基于交通流理論的道路實(shí)際通行能力模型

鄭松竺，徐雅琳，李夢(mèng)思

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

道路通行能力是指道路的某一斷面在單位時(shí)間內(nèi)所能通過(guò)的最大車量數(shù)，是衡量公路本身的重要性質(zhì)之一，會(huì)受到交通量、行車環(huán)境等因素的影響。道路通行能力的單位為pcu/h(pcu是標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量)，一單位的pcu/h等于1千米目標(biāo)馬路上的標(biāo)準(zhǔn)汽車當(dāng)量總數(shù)與該馬路暢行時(shí)(所有交通工具保持正常安全車距的無(wú)障礙行駛狀態(tài))速度的乘積。不考慮實(shí)時(shí)路況時(shí)計(jì)算出的道路通行能力為理論道路通行能力，而將路面情況、天氣等客觀因素考慮在內(nèi)計(jì)算得出的道路通行能力為實(shí)際道路通行能力[1]。

因交通事故、路邊停車、占道施工等因素導(dǎo)致道路橫斷面單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)車輛數(shù)下降的車道占用現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致道路通行能力的下降。由于城市道路具有交通密度大、連續(xù)性強(qiáng)等特點(diǎn)，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時(shí)間短，也可能引起車輛排隊(duì)，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當(dāng)，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。

正確估算車道占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

《美國(guó)道路通行手冊(cè)》對(duì)道路的通行能力，理論通行能力的計(jì)算方法，以及在實(shí)際情況中所需要的修正方法做了詳細(xì)的闡述。

GreenBurg提出，在道路擁堵時(shí)，汽車行駛速度是隨車流密度變化的指數(shù)函數(shù)，且兩者反向變動(dòng)。考慮到在實(shí)際情況中，汽車行駛速度在道路開(kāi)始擁堵時(shí)下降迅速，而隨時(shí)間推移行車速度的下降速率慢于道路擁堵的惡化速率，GreenBurg的模型是比較貼合實(shí)際情況的。

茹紅蕾(2008)在其研究中采用非線性回歸的方法對(duì)GreenBurg的模型進(jìn)行估計(jì)，模型中借鑒其做法對(duì)GreenBurg模型中的道路暢行速度和阻塞密度兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

本文使用的數(shù)據(jù)來(lái)源于2013年高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A組題目所提供的道路事故監(jiān)控視頻。針對(duì)目標(biāo)路段自事故發(fā)生到事故結(jié)束時(shí)段內(nèi)實(shí)際通行能力的變化情況，提出了計(jì)算道路實(shí)際通行能力的模型，同時(shí)結(jié)合交通流理論建立了上游路段車流量、道路實(shí)際通行能力、事故消散時(shí)間和排隊(duì)長(zhǎng)度的模型。

2 數(shù)據(jù)說(shuō)明

論文中實(shí)例的數(shù)據(jù)來(lái)源于對(duì)2013年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A組題目所提供的道路事故監(jiān)控視頻1和視頻2的觀測(cè)整理。視頻1中反映的是三車道分道行駛時(shí)車輛的行駛時(shí)，在某一時(shí)間點(diǎn)，車流中兩車輛相撞，占用左車道和中間車道，造成交通擁堵的狀況。而視頻2反映的情況和視頻1類似，只是兩車輛相撞占用的是右車道和中間車道。兩種情況只是占用的車道有差異。

其中從視頻中直接觀測(cè)的變量是道路車流量(Q)、車流密度(K)。觀測(cè)記錄方法如下：

道路車流量(Q)是在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)事發(fā)橫截面的車輛數(shù)，單位：pcu/h。開(kāi)始計(jì)數(shù)時(shí)間為視頻開(kāi)始時(shí)間，考慮到紅綠燈的影響，記錄車流量的周期為30s。

車流密度(K)是隨時(shí)間變化的量，車流密度(K)的計(jì)算公式為：

其中，N為某瞬間在L上行駛的車輛數(shù)(總標(biāo)準(zhǔn)汽車當(dāng)量)，L為路段長(zhǎng)度，k的單位是pcu/km。

總標(biāo)準(zhǔn)汽車當(dāng)量是不同車型與其修正系數(shù)乘積的加權(quán)和：

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，可以將視頻中可觀察到的車輛分為三種車型：電瓶車、小汽車和大客車。這三種車型的修正系數(shù)分別為0.4、1和2。

為了得到更多的數(shù)據(jù)，取得較為準(zhǔn)確的車流密度，將觀測(cè)車流密度的時(shí)間周期取為15s。

本文中的數(shù)據(jù)符號(hào)說(shuō)明如下：

表1 符號(hào)說(shuō)明

3 基于GreenBurg速度密度模型的通行能力回歸模型

3.1 道路實(shí)際通行能力計(jì)算模型

事故截面的通行能力指的是單位時(shí)間內(nèi)能通過(guò)截面的最大車流量，由交通工程學(xué)[2]知，道路流量的計(jì)算公式為：

Q=kμ

(1)

由對(duì)數(shù)關(guān)系的速度-密度模型，道路上車輛的空間速度與密度在道路擁堵的情況下有如下關(guān)系式：

(2)

由(1)、(2)式得：

(3)

根據(jù)道路通行能力的定義，流量Q的最大值Qmax就是道路的通行能力C。所以對(duì)(3)式求導(dǎo)數(shù)，得：

(4)

(5)

(5) 式就是道路通行能力的計(jì)算模型。但是式中的道路阻塞密度kj車輛暢行密度μm不能夠通過(guò)實(shí)際的觀察或者測(cè)量得出。通過(guò)非線性回歸對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)是一個(gè)可行的方法。(3) 式中因變量Q和自變量k可以通過(guò)觀察得出，利用Matlab非線性回歸工具箱結(jié)合已有的數(shù)據(jù)可以估計(jì)得出kj和μm的值，代入(5)式可以求得道路的理論通行能力。

在實(shí)際情況中，道路的通行能力不僅僅由公路本身的質(zhì)量決定，同時(shí)也受到實(shí)時(shí)路況的影響。如道路、交通、管制、環(huán)境、氣候和運(yùn)行條件等都會(huì)對(duì)馬路實(shí)際通行能力產(chǎn)生影響[3]。在事故視頻中可以觀察到，交通組成是影響道路實(shí)際通行能力的一個(gè)主要因素。馬路上行駛的重型車輛和非機(jī)動(dòng)車輛(視頻中主要體現(xiàn)為公交車和電瓶車)會(huì)對(duì)公路上行駛其他汽車的行駛造成干擾，馬路上這兩種車輛的比例越高則實(shí)際通行能力越低，于是引入重型車輛修正系數(shù)f1和非機(jī)動(dòng)車修正系數(shù)f2(其中p1和p2是公交車和電瓶車在車流中的比重)：

同時(shí)，由于視頻中的每條車道的寬度為3.25米，依照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)車道的實(shí)際通行能力進(jìn)行折減，折減系數(shù)f3為0.9。最后，可得道路的實(shí)際通行能力的計(jì)算式為：

(6)

3.2 模型檢驗(yàn)

利用視頻中所提取出的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)和計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表：

表2 模型參數(shù)估計(jì)和計(jì)算結(jié)果

由于已知視頻二中事發(fā)路段截面下游車流量小于視頻一種下游車流量(車流更少)，所以在實(shí)際情況下視屏二中道路的實(shí)際通行能力是要大于視頻一中的道路通行能力的。模型計(jì)算的結(jié)果符合實(shí)際情況。

4 基于交通流理論的擁堵長(zhǎng)度和上游車流量關(guān)系模型

4.1 車輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游流量間的關(guān)系

交通事故造成了事故橫截面處車輛的擁堵，我們依據(jù)車流波動(dòng)理論對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析。車流波動(dòng)理論運(yùn)用流體力學(xué)的基本原理，模擬流體的連續(xù)性方程，建立車流的連續(xù)性方程從而探究車流流量與密度、速度之間的關(guān)系[4]。

當(dāng)車輛擁堵、慢速行駛時(shí)，我們忽略前車車尾與后車車頭之間的距離而認(rèn)為車流與水流類似，是連續(xù)的，從而建立車流的連續(xù)性方程。當(dāng)車流因道路擁堵引起密度的改變時(shí)，在車流中會(huì)產(chǎn)生車流波的傳播。通過(guò)分析這種車流波的傳播速度，可以尋求車流流量和密度、速度之間的關(guān)系，進(jìn)而探究上述三者與事故持續(xù)時(shí)間、堵車引起的排隊(duì)長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

圖1 兩種密度的車流運(yùn)行情況

將交通事故造成的道路擁堵問(wèn)題等效成圖3。其中，S為發(fā)生事故的橫截面；A段是事故上游，車流速度為uA，密度為kA；B段是事故下游，車流速度為uB，密度為kB。S處的速度為uw，假設(shè)沿x正方向的速度為正，反之為負(fù)。且：

uA=在A區(qū)的車輛的區(qū)間平均車速；

uB=在B區(qū)的車輛的區(qū)間平均車速。

則在時(shí)間t內(nèi)橫穿S交界線的車數(shù)n為：

n=(uA-uw)kAt=(uB-uw)kBt

(7)

令A(yù)、B兩部分的車流量分別為qA、qB，則：

qA=uAkA，qB=uBkB

于是，

(8)

當(dāng)qA>qB，kA

根據(jù)路程與速度、時(shí)間的關(guān)系以及平均速度的求解方法，得到事故持續(xù)時(shí)間為t時(shí)的排隊(duì)長(zhǎng)度為：

將(8)式代入，得

(9)

根據(jù)本問(wèn)題，事故發(fā)生后只有一條車道可以通行，且由于道路擁堵，車輛以被阻塞道路的最大能力駛過(guò)事故橫截面。因此我們將事故下游的車流量等價(jià)為此時(shí)道路的通行能力，即：

qB=C

(10)

代入(10)式，則排隊(duì)長(zhǎng)度為：

(11)

(11)式建立了L(車輛排隊(duì)長(zhǎng)度)與C(事故橫斷面實(shí)際通行能力)、t(事故持續(xù)時(shí)間)、qA(路段上游車流量)間的關(guān)系。

由前述，kAC，uw為負(fù)值，道路堵塞。去掉式(11)的絕對(duì)值符號(hào)，即：

因此，L與C負(fù)相關(guān)；L與t、qA正相關(guān)。由此，事故橫截面實(shí)際通行能力越弱，則排隊(duì)長(zhǎng)度越長(zhǎng)；事故持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)、上游車流量越大則排隊(duì)長(zhǎng)度越長(zhǎng)。

4.2 實(shí)例分析

沿用第三部分的案例，通過(guò)觀察正常路段的車流量，以15s為間隔記錄120m內(nèi)的車流量計(jì)算車流密度。從而計(jì)算得事故橫截面上游的平均密度為kA=49.47pcu/km。根據(jù)問(wèn)題1，計(jì)算得事故橫截面下游的平均密度為kB=103.83pcu/km，事故所處橫截面的通行能力為C=1256.76pcu/h。由于此時(shí)上游車流量為qA=1424.74pcu/h，若事故地點(diǎn)距上游路口的距離為L(zhǎng)=120m將(11)式變形整理，代入數(shù)值，得，

=7min 46s

即事故發(fā)生后，車輛排隊(duì)長(zhǎng)度到達(dá)120米共用時(shí)約7min46s。

再次觀察該路段監(jiān)控視頻，發(fā)現(xiàn)從事故發(fā)生到堵車長(zhǎng)度穩(wěn)定到120m共用時(shí)約8min10s；與本文測(cè)算時(shí)間7min46s相差不大，誤差在5%以內(nèi)。

因此，基于車流波動(dòng)理論建立的車輛擁堵長(zhǎng)度和上游車流量關(guān)系模型能夠比較精確的估算事故發(fā)生后的排隊(duì)時(shí)間。

5 結(jié)論與展望

5.1 總結(jié)

在之前的部分中，展示了一種利用交通工程學(xué)中的車流量公式和擁堵情況下的速度-密度對(duì)數(shù)公式推導(dǎo)出道路通行能力表達(dá)式的方法。并結(jié)合實(shí)際的交通事故中事發(fā)橫截面車流量的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行了回歸擬合，提出了對(duì)擁堵時(shí)間、擁堵車隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)車輛到達(dá)上游交通樞紐的時(shí)間的估計(jì)。

在推導(dǎo)出的公式的基礎(chǔ)上，利用修正系數(shù)對(duì)實(shí)時(shí)路況中車道上非機(jī)動(dòng)車輛和重型車輛對(duì)行駛的干擾做出修正，使計(jì)算出的通行能力更加接近于實(shí)際通行能力。

最后，利用交通流波動(dòng)理論，將車流和其運(yùn)動(dòng)視為波動(dòng)的傳導(dǎo)過(guò)程，則整個(gè)車隊(duì)擁堵的長(zhǎng)度是其平均速度乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間(擁堵時(shí)間)。因而可以確立車道通行能力，上游車流量密度，距離上有交通樞紐的距離和擁堵時(shí)間之間的關(guān)系。

5.2 模型的推廣

模型中發(fā)現(xiàn)不同的車型對(duì)交通擁堵情況的影響不同，如公交車的出現(xiàn)會(huì)極大程度上加劇道路擁堵的情況。據(jù)此，可以提出不同車型分道行駛的原則，以減少交通擁堵的狀況。

通過(guò)人工觀測(cè)，獲得車流量數(shù)據(jù)，計(jì)算出了道路的實(shí)際交通通行能力，能用于實(shí)際通行能力的計(jì)算。

通過(guò)最終計(jì)算，能預(yù)測(cè)交通事故造成的隊(duì)長(zhǎng)排到路口的時(shí)間，這樣可以便于交警在此時(shí)間內(nèi)提前到達(dá)事故地點(diǎn)舒緩車流，避免造成進(jìn)一步的擁堵。

在模型的推廣方面，可以進(jìn)一步考慮加入上游路口交通信號(hào)燈的影響因素，思考如何設(shè)置交通信號(hào)燈的周期，減緩交通擁堵的狀況。

[1]Highway Capacity Manual(公路通行能力手冊(cè)) [M] . Washington，D C：Transportation Research Board，2000，Chapter 1.

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