=[x(0)(1)，…，x(0)(n)]T，

為背景值。

方程(3)的離散解為：

(5)

還原到原始數(shù)據(jù)為：

從公式(4)可看出擬合和預(yù)測精度由常數(shù)a和b來決定，而a和b的求解則依賴于背景值z(1)(k+1)。這樣，背景值z(1)(k+1)的值就是直接影響GM(1，1)模型精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素。

3 GM(1，1)模型背景值的改進方法

3.1 有理插值公式

前文所述求背景值的方法實際上就是數(shù)值積分中的梯形公式，而梯形法的誤差較大，精度較低，因此我們提出用基于連分式理論的有理插值與廣義梯形公式來重構(gòu)背景值。

定義1[4]設(shè)X={x0，x1，…，xn，…}是實平面上一點集，f(x)是定義在G?X上的函數(shù)，令

φ[xi]=f(xi)，i=0，1，2，…，

稱由上述公式確定的φ[x0，x1，…，xl]為函數(shù)f(x)在點x0，x1，…，xl處的l階逆差商。

定義2[4]設(shè){an}，{bn}為兩個實數(shù)列，稱形如：

(6)

的分式為連分式(continued fractions)，記作

而式

(7)

稱為連分式(6)的n次漸近連分式，其運算法則按一般分式運算。

定義3[4]下述形式的連分式：

(8)

為Thiele型連分式，見文獻[4]。

定理1[4]設(shè)

(9)

其中φ[x0，x1，…，xk]≠0，∞，k=0，1，…，n為f(x)在x0，x1，…，xk處的k階逆差商，則有

Rn(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n

即函數(shù)Rn(x)為函數(shù)f(x)在點x0，x1，…，xn處的有理插值函數(shù)。

3.2 基于廣義梯形公式的背景值改進法步驟如下：

1)取(2)中的一次累加序列：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

2)取y(k)=k，k=1，2，…，n，m=4(或m=8)，

4)構(gòu)造背景值

當(dāng)m=4時

當(dāng)m=8時

或組合公式

4 應(yīng)用實例

例：

本文把我國人均能源消耗量的預(yù)測作為比較本文與文獻[3]模型的模擬預(yù)測精度，數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》。用1998-2004年的數(shù)據(jù)建模，預(yù)測2005、2006、2007年的數(shù)據(jù)，結(jié)果見下表。按本文方法，建立我國人均能源消耗量灰色預(yù)測模型為如(10)式，文獻[3]模型如(11)式所示：

(10)

(11)

表 我國人均能源消耗量預(yù)測比較

續(xù)表

5 小結(jié)

從上文的模擬和預(yù)測可以看出，所建立的模型提高了預(yù)測精度，具有一定的實際應(yīng)用價值。我們在解決實際問題時可以嘗試不同的預(yù)測模型，從中選擇與現(xiàn)實問題擬合較好的模型，從而提高模型的擬合精度，得到符合實際的預(yù)測模型。

[1]黃巍松，吉培榮，胡翔勇.灰色GM(1，1)模型誤差特性的實驗研究[J].武漢水利電力學(xué)報，2000，1(22)：69-72.

[2]譚冠軍.灰色GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000，20(4)：98-103.

[3]李俊峰，戴文戰(zhàn).基于插值和Netwon-cores公式的GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造新方法和應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2004，24(10)：122-126.

[4]檀結(jié)慶.連分式理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.