改進(jìn)蛙跳算法的LQR控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

彭勇，陳俞強(qiáng),2

(1.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系,廣東 東莞 523808； 2.廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,廣東 廣州 510006)

線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)是以狀態(tài)變量和控制變量二次型函數(shù)的積分作為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制系統(tǒng)[1]。

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的高階次、不穩(wěn)定、多變量的非線性控制系統(tǒng)。自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、收斂速度、抗干擾能力等抽象的控制概念都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)直觀、形象地表現(xiàn)出來(lái)，所以倒立擺是自動(dòng)控制領(lǐng)域中較為理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等多種控制理論都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)來(lái)加以驗(yàn)證，所以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)來(lái)對(duì)利用蛙跳算法進(jìn)行LQR優(yōu)化控制的效果進(jìn)行驗(yàn)證[2]。

1 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為

可以引入最優(yōu)控制的性能指標(biāo)，既設(shè)計(jì)一個(gè)輸入量u，使得式(1)最小。

(1)

式中：Q和R分別為狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)矩陣，tf為控制作用的終止時(shí)間。矩陣S對(duì)控制系統(tǒng)的終值給出某種約束，這樣的控制問(wèn)題稱為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題[3]。

對(duì)于倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后, 可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過(guò)軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成。如圖1所示[4]。其中, 小車的質(zhì)量為M，擺桿質(zhì)量為m，擺桿長(zhǎng)為l，F(xiàn)為作用于小車上的外力，μ為小車摩擦系數(shù)，I為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x為小車的位移，擺桿角度為θ，重力加速度為g。

圖1 單級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型Fig.1 The model of inverted pendulum system

倒立擺控制系統(tǒng)本質(zhì)上是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，如果不給小車施加牽引力以使小車做適當(dāng)運(yùn)動(dòng)，倒立擺就不能保持倒立位置而向左或向右傾倒，系統(tǒng)控制的目的就是讓小車在軌道上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，以保持?jǐn)[桿樹(shù)立不倒。

至為了使系統(tǒng)模型不過(guò)于復(fù)雜，先進(jìn)行幾點(diǎn)假設(shè)：1)擺桿及小車均為剛體且擺桿為勻質(zhì)剛體；2)忽略小車運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力和擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力矩[2,4]。

得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組為

令作用力、位移與角度參數(shù)為時(shí)間的函數(shù)有

于是最終得到方程組為

即系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

則系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中：

根據(jù)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，由于終端時(shí)間tf=，系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)為

式中：e(t)=yr-y(t)，yr為系統(tǒng)期望輸出；Q和R分別為輸出誤差變量和輸入變量的加權(quán)矩陣，決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性(Q為半正定對(duì)稱矩陣；R為正定對(duì)稱矩陣)。找一狀態(tài)反饋控制律：u=-Kx，使得二次型性能指標(biāo)最小化。

由線性二次型最優(yōu)控制理論可知，若想最小化J，則控制信號(hào)應(yīng)該為

u*=-R-1BTPx

式中：P為對(duì)稱矩陣，該矩陣滿足Riccati微分方程：

易知，狀態(tài)變量x與Riccati微分方程的解P將決定最優(yōu)控制信號(hào)。

在實(shí)際工程中，系數(shù)矩陣A、B、C、R多為常數(shù)矩陣，而且系統(tǒng)在tf→時(shí)趨于穩(wěn)定，微分方程的解矩陣P將趨于0，使得則Riccati微分方程簡(jiǎn)化為Riccati代數(shù)方程：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

則最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣K=R-1BTP。

用MATLAB求解LQR(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣K的值。LQR函數(shù)需要選擇2個(gè)參數(shù)R和Q，這2個(gè)矩陣是用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重，R一般選擇一常量，Q是一個(gè)對(duì)角線矩陣，一般情況下由元素Q1,1和Q3,3來(lái)確定，其他元素項(xiàng)為0。其中，Q1,1代表擺桿角度的權(quán)重，而Q3,3是小車位置的權(quán)重。所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制完全取決于加權(quán)系數(shù)Q1,1和Q3,3的選擇。在以往的設(shè)計(jì)中, 權(quán)重往往是由設(shè)計(jì)者根據(jù)其經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)獲得的, 需要設(shè)計(jì)者根據(jù)系統(tǒng)輸出逐步調(diào)整權(quán)重矩陣，直到獲得滿意的輸出響應(yīng)值為止。這樣不僅費(fèi)時(shí)，而且也無(wú)法保證獲得最優(yōu)的權(quán)重矩陣，因此獲得的最優(yōu)控制反饋系數(shù)不能保證使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)。

2 改進(jìn)蛙跳算法優(yōu)化LQR參數(shù)

混合蛙跳算法(shuffled frog leaping algorithm，SFLA) 在解空間中模擬青蛙群體在尋找食物時(shí)的行為探索問(wèn)題的最優(yōu)解，是 Eusuff 和 Lansey[5]為解決組合優(yōu)化問(wèn)題于 2003 年提出的一種群智能算法。SFLA 結(jié)合了 PSO 算法和 Memetic 算法的優(yōu)點(diǎn)[6]，具有易理解、易實(shí)現(xiàn)及尋優(yōu)能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)。其中，Memetic 是以遺傳行為為基礎(chǔ)，通過(guò)啟發(fā)式搜索解決優(yōu)化問(wèn)題的一種群智能算法。Memetic 算法的特征是可以在進(jìn)化之前通過(guò)局部搜索獲得一些經(jīng)驗(yàn)。

2.1 改進(jìn)蛙跳算法的實(shí)現(xiàn)

2.1.1 標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法[7]

1)初始化：選擇Nm和Nf，令Nm為青蛙子群memeplex的個(gè)數(shù)，Nf為每個(gè)子群memeplex青蛙的個(gè)數(shù)(即可行解的個(gè)數(shù))，則初始解(青蛙種群)的個(gè)數(shù)為：Npop=Nm×Nf。

3)青蛙分配：將排好序的青蛙依次循環(huán)分配到Nm個(gè)子群(即第1只青蛙到第1個(gè)子群，第Nm個(gè)青蛙到最后一個(gè)子群，第Nm+1只青蛙又到第1個(gè)子群，周而復(fù)始，直到所有青蛙分配完畢)。

4)確定局部搜索(Memetic 進(jìn)化)迭代次數(shù)為Iter。

5)Memetic 進(jìn)化：

②更新操作

式中：Fitness函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，Δxwmax表示蛙跳最大步長(zhǎng)。rand()為(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

④t=t+1，ift≤Iter，轉(zhuǎn)到①。

6)洗牌(種群信息交換)：

2.1.2 改進(jìn)的蛙跳算法

1)新的最差青蛙跳躍策略。

(2)

2)加入自適應(yīng)跳躍因子。

式(2)中rand()函數(shù)起到更新步長(zhǎng)的作用。但由于rand()函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，很不穩(wěn)定，會(huì)引起步長(zhǎng)更新過(guò)大或步長(zhǎng)更新過(guò)小，這樣就導(dǎo)致了在最優(yōu)解附近不停地搜索或者算法收斂時(shí)間較長(zhǎng)。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，蛙跳算法的跳躍距離應(yīng)該在開(kāi)始時(shí)大些，保證在整個(gè)解空間中搜索，到了后期應(yīng)該取較小值，以便算法盡快收斂。根據(jù)跳躍距離先大后小的特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)跳躍算子，使得跳躍距離根據(jù)算法的運(yùn)算過(guò)程自適應(yīng)地調(diào)整。自適應(yīng)跳躍因子為

式中：tmax為進(jìn)化的最大代數(shù)，t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)。c為系數(shù)，取值范圍為[0.2,0.6]。則式(2)可修改為

2.2 LRQ控制器的參數(shù)優(yōu)化

本文將采用改進(jìn)蛙跳算法對(duì) LQR 控制器設(shè)計(jì)中的權(quán)值Q1,1和Q3,3進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。

具體算法流程圖如圖2。

圖2 蛙跳算法優(yōu)化LQR過(guò)程示意圖Fig.2 The optimization LQR process of SFLA

圖2中，改進(jìn)蛙跳算法與Simulink模型之間連接的橋梁是最優(yōu)蛙(既LQR控制器參數(shù))和該青蛙對(duì)應(yīng)的適配值(既控制系統(tǒng)的性能指標(biāo))。優(yōu)化過(guò)程如下：改進(jìn)蛙跳算法產(chǎn)生蛙群(可以是初始化蛙群，也可以是更新后的蛙群)，將蛙群中的青蛙依次賦值給LQR控制器的參數(shù)Q1,1和Q3,3，然后運(yùn)行控制系統(tǒng)Simulink模型，得到該組參數(shù)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)，該性能指標(biāo)傳遞到蛙跳算法中作為該青蛙的適配值，最后判斷是否退出算法。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對(duì)于LQR控制器參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)有多種方法，本文采用標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法、改進(jìn)蛙跳算法、粒子群算法、遺傳算法共4種方法對(duì)LQR控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋找出合適的Q1,1和Q3,3。各算法參數(shù)設(shè)置如下：

1)遺傳算法：采用文獻(xiàn)[8]的參數(shù)集，種群規(guī)模為100，變異概率為0.05，交叉概率為0.3。

2)粒子群算法：利用文獻(xiàn)[9]的建議，種群規(guī)模為100，認(rèn)知學(xué)習(xí)因子為2.9、社會(huì)學(xué)習(xí)因子為1.2、慣性因子為0.4。

3)標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法和改進(jìn)蛙跳算法：采用文獻(xiàn)[10]的建議，文化基因體數(shù)為20，文化基因體中青蛙數(shù)為10，獨(dú)立進(jìn)化次數(shù)為10，個(gè)體最大進(jìn)化步長(zhǎng)Smax=100%變化范圍。

迭代次數(shù)改進(jìn)蛙跳算法設(shè)置為50，其他3種均設(shè)置為100。

對(duì)這4種算法優(yōu)化同一模型的結(jié)果進(jìn)行比較，以此來(lái)檢驗(yàn)改進(jìn)蛙跳算法對(duì)此類問(wèn)題的優(yōu)化性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3和圖4，仿真得出，遺傳算法(GA)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.24%，而粒子群算法(PSO)、標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法(SFA)、改進(jìn)蛙跳算法(ISFA)求解后沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3 改進(jìn)蛙跳算法適應(yīng)度變化曲線Fig.3 Improved shuffled frog-leaping algorithm fitness curve

從圖3可以看出改進(jìn)蛙跳算法在進(jìn)化代數(shù)為58.2時(shí)，最優(yōu)解就穩(wěn)定下來(lái)，粒子群算法、標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法在120代之后最優(yōu)解才穩(wěn)定下來(lái)，而標(biāo)準(zhǔn)的遺傳算法在接近300代時(shí)仍然未穩(wěn)定下來(lái)，說(shuō)明最優(yōu)解還有上升的可能，由此可見(jiàn)，改進(jìn)蛙跳算法在快速收斂性方面有較好表現(xiàn)。

針對(duì)單級(jí)倒立擺的控制，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:

小車質(zhì)量M為1.075 kg ，擺桿質(zhì)量m為0.105 kg ，擺桿長(zhǎng)度l為0.25 m ， 小車摩擦系數(shù)μ為0.1 N/m/sec ，擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為0.003 5 kg·m2。根據(jù)不同算法得到的Q1,1和Q3,3代入單級(jí)倒立擺模型得到的擺角響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 不同算法得到的擺角響應(yīng)曲線Fig.4 The comparison of response curve

從圖4可以看出，系統(tǒng)能較好地跟蹤階躍信號(hào)，改進(jìn)蛙跳算法對(duì)LQR控制器參數(shù)優(yōu)化的效果最好，超調(diào)量、穩(wěn)態(tài)誤差等都有較好的表現(xiàn)，其中超調(diào)量是控制系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下的階躍響應(yīng)曲線分析動(dòng)態(tài)性能的一個(gè)指標(biāo)值，表示被調(diào)參數(shù)動(dòng)態(tài)偏離給定值的最大程度；穩(wěn)態(tài)誤差是指當(dāng)系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)度到新的穩(wěn)態(tài)，或系統(tǒng)受擾動(dòng)作用又重新平衡后，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)偏差，這種偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，改進(jìn)蛙跳算法在LQR參數(shù)優(yōu)化上有較好的尋優(yōu)能力，所得參數(shù)對(duì)一級(jí)倒立擺的控制效果很好，精度也很高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文標(biāo)準(zhǔn)蛙跳算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)改進(jìn)跳躍策略和增加自適應(yīng)因子等方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的蛙跳算法的來(lái)對(duì)LQR控制器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，該算法相比于進(jìn)化算法在收斂性和控制精度上有顯著提高，可以較廣泛的用于工業(yè)控制領(lǐng)域，后續(xù)工作主要是繼續(xù)研究改進(jìn)蛙跳算法對(duì)PID控制器的參數(shù)的調(diào)整，以期適應(yīng)更廣泛的控制領(lǐng)域。

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