粗糙線性近似空間的代數結構

劉亞梅,馬盈倉,魯文霞,陳艷艷

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

粗糙集理論于1982年被Pawlak[1]提出以來，已經取得很大的發展。特別是在數據的決策與分析、模式識別、數據挖掘、機器學習與知識發現等方面。在粗糙集理論中有2種方式來定義近似算子：構造性方法和公理化方法。構造性方法是以論域上的二元關系、鄰域系統或布爾子代數作為基本要素構造性地定義近似算子，然后得出粗糙集代數系統[2-4]。公理化方法就是先給定一個粗糙集代數系統，然后定義二元關系使得由二元關系通過構造性方法定義的近似算子及導出的粗糙集代數系統就是給定的近似算子和粗糙集代數系統[5-9]?；谶@2種方法，在代數結構方面，不少學者做出了一些研究并提出了許多新的概念，如粗糙群[10]、粗糙子群[11]、粗糙不變子群[12-13]等。在線性空間方面，日本學者N. Kuroki[14]研究了線性空間上粗糙集的性質，提出了在線性空間上的等價關系以及上下近似算子。國內學者W.J.Liu[15-16]、吳明芬[17]等也研究了粗糙線性空間的性質并聯系線性空間本身的性質研究更深入的性質，同時還把粗糙集引入了線性空間和模糊線性空間中。本文就是在文獻[17]基礎上，結合模糊邏輯及其代數分析[18]的有關概念，以及H.G.Zhang[19]對經典粗糙集上信息丟失問題的提出的方法，根據上下近似算子的性質提出了2個集合，使信息丟失的問題得到解決，并建立基于布爾代數的粗糙線性近似空間模型。

1 基本概念

定義1[17]設V是數域P上的線性空間，X、Y是V上的非空子集，k是數域P上的任意元素，定義集合的和與數乘為：

X+Y={α=α1+α2|α1∈X,α2∈Y}

kX={kα|α∈X}

定義2[17]設線性空間V上一個等價關系ρ，若對?α,β∈V，有(α,β)∈ρ，(α+γ,α+γ)∈ρ，(kα,kβ)∈ρ，?γ∈V,k∈P。則稱ρ為V上的一個同余關系。

定義3[17]設W是線性空間上V的一個子空間，定義一個二元關系ρW：

ρW={(α,β)|α,β∈V,α-β∈W}

定理1[17]設W是線性空間V的子空間，則下面結論成立：

1)ρW是V上的一個同余關系

2) ?α∈V，同余類[α]ρW=α+W則可將[α]ρW記為ρW(α)。V/ρW={ρW(α)|?α∈V}是全體同余類的集合。

性質1[17]ρW(α)+ρW(β)=ρW(α+β)

ρW(kα)=kρW(α)

定義4[17]設V是數域P上的線性空間，W是V的線性子空間，X是V上的任意一個非空子集，定義X在W上關于ρW的上、下近似分別為：

性質2[17]設V是數域P上的線性空間，W是V的線性子空間，X,Y是V上的非空子集，則有：

2 集合的交(并)的上(下)近似的等

式刻畫

由性質2 中的5)、6)可以看出，在線性空間中交的上近似、并的下近似并不是等式刻畫，存在信息丟失的問題。在本節中，主要解決這一問題，為此引入以下定義：

定義5 設V是數域P上的線性空間，W是V的一個子空間，X,Y是V的2個子集，記

PX(Y)=

{α|ρW(α)?X∪Y且ρW(α)?X,ρW(α)?Y}；

QX(Y)={α|ρW(α)∩(X∩Y)=?,

且ρW(α)∩X≠?,ρW(α)∩Y≠?}。

定理2:

2) 此命題等價為

例1: 設線性空間V是全體實數，定義它的加法運算為a⊕b=ab，乘法運算為a?b=ab。V的一個線性子空間為W={-1,1}，V中的2個子集X={1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求PX(Y),QX(Y)并驗證以上結論。

解：由定義可得

PX(Y)={5}

QX(Y)={5}

3 粗糙線性近似空間及其代數結構

研究了基于同余關系的線性空間上下近似的性質，并通過2個集合解決了信息丟失的問題，下面要討論上下近似的代數結構。

定義6 設V是數域P上的線性空間，X是V的任意子集，定義

定義7 設V是數域P上的線性空間，X,Y是V的任意子集，則粗糙線性空間的并、交、補、差運算定義為：

推論1 1)ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)

1）行走機構：行走機構采用自行式驅動，可選擇輪胎式和履帶式2種。輪胎式是由輪胎、軸和軸承以及液壓馬達等組成驅動裝置，車輪采用重載汽車輪胎。履帶式是由驅動輪、托鏈輪、支重輪、履帶架、履帶、張緊裝置、導向輪及液壓馬達組成。整機的重量通過履帶架、支重輪傳到履帶上。托鏈輪托持上股履帶的下垂。支重輪、托鏈輪均沿履帶滾動。

2)ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)

所以ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)。

同理可得ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)。

定理3 設V是數域P上的線性空間，X、Y、Z是V的任意子集，則有

1)交換律：

ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(Y)∪ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(Y)∩ρW(X)。

2)結合律：

(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))；

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)分配律：

ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))；

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)冪等律：

ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X)。

5)0-1律：

ρW(X)∪ρW(?)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X)。

6)互補律：

ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(?)。

7)對偶律：

(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)；

(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

證明:

1)由PX(Y)和QX(Y)定義可以看出PX(Y)=PY(X)，QX(Y)=QY(X)。

所以

2)(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X∪Y)∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X∩Y)∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

ρW(X)∪ρW(Y∩Z)=ρW((X)∪(Y∩Z))=

ρW(X∪Y)∩ρW(X∪Z)=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))，

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

ρW(X)∩ρW(Y∪Z)=

ρW(X∩Y)∪ρW(X∩Z)=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X∪X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X∩X)=ρW(X)。

5)ρW(X)∪ρW(?)=ρW(X∪?)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X∩V)=ρW(X)。

6)ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(X∪X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(X∩X⊥)=ρW(?)。 7) 要證(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)，只需證(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(?)。

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(V)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

[(ρW(X)∪ρW(Y))∩ρW(X⊥)]∩ρW(Y⊥)=

[(ρW(X)∩ρW(X⊥))∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=[?∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=ρW(Y)∩ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)=

ρW(?)∩R(X⊥)=R(?)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(X⊥))∩

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(Y⊥))=

(ρW(V)∪ρW(Y))∩(ρW(V)∪ρW(X))=

ρW(V)∩ρW(V)=ρW(V)。

所以(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)。

同理可證(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

(X,ρW(X))∪(Y,ρW(Y))=(X∪Y,ρW(X∪Y))

(X,ρW(X))∩(Y,ρW(Y))=(X∩Y,ρW(X∩Y))

(X,ρW(X))⊥=(X⊥,ρW(X⊥))

0=(ρW(?),ρW(?))，1=(ρW(V),ρW(V))。 由以上分析可得出如下定理：

定理4 代數系統〈F,∪,∩,⊥,0,1〉為布爾代數。

4 結束語

粗糙集與代數系統的結合研究是粗糙集理論研究熱點之一，把粗糙集與線性空間結合研究具有重要的理論意義。在本文中，根據線性空間中集合關于同余關系的上下近似的性質，提出了2個集合以解決線性空間中信息丟失的問題，通過對上近似的交和下近似的并的等式的刻畫，同時研究了粗糙線性近似空間中上下近似的代數結構并證明了其構成了布爾代數。接下來將對此代數結構進行進一步的研究。但本文缺乏實際應用，未來將對上下近似的代數結構和實際應用做進一步的研究。

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