基于包含原理的多智能體一致性協(xié)調控制

馬晨，陳雪波

(遼寧科技大學 電子與信息工程學院，遼寧 鞍山 114051)

多智能體的運動一致性在本質上與復雜網絡的同步問題非常相似，都是要使網絡中各個智能體的狀態(tài)趨于一個一致的解，除了網絡本身的性質對一致性的影響以外，各智能體之間的協(xié)調對于改善同步能力也是非常重要的[1]。近年來，結合網絡一致性的多智能體群集控制一直是控制學者關注的問題，并且得到了許多重要的結論。如文獻[2-5]討論了一致性問題中系統(tǒng)網絡拓撲結構的影響；文獻[6-8]通過設計一個勢能函數(shù)來實現(xiàn)多智能體的群集控制；文獻[9]提出了同時考慮位移與速度協(xié)調的二階一致性協(xié)議。另一方面，包含原理以及由其引申出的對對分解[10-13]，可以充分地利用各子系統(tǒng)間的互聯(lián)關系，在處理多重疊互聯(lián)系統(tǒng)的協(xié)調控制時具有獨特的優(yōu)勢。包含原理在運動體的協(xié)調控制方面有很廣泛的應用，如自動車組系統(tǒng)[13-15]以及無人機編隊[16]等的協(xié)調控制。由于前述文獻中的系統(tǒng)運動模型是基于相對位置構建的，因而只適合于處理各運動體按鏈型結構排列的情況。本文將文獻[13-14]中的系統(tǒng)擴展為2個軸向，考慮按網型結構排列的多智能體系統(tǒng)，為其建立一個多重疊的偏差狀態(tài)方程，在包含原理的概念下分別為每一組在網絡拓撲中相鄰的智能體對設計一致性控制狀態(tài)反饋矩陣，以收縮得到適用于原系統(tǒng)的協(xié)調控制器。系統(tǒng)網絡拓撲的互聯(lián)關系主要體現(xiàn)在一致性協(xié)調控制器中。

1 包含原理與系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)的置換包含原理

系統(tǒng)的包含原理有擴展與收縮2個方面，可以有效地處理系統(tǒng)的重疊互聯(lián)結構，從而簡化復雜系統(tǒng)的分析與設計工作。通過對系統(tǒng)重疊的各個組成部分或子系統(tǒng)近似解耦，可以得到原系統(tǒng)在擴展空間中的對應，并且在滿足包含原理相關的條件下，該擴展系統(tǒng)包含了原系統(tǒng)所有的性質。這樣一來，可以在擴展空間中為每一個解耦的子系統(tǒng)進行并行且獨立的觀測器和控制器設計，經過適當?shù)恼虾螅梢詫⒌玫降慕Y果再收縮回原系統(tǒng)空間，進而實現(xiàn)對原系統(tǒng)的重疊分散與一致性協(xié)調控制。關于系統(tǒng)包含原理以及重疊互聯(lián)系統(tǒng)協(xié)調控制方面的詳細內容請見文獻[10-13]。

考慮一線性定常連續(xù)的重疊互聯(lián)系統(tǒng)，具有N(N≥ 3)個子系統(tǒng):

(1)

式中：xi(t)∈Rni，ui(t)∈Rmi和yi(t)∈Rli分別是在時間t∈R子系統(tǒng)Si的狀態(tài)、輸入和輸出向量；Aii、Bii和Cii是系統(tǒng)Si的系數(shù)矩陣，Aij表示子系統(tǒng)Si與子系統(tǒng)Sj的互聯(lián)關系。

對于式(1)，系統(tǒng)中所有的互聯(lián)關系都是建立在每一對子系統(tǒng)間的信息結構約束之上的，因而可以在式(1)中任意選擇系統(tǒng)S的一對子系統(tǒng)Si與Sj，稱

(2)

為系統(tǒng)S的一個基本互聯(lián)子系統(tǒng)對。在式(2)中，只需要關注特定子系統(tǒng)Si與Sj之間的互聯(lián)關系，而這2個子系統(tǒng)與其他任意子系統(tǒng)間的互聯(lián)關系可以暫時不做考慮，這樣可以在很大程度上簡化了復雜互聯(lián)系統(tǒng)的分析工作，又不會損失細節(jié)。

重疊互聯(lián)系統(tǒng)的對對分解需要考慮擴展空間中子系統(tǒng)對Sij的排列順序，即循環(huán)逆序排列，假設系統(tǒng)S具有全網絡結構，則有各子系統(tǒng)對按倒序下標循環(huán)排列為

式中：Ik是對應子系統(tǒng)Sk的單位子矩陣。從而有列組置換矩陣P與行組置換矩陣P-1由一系列相鄰列組與行組初等置換矩陣按順序右累乘與左累乘得到

(3)

置換后可得

UP=UpA

QP=QPB

SP=SpC

(4)

其中各系數(shù)矩陣分別為

(5)

1.2 多智能體系統(tǒng)的偏差模型和重疊結構分解

考慮用每個智能體位移的變化量和速度的變化量來描述其運動狀態(tài)，可以寫出每個智能體的二階偏差方程為

(6)

為簡便起見以下將省略變化量符號，式(6)中di=[dixdiy]T,vi=[vixviy]T,ui=[uixuiy]T，分別表示智能體i在x和y軸上的位移與速度變化量以及控制輸入。

如圖1所示，考慮由N=20個智能體組成的網型結構系統(tǒng)。容易想象，對于這樣的網型拓撲結構，當每一對智能體間的距離均相等時，一定會形成圖中正三角形網格的網型結構，即是文獻[8]中定義的α-lattice。不過，文獻[8]的群集算法主要考慮智能體的勢能關系，這樣一來各智能體對相互距離的判斷可能會產生誤差，在實際形成的網型拓撲結構中各邊的長度可能不會完全相等，即形成準α-lattice。本文在接下來要介紹的多智能體一致性協(xié)調控制將直接考慮各智能體位移和速度的變化量，因而在平穩(wěn)狀態(tài)下各智能體間的距離將是完全相等的。

圖1 多智能體系統(tǒng)網絡拓撲結構, N=20Fig.1 Network topology of a multi-agent system, N=20

圖1表示的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

(7)

式中：

根據(jù)圖1所示的網絡結構，擴展系統(tǒng)中各子系統(tǒng)對的循環(huán)逆序可以寫成

Sij:S12,S34,S14,S45,S25,S15,S56,S26,S37,S78,S48,S38,S89,S59,S49,S9,10,S6,10,S5,10,S8,11,S7,11,S11,12,S9,12,S8,12,S12,13,S10,13,S9,13,S13,14,S10,14,S11,15,S15,16,S12,16,S11,16,S16,17,S13,17,S12,17,S17,18,S14,18,S13,18,S16,19,S15,19,S19,20,S17,20,S16,20.(8)

這樣，根據(jù)式(3)可以選擇系統(tǒng)狀態(tài)的擴展和收縮變換矩陣為

(9)

系統(tǒng)輸入、輸出的擴展和收縮變換矩陣結構與式(9)類似。系統(tǒng)的置換矩陣若要按照定義式來選擇稍顯不夠直觀，這里可以參照文獻[17]中的式(6)，即

式中：符號P(m,n)b表示P中單位子矩陣I的塊位置。補償矩陣的選擇可以參照文獻[12-13]。這樣即可根據(jù)式(4)、(5)得到原多智能體系統(tǒng)的擴展系統(tǒng)。

2 多智能體的一致性協(xié)調控制

考慮多智能體系統(tǒng)偏差模型(7)，控制目標是要使各智能體的位移和速度變化量為0，且整體系統(tǒng)實現(xiàn)運動狀態(tài)的一致。針對重疊解耦后的擴展系統(tǒng)，以其中的每個子系統(tǒng)對為基本單位，參照文獻[9]中提出的二階一致性協(xié)議，可以構造智能體對的一致性控制律為

ui=fic+fir=

aij[-(di-dj)-ci(vi-vj)]+(-rddi-rvvi)

i,j=1,2,…,N,i≠j

(10)

式中：fic是為保證系統(tǒng)運動一致性的實現(xiàn)，fir是為保證各智能體的位移與速度變化量為0，各參數(shù)aij、ci、rd和rv取合適的值。從而可以把式(11)整理成狀態(tài)反饋矩陣的形式：

KDij=

(11)

即可得到擴展系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制矩陣為

(12)

需要注意的是，根據(jù)文獻[12-13]，在整合擴展系統(tǒng)控制矩陣時需要考慮整體系統(tǒng)的信息結構，即需要參照由包含原理得到的擴展系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的信息結構，對控制矩陣進行補償。這里由于系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣中對應的信息結構約束項為0，從而相應的協(xié)調補償器也為0。

然后需要根據(jù)包含原理相關條件將擴展系統(tǒng)的協(xié)調控制器(12)收縮回原空間，由文獻[12-13]有

實際上，考慮基于包含原理得到的一致性控制律u=-Kx，其基本結構與常規(guī)的一致性協(xié)議如文獻[4,9]中提到的是相同的，差別僅在于每一路控制輸入整體的系數(shù)上。這主要是因為常規(guī)的一致性協(xié)議使用系統(tǒng)網絡的Laplacian矩陣來描述網絡拓撲結構，而該矩陣在構造時是以網絡中各節(jié)點的互聯(lián)項作為基準單位，而本文的描述方式是以該節(jié)點本身作為基準單位，二者相差的系數(shù)恰好是節(jié)點所含的互聯(lián)項的數(shù)目。

3 仿真示例

首先考慮圖1所示的多智能體系統(tǒng)，各智能體僅能與存在信息結構約束的其他智能體進行信息交換，即是在一致性控制律(10)中，i與j需要滿足Sij存在于子系統(tǒng)的循環(huán)逆序排列里。系統(tǒng)的重疊偏差模型如式(7)，設智能體1在1≤t≤10 s內在x軸和y軸上均受到一個正單位的擾動，控制律中各參數(shù)在整個仿真過程中是固定的，分別為aij=10，ci=1，rd=rv=10，使用MATLAB仿真如圖2。

(a)智能體位移偏差曲線

(b)智能體速度偏差曲線 圖2 N=20時多智能體系統(tǒng)的響應曲線Fig.2 Response curves of the multi-agent system, N=20

假設系統(tǒng)經調節(jié)后處于平穩(wěn)運行狀態(tài)，智能體21的加入將分別給智能體17、18和20一個正單位的擾動，智能體21本身受到一個負單位的擾動，控制律中各參數(shù)不變。仿真結果如圖4，這里各智能體所受擾動為瞬時值，因而速度變化量的調節(jié)時間很短。智能體17、18和20在系統(tǒng)網絡中的地位和作用很接近，其位移與速度變化量的響應曲線也很相似，并且與智能體21的響應曲線變化方向相反，其他智能體的響應曲線波動依然是按照其各自的互聯(lián)情況不同而有一定的差別，這與圖2顯示的結果是基本一致的。以上仿真結果表明，在網絡拓撲結構改變的情況下，系統(tǒng)仍然可以很快地調節(jié)回平衡位置。

圖3 向系統(tǒng)中加入一個智能體，N=21Fig.3 Add one more agent to the former system, N=21

(a)智能體位移偏差曲線

(b)智能體速度偏差曲線 圖4 N=21時多智能體系統(tǒng)的響應曲線Fig.4 Response curves of the multi-agent system, N=21

4 結束語

本文在包含原理的概念下考慮多智能體系統(tǒng)的運動一致性問題。通過對系統(tǒng)重疊偏差方程進行擴展、為每個智能體對單獨設計控制律、再將結果整合并收縮這樣的過程，可以實現(xiàn)原系統(tǒng)的一致性協(xié)調控制。區(qū)別于之前的工作，本文解決了在2個運動軸向上應用包含原理進行系統(tǒng)重疊分解的問題。文中各智能體間距離相等的網型結構是有現(xiàn)實意義的，在自動車組的隊形保持或多機器人系統(tǒng)的群集控制中均有應用價值。另一方面，不只是本文提到的一致性問題，基于置換包含原理的對對分解也同樣適用于處理更加復雜的控制算法以及網絡結構的動態(tài)變化。

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