一種離散直接自適應模糊滑模控制

張曉宇劉彬博

(1.華北科技學院 電子信息工程學院,北京 101601； 2. 中央新影集團 CCTV證券資訊頻道,北京 100080)

模糊、自適應等方法在連續系統控制問題中已經顯示出成功的運用[1-25]。但目前模糊直接、間接自適應等方法在離散系統中的運用研究尚不深入，有大量待研究、發展的問題。在離散系統中，由于系統的離散化以及系統的理想滑動模態根本不能到達,所以準滑動模態的降階特性不再存在。這給系統的穩定性分析造成了困難。滑模控制的分步設計法雖然可以實施，但是不能保證較好的魯棒穩定性。離散系統的采樣時間對于模糊邏輯系統的逼近能力產生很大影響，對于自適應機構的自適應能力、速度也同樣產生較大影響。因而離散系統中模糊自適應方法在滑模控制中的應用對于消除滑模控制的抖振作用較之連續系統大大減弱。

本文從自適應模糊邏輯系統出發用離散動態自適應模糊邏輯系統逼近滑模控制律，給出逼近誤差收斂的自適應機構和構建方法；通過AFLS動態的參數設計形成較好的濾波效果，用以消除抖振。

1 離散非線性系統的SMC

考慮如下離散非線性系統,

(1)

式中：f(xi(k))、g(xi(k))滿足

g(xi(k))=g+Δg(xi(k))

(2)

(3)

設滑模s(k)=CTe(k),C=[c1c2…cn-11]T∈Rn是Hurwitz多項式的系數。對于上述線性不確定離散系統提出以下定理。

定理1 對于非線性系統(1)，若取準滑模控制律

r(k)+(qT1-1)s(k)+k2sgns(k)]

(4)

式中：T1為準滑模控制器的采樣周期。設計參數q、k2滿足

(5)

證明考慮不等式離散到達條件

(6)

Δsk+1=sk+1-sk=f(xi(k))+Δgusk-

(qT1-1)sk-k2sgnsk-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk]

(7)

[Δsk+1]2=[f(xi(k))+Δgusk-(qT1-1)sk-k2sgnsk]2+

(8)

若要使得到達條件(6)滿足，將式(7)、(8)代入式(6)得

(1+Δgg-1)|(qT1-1)sk|+(1+Δgg-1)k2

(9)

依據式(5)式(9)等價為

可見在邊界Δ外到達條件(6)成立。證畢。

定理1雖然得到了系統(3)的一個SMC，但是這個SMC使得滑模到達切換帶是很寬的，而且寬度隨著系統不確定性的變化而變化。這在實際上會形成很大的抖振。因此本文尋求其模糊自適應SMC以消除抖振。

2 模糊自適應SMC

對于定理1準滑模控制率，引入滑模邊界層參數λ>0，當系統滑模到達邊界層內施加模糊邏輯(FLC)控制律uf(k)，停止準滑模控制率us(k)。即

u(k)=us(k)+uf(k)

式中：uflc是模糊邏輯系統的輸出，Δ是準滑動模態區的寬度，因此λ≥Δ。

邊界層厚度參數λ的范圍與系統不確定動態非線性函數的上界有直接關系。非線性系統的不確定性越大，準滑動模態區寬度越大，參數λ選擇范圍越大。實驗證明λ對每個具體非線性系統有一個最佳值。可以通過以下方法選擇：已知狀態的初始值，代入非線性函數上界得到Δ值。一般λ∈[Δ,3Δ]效果較好。

2.1 自適應模糊邏輯系統

對于系統(1)用AFLS來逼近滑模控制律。所采用的AFLS與文獻[17]中相同，后件參數采用梯度優化自校正的方法進行。

選擇滑模s(k)以及Δs(k)為輸入變量，構造具有2個輸入變量、1個輸出變量的FBF型AFLS。其中的前件參數由設計者調節，后件參數由自適應機構校正。模糊控制規則為

Ri: Ifs(k) issiandΔs(k) isΔsithenuf(j) isθi(j)

i=1,2,…,m

式中：α為滑模s(k)的劃分參數，β為滑模變化率，Δs(k)的劃分參數，j是AFLS的采樣步長，θi(j)是待校正的后件參數，m是規則總數。采用單點模糊化、乘積推理、加權平均解模糊方法滑模控制的模糊逼近輸出為

uf(j)=θ(j)Tp

(10)

2.2 自適應率

定義自適應模糊邏輯系統(AFLS)逼近滑模控制律(4)的誤差目標函數為

這樣AFLS逼近控制律(4)的問題就轉化為目標函數J(θ,x)的優化問題。即

求目標函數沿參數θ方向的梯度得

參數θ自校正的方向應該沿著目標函數對其梯度的負方向，由式(11)確定θ的校正方向,

θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)

(11)

2.3 DAFLS逼近滑模控制

先考慮T1=lT2,l∈Ζ的情況下，AFLS輸出(10)逼近普通離散SMC的誤差。

定理2 對于準滑模控制(4)，若AFLS以式(11)為自適應機構且其采樣周期T2遠比準滑模控制(4)的采樣周期T1小，則AFLS(10)逼近準滑模控制(4)的誤差漸近收斂。

證明在自適應律(11)下選取逼近誤差的Lyapunov函數為

(12)

若AFLS的采樣周期遠比控制器u(k)的采樣周期小則對式(12)有

利用式(11)有

pTp(u(k)-θ(j)Tp)θ(j)Tp-pTp(u(k)-θ(j)Tp)·

pTp(u(k)-θ(j)Tp)2

(13)

因為p是模糊基函數向量，所以0

Δv(j)=v(j+1)-v(j)<0

證畢。

接著，為進一步加強濾波效果以消除抖振，在AFLS基礎上引入動態自適應模糊邏輯系統(dynamic adaptive fuzzy logic system, DAFLS)。

考慮n階連續DAFLS，則

(14)

式中：di(i=0,1,…,n-1)、γ均為DAFLS的動態參數。

假設(14)的動態形成低通濾波。將其離散化得到離散的DAFLS，

v(k)[r0+r1z-1+…+rnz-n]=ωθTp

(15)

式中：ri(i=0,1,…,n)、ω是導出的參數。運用DAFLS逼近滑模控制式(4)。

將濾波器(式(14))看作一個子系統，可以通過選擇狀態變量，將式(15)變為狀態空間模型，

(16)

式中：θTp看作是子系統(16)的輸入，v(j)是這個子系統的輸出。定理2已經證明如果沒有引入濾波器動態，AFLS逼近滑模控制的誤差是收斂的。現在選取新的關于其輸出v(j)與滑模控制之間誤差的正定Lyapunov函數，其一階差分負定，則DAFLS的輸出v(j)在適當的自適應律下逼近滑模控制的誤差仍然收斂。DAFLS中的動態濾波器可以看作是線性系統(16)。

3 主要結果

3.1 動態AFLS的逼近誤差

定理3 對于準滑模控制(4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應機構且其參數滿足：ATCTCA半負定，Cb=1，采樣周期T2遠比準滑模控制(4)的采樣周期T1小，則DAFLS(16)逼近準滑模控制(4)的誤差漸近收斂。

證明選取逼近誤差的Lyapunov函數為

其一階差分為

ΔV(j)=1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2+2CAη(j)CbθT(j)p}+

Cη(j)θT(j)p-θT(j+1)pCAη(j)-

θT(j+1)pCbθT(j)p+

1/2({[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2})+

[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp=

1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2}+CAη(j)CbθT(j)p+Cη(j)θT(j)p-

θT(j+1)pCAη(j)-θT(j+1)pCbθT(j)p+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp

若代入θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)，有

[Cη(j)]2}+Cη(j)θT(j)p-

[θT(j)p]2Cb-θT(j)pCAη(j)(1-Cb)-

pTp(us(k)-θT(j)p)·(CAη(j)+CbθT(j)p)+

3θT(j)p[us(k)-θT(j)p]pTp-

2us(k)[us(k)-θT(j)p]pTp

(17)

若Cb=1,式(17)變為

若矩陣A、C滿足Lyapunov方程

ATCTCA-CTC=-Q

其中Q=QT,Q>0。則有[CAη(j)]2≤[Cη(j)]2則

ΔV(j)≤2[(pTp)2-pTp][us(k)-θT(j)p]2

又因為p是模糊基向量則pTp≤1 。因此有ΔV(j)≤0成立。若ΔV(j)≡0成立則有

v(j)=us(k)=θT(j)p

成立。根據Lyapunov理論逼近誤差收斂。證畢。

3.2 近似逼近下的滑模可達性

定理4 對于準滑模控制(4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應機構且其參數且滿足定理2內容，則滑模到達條件(6)能夠得到滿足。

證明考慮不等式離散到達條件，

Δsk+1=sk+1-sk=Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk+g(ufk-usk)]

[Δsk+1]2=[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

2sk[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)]

若要使得到達條件滿足，將skΔsk+1、[Δsk+1]2代入得

(18)

由式(18)可見，只要ufk逼近usk誤差為零則與(9)是等同的。證畢。

4 倒立擺系統應用仿真

一階倒立擺系統的離散模型如下：

式中：θ(k)是擺角位移，u(k)是小車控制電壓。

當應用普通SMC方法控制和應用本文提出的控制方法時得到擺角位移曲線對比如圖1所示,控制電壓曲線對比如圖2所示。

圖1 SMC和DAFLSMC控制下擺角位移曲線對比Fig.1 Angle displacement contract curves of pendulum for SMC and DAFLSMC

圖2 SMC和DAFLSMC控制下電壓曲線對比Fig.2 Control voltage contract curves for SMC and DAFLSMC

通過圖1、2可以得出，普通離散SMC穩態抖動很大，而本文提出的DAFLSMC消除了抖動。比較DAFLSMC控制電壓曲線與在同等條件下實施普通SMC的控制電壓曲線，如圖2。因為設計的DAFLS逼近SMC的采樣時間是0.01 s而被控對象及普通SMC采樣時間是0.1 s。因此DAFLS輸出的控制電壓更加光滑。

為了觀察DAFLS的濾波效果把濾波前后的控制電壓曲線作對比如圖3所示。從圖3中可見加入了動態濾波的DAFLS后控制信號的高頻抖動部分被濾掉了。

圖3 濾波器前后的控制電壓曲線對比Fig.3 Control voltage comparison of AFLSMC and DAFLSMC

為驗證本文所提出方法的魯棒性能，保持控制器參數不變的情況下，在仿真t=10 s時，給擺角位移施加幅度為0.3 rad的脈沖干擾，系統控制效果如圖4、圖5所示。可見，在較強干擾施加給擺角時，系統仍然能夠穩定回到原點，穩態性能不變。說明本文提出方法的確保留了普通離散SMC的魯棒性。

圖4 DAFLS控制下擺角位移受擾曲線Fig.4 The angle excursion curve when disturbed under DAFLSMC control

圖5 DAFLS控制下受擾時控制電壓曲線Fig.5 The control volt curve when disturbed under DAFLSMC control

5 結束語

提出了一種離散直接自適應模糊滑模控制方法。通過用AFLS逼近離散滑模控制，消除了SMC的抖振。逼近SMC的AFLS中必須引入動態，才能實現濾波功能，而且，動態AFLS采樣時間要比系統采樣時間小。通過與普通離散SMC的應用仿真對比，證明了該方法通過適當參數設置，不但保證了滑模到達，消除了SMC的抖振，還保留了SMC很強的魯棒性能。該方法對離散SMC的應用具有一定價值，需進一步加強其在實際控制系統中的應用研究。

參考文獻:

[1]李繼超,管萍,劉小河.間接自適應模糊滑模控制在電弧爐中的應用[J].系統仿真學報, 2009, 21(2): 542-546.

LI Jichao, GUAN Ping, LIU Xiaohe. Application of indirect adaptive fuzzy sliding mode control in arc furnace[J]. Journal of System Simulation, 2009, 21(2): 542-546.

[2]劉姍梅,馬遷,陳賢順，等.自適應模糊滑模控制在PMSM中的應用[J].微電機, 2009, 42(5): 43-46， 87.

LIU Shanmei, MA Qian, CHEN Xianshun， et al. Application of adaptive fuzzy sliding mode controller in PMSM[J]. Micromotors, 2009, 42(5): 43-46， 87.

[3]張向文,王飛躍.汽車ABS自適應模糊滑模控制算法研究[J]. 汽車技術, 2009, 40(10): 25-30.

ZHANG Xiangwen, WANG Feiyue. Study on adaptive fuzzy sliding mode control algorithm for the vehicle ABS[J]. Automobile Technology, 2009, 40 (10): 25-30.

[4]董小閔,余淼,廖昌榮，等. 具有非線性時滯的汽車磁流變懸架系統自適應模糊滑模控制[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(11): 55-60， 203.

DONG Xiaomin, YU Miao, LIAO Changrong， et al. Adaptive fuzzy sliding mode control for magneto-rheological suspension system considering nonlinearity and time delay[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11): 55-60， 203.

[5]高文達,方一鳴,張文亮，等. 自適應模糊滑模控制在伺服電動機系統中的應用[J]. 微特電機, 2009, 37(11): 32-36.

GAO Wenda, FANG Yiming, ZHANG Wenliang， et al. Application of adaptive fuzzy sliding mode control to servomotor system[J]. Micromotors, 2009, 37(11): 32-36.

[6]張金萍,劉闊,林劍峰，等.挖掘機的4自由度自適應模糊滑模控制[J].機械工程學報, 2010, 46(21): 87-92.

ZHANG Jinping, LIU Kuo, LIN Jianfeng， et al. 4-DOF adaptive fuzzy sliding mode control of excavator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(21): 87-92.

[7]王宏偉,井元偉,于馳.基于自適應模糊滑模控制的主動隊列管理算法[J].系統仿真學報, 2008, 20(23): 6330-6332， 6342.

WANG Hongwei, JING Yuanwei, YU Chi. Active queue management algorithm based on adaptive fuzzy sliding mode control[J]. Journal of System Simulation, 2008, 20(23): 6330-6332， 6342.

[8]趙紅超,徐君明,王東.變質心彈頭的自適應模糊滑模控制[J]. 清華大學學報：自然科學版, 2008, 48(S2): 1733-1736.

ZHAO Hongchao, XU Junming, WANG Dong. Adaptive fuzzy sliding mode control for mass motion warhead[J]. Journal of Tsinghua University： Science and Technology, 2008, 48(S2): 1733-1736.

[9]彭亞為,陳娟,劉占富， 等. 自適應模糊滑模控制在化工過程中的應用[J].化工學報, 2012, 63(9): 2843-2850.

PENG Yawei, CHEN Juan, LIU Zhanfu， et al. Adaptive sliding mode control in chemical process application[J]. Journal of Chemical Industry and Engineering, 2012, 63(9): 2843-2850.

[10]劉金琨.滑模變結構控制MATLAB仿真[M]. 北京：清華大學出版社, 2005：32-36.

[11]GUO Liping, HUNG J Y, NELMS R M， et al. Comparative evaluation of sliding mode fuzzy controller and PID controller for a boost converter[J]. Electric Power Systems Research, 2011, 81(1): 99-106.

[12]POURSAMAD A, DAVAIE-MARKAZI A H. Robust adaptive fuzzy control of unknown chaotic systems[J]. Applied Soft Computing, 2009, 9(3): 970-976.

[13]HSU C F, CHUNG I F, LIN C M， et al. Self-regulating fuzzy control for forward DC-DC converters using an 8-bit microcontroller[J]. IET Power Electonics, 2009, 2(1): 1-13.

[14]TU K Y, LEE T T, WANG W J. Design of a multi-layer fuzzy logic controller for multi-input multi-output systems[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2000, 111(2): 199-214.

[15]LIN W S， CHEN C S. Sliding-mode-based direct adaptive fuzzy controller design for a class of uncertain multivariable nonlinear systems[C]//Proceedings of the American Control Conference. Anchorage, Alaska, USA, 2002: 2955-2960.

[16]WAI R J, LIN C M, HSU F. Self-organizing fuzzy control for motor-toggle servomechanism via sliding mode technique[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2002, 131(2): 235-249.

[17]ZHANG X Y, SU H Y, CHU J. Adaptive sliding mode-like fuzzy logic control for high-order nonlinear systems[C]//Proceedings of the 2003 IEEE International Symposium on Intelligent Control. Houston, Texas, USA， 2003: 788-792.

[18]HWANG C L, WU H M, SHIH C L， et al. Fuzzy sliding-mode underactuated control for autonomous dynamic balance of an electrical bicycle[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2009, 17(3): 658-670.

[19]WANG W, LIU X D. Fuzzy sliding mode control for a class of piezoelectric system with a sliding mode state estimator[J]. Mechatronics, 2010, 20(6): 712-719.

[20]HO T H, AHN K. Speed control of a hydraulic pressure coupling drive using an adaptive fuzzy sliding-mode control[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2012, 17(5): 976-986.

[21]YAU H T, WANG C C, HSIEH C T, et al. Nonlinear analysis and control of the uncertain micro-electro-mechanical system by using a fuzzy sliding mode control design[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2011, 61(8):1912-1916.

[22]ZHU M C, LI Y C. Decentralized adaptive fuzzy sliding mode control for reconfigurable modular manipulators[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2010, 20(4): 472-488.

[23]SHAHRAZ A, BOOZARJOMEHRY R B. A fuzzy sliding mode control approach for nonlinear chemical processes[J]. Control Engineering Practice, 2009, 17(5): 541-550.

[24]HO H F, WONG Y K, RAD A B, et al. Adaptive fuzzy sliding mode control with chattering elimination for nonlinear SISO systems[J]. Simulation Modelling Practice and Theory, 2009, 17(7): 1199-1210.

[25]PALM R. Sliding mode fuzzy control[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Fuzzy Systems. San Diego, CA, USA， 1992: 519-526.