脈沖隨機微分系統的均方指數穩定性分析

陳涵，楊樹杰，牟朝霞

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.基礎部；c.軍事教育與訓練系，山東煙臺264001）

脈沖隨機微分系統的均方指數穩定性分析

陳涵a，楊樹杰b，牟朝霞c

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.基礎部；c.軍事教育與訓練系，山東煙臺264001）

研究了脈沖隨機時滯微分泛函方程的均方指數穩定性問題。利用Lyapunov-Razumikhin型方法及隨機分析的一些技巧，建立了一類脈沖隨機泛函微分方程的均方指數穩定性定理。

脈沖隨機微分方程；均方指數穩定；Lyapunov-Krasovskii函數

近年來，脈沖泛函微分系統（IFDSs）的穩定性的問題吸引著越來越多的學者在理論和實際應用方面的研究[1-3]，特別是在針對IFDS指數穩定性方面的研究，并且建立了一些相應的穩定性理論。但隨機擾動在現實系統中也是不可避免的，隨機模型在自然科學和工程領域的許多分支中正扮演著重要的角色。近幾年，脈沖隨機微分系統（ISDSs）穩定性分析和脈沖隨機泛函微分系統的鎮定性問題引起了學者們的廣泛興趣[4-14]。文獻[10]利用了一些微積分不等式和隨機分析的技巧，而非借助Lyapunov-Razumikhin方法研究了一類帶有混合時滯的脈沖隨機切換系統的均方指數穩定性。文獻[4]利用數學分析方法和泛函Razumikhin方法，建立了基于Lyapunov-Krasovskii函數的一類IFDSs的均方穩定的充分性判據。受到上述文獻的啟發，并借助于其Lyapunov方法和隨機分析的技巧，本文進一步探究了此類IFDSs的指數穩定性問題，得到了系統指數穩定的充分性判據。然而，根據作者所知，目前大部分學者對脈沖隨機泛函微分方程指數穩定性的研究，都是借助于Lyapunov函數V(t,φ)在脈沖點處左右極限的一些對應關系來探究系統的穩定性問題的[12，14]。本文直接利用系統狀態x(t)在脈沖點處左右極限的關系研究一類脈沖隨機泛函微分系統的穩定性問題，建立了不同于文獻[12]的指數穩定判定定理。

1 引理和記號

還需要如下引理。

引理1：[15]（Chaplygin比較定理）假定f,F∈C()G，如果分別是兩個初值問題的解，則對所有對于所有的

2 脈沖隨機時滯系統的均方指數穩定性判定定理

2.1 主要問題及定義

考慮如下脈沖隨機時滯泛函系統的均方指數穩定性問題：

下面將分2種情況考慮系統（1）的均方指數穩定問題。

定義1：對于任意可容許的脈沖時刻序列N，系統（1）的解稱為均方指數穩定的，是指存在一個常數λ＞0且對任意的ε＞0，都存在常數δ=δ(ε)＞0，使得對任意的初值函數，對于任意t≥t0，都有

定義2：[2]稱函數屬于V(1,2)，如果：

2）V(t,x)關于x是局部Lipschitz的；

3）對任意k=1,2,…，以下極限存在且有限：，且

2.2 脈沖隨機時滯系統的均方指數穩定判定定理

定理1：假定存在常數b＞a＞0，λτ＞0，β＞0，及Lyapunov-Krasovskii函數，使得以下條件成立：，則系統（1）關于脈沖集是均方指數穩定的。

證明：對任意給定的ε＞0，選取假定初值函數，并記系統（1）通過()t0,φ的解對于，根據公式，對于t≠tk，k=1,2,…，有

式中，

因此只需證明，對任意t∈(t0,t1)，式（5）成立即可。如果不成立，則一定存在s∈(t0,t1)，使得

結合式（3）、（4）及條件C2）、C3），對，有

這就與式（8）及（9）矛盾，假設不成立，從而式（5）成立。

于是需要考慮以下2種情形。

（11）成立。于是根據條件C3），式（5）及引理1，得到

這就與假設矛盾。

由式（1）、（2）及（12）有：

如果用條件D1）代替定理1中的條件C1），則得到如下結果。

定理2：假定存在常數b＞a＞0、λτ＞0、β＞0、及Lyapunov-Krasovskii函數，使得條件：D1）、C2）及C3）成立，則系統（1）對任意脈沖序列Ninf(β)是均方指數穩定的。

證明：證明方法類似于定理1，故略去。證畢。

注1：對比定理1和定理2，可發現系統（1）的均方指數穩定性受到函數V(t,x(t))中時滯的影響。

注2：當μ≥1時，脈沖可能破壞穩定性，所以需要脈沖發生得不要太頻繁，即脈沖間距要比較大。

條件C1）成立；

D2）：只要成立，就有成立，則：

證明：證明結論Ⅰ），Ⅱ）的證明與Ⅰ）類似，故略去。

考慮到μ＜1，故存在充分小的常數使

現在要證明式（5）在(t0,t1)成立。否則，存在s∈(t0,t1)，使得式（7）成立。

進而得到

再由條件D2），意味著對

由引理1，式（19）、（21）及D3）有

這就與式（18）矛盾。

事實上，根據式（1）、（2）、（16）條件C1）和D3），有

3 結論

本文研究了一類脈沖隨機泛函微分系統的均方指數穩定性問題。利用Lyapunov函數和Razumikhin型方法，建立了系統均方指數穩定的充分性判據。本文為了方便，僅討論了系統的均方指數穩定性，其結果可以推廣到p階矩指數穩定性上來。

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Mean Square Exponential Stability Analysiss of Pulse Randomly Differential Systemss

CHEN Hana,YANG Shu-jieb,MU Zhao-xiac
（Naval Aeronautical ang Astronautical University a.Graduate Students’Brigade; b.Department of Basic Sciences;c.Department of Military Education and Training,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the mean square exponential stability analysis of impulsive stochastic functional differential systems with delays was concerned.On the basis of the Lyapunov-Razumikhin method and stochastic analysis techniques, some general criteria were established for mean square exponential stability.

pulse randomly differential equation;mean square exponential stability;Lyapunov-Krasovskii function

O175.21

A

2014-03-17；

2014-04-10

陳涵（1991-），男，碩士生。

1673-1522（2014）03-0296-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.03.020