邏輯及數學演算中的不動項與不可判定命題(Ⅰ)

張金成

(中央黨校函授學院，安徽 廣德 242200)

自從羅素悖論在數學中出現，圍繞著悖論問題，一個多世紀以來，出現了眾多的解決方案。然而，這些解決方案，并不能令人完全滿意，悖論的數學本質并沒有解釋清楚，矛盾仍然沒有解決。

1931年G?del證明：如果系統N是一致的，那么，系統N中存在不可判定命題，“系統N”是不能完全的。這就是具有廣泛影響的不完全定理。

以下在分析實數集不動點的基礎上，可以證明：悖論、不可判定命題可以統一轉化成邏輯思維領域中的不動點。不動點廣泛存在，G?del不可判定命題是系統N中的不動點，它與系統N能否完全沒有直接關系，一般遞歸集合中也存在類似G?del的不可判定命題，因此，G?del不完全定理的證明是不成立的。

1 正集、反集、不動項

1.1 自指代與不動點

定義1 一般地，函數y=f(x)，x∈R,如果用x取代y，得函數方程x=f(x)，則把x=f(x)叫做y=f(x)的自指代方程。

定義2 如果U是一個集合，f:U→U是一個連續映射，且存在x∈U， 使得f(x)=x,就稱x是不動點。

例1 函數f(x)=1-x/3，它的自指代方程是：x=1-x/3，函數f(x)=1-x/3的不動點是方程x=1-x/3的解，即3/4，從圖像上看是直線y=1-x/3與y=x的交點。

關于函數不動點有以下Brouwer不動點定理。

Brouwer不動點定理設f:[0,1]→[0,1]是連續映射，則必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。

以上是R1中，即1維的Brouwer不動點定理，不動點定理可以推廣到2維以及n維歐氏空間中(即：平面上的單位閉圓盤B2具有不動點性質， 即任一連續映射f:B2→B2具有不動點。)

不動點的性質已經不僅僅局限于代數、函數領域，它已經延伸到集合論、離散數學、計算機、經濟等其他各個領域。[1]

從函數自指代方程f(x)=1-x/3的不動點分析開始，不動點3/4把實數分成2類性質的實數集合：

大于3/4的實數集合：

R+={x|x>3/4,x∈R}

小于3/4的實數集合：

R-={x|x<3/4,x∈R}

設A(x)為命題：x>3/4，若把不動點3/4扣除，A(x)為命題：x<3/4，即有：

R+={x|A(x),x∈R}

R-={x|A(x),x∈R}

不動點3/4把實數分成2個性質相反的集R+、R-。

1.2 二項劃分與雙射關系

從以上分析可以看出，實數可以分成2個性質相反的集，滿足性質P與不滿足性質P的集合。

定義3 設P是U={x1,x2,…,xi,…}上的一個性質，如果性質P把集合U劃分成2個集合，滿足

+α={x|P(x)∧x∈U}

-α={x|P(x)∧x∈U}

U=+α∪-α

則+α,-α叫做集合U二項劃分。

例2 設U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數集合J，設P(x)：x是偶數，則P(x)對U是一個二項劃分，即：

+α={x|x=2n,n∈J}

-α={x|x=1-2n,n∈J}；U=+α∪-α

設f是從集合A到集合B的映射，若y=f(x)，x∈A→y∈B，即B中任一元素y，都是A中某元素x的像，則稱f為A到B上的滿射；若對A中任意2個不同元素x1≠x2，他們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為A到B的單射；

定義4 若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的“雙射”(或“一一映射”)關系。

函數f:A→B為雙射，當且僅當對任意y∈B存在惟一x∈A，滿足y=f(x)；映射f為A到B的“雙射關系”，記為f:A～B[2]。

例3 在上例中U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數集合的一個二項劃分，即：

+α={x|x=2n,n∈J}是偶數集合；

-α={x|x=1-2n,n∈J}是奇數集合；

f(x)=1-x，x∈+α?f(x)∈-α

f(x)=1-x是二分集合+α,-α上的雙射關系，即f:+α～-α。

1.3 正集、反集、不動項

定義5 設U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合， 如果U被性質P二項劃分為+α,-α，那么：

1)滿足性質P的元素x組成的集合，叫做正集，即命題P(x)成立，記為+α={x|P(x)∧x∈U}，正集中的元素叫正項；

2)不滿足性質P的元素x組成的集合，叫做反集，即命題P(x)成立，記為-α={x|P(x)∧x∈U}，反集中的元素叫反項；

3)如果正、反集合+α,-α上存在雙射關系，即f:+α～-α，則叫+α,-α為正、反對稱集合。

例4 設U=Q+為全體正有理數集合，給定一個劃分P(x)：x2>2。

正集：平方大于2的有理數集合，即：+α={x|x2>2,x∈Q}；

反集：平方小于2的有理數集合，即：-α={x|x2<2,x∈Q}。

存在雙射f:+α～-α對應關系f(x)=2/x，+α,-α是正反對稱集合。

例5 設U=(-,0)∪(0,+)，不為0的全體實數集合，給定一個劃分P(x)：x>0。

正集：大于0的實數集合，即：

+α={x|x>0,x∈U}=(0,+)

反集：小于0的實數集合，即：

-α={x|x<0,x∈U}=(-,0)

存在雙射f:+α～-α對應關系f(x)=-1/x，+α,-α是正反對稱集合。

在一個集合U={x1,x2,…,xi,…}上，并不是任意一個劃分，都可以構成正反對稱集合，有些劃分不構成正反對稱集合。

構成正反對稱集合+α與-α必須滿足的2個條件，也可以通俗地表達為：

1)正、反對稱集合是不相容的+α∩-α=?；

2)正、反對稱集合可以建立一一對應的函數關系，xi∈+α?f(xi)∈-α。

下文專門討論正、反對稱集合，不再特別指出。

自指代方程上的不動點的定義可以推廣如下：

定義6 1)函數f:A→B，即f為集合A到B的映射，對任意x∈A，y∈B，y=f(x)，把滿足自指代方程x0=f(x0)的解x0稱為不動項。

2)設U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合， 如果U被性質P二項劃分為正、反對稱集合+α,-α，即f:+α～-α，x滿足性質P,f(x)滿足性質P，即xi∈+α?f(xi)∈-α，那么：

如果存在一個x0，滿足自指代方程x0=f(x0)元素x0叫正反對稱集合上的不動項；由元素x0構成的集合，叫做不動集，記為：e={x|x=f(x)}={x0}。

如果自指代方程x0=f(x0)無解，記為：e={x|x=f(x)}=?。

例6 設U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數集合，給定一個劃分P(x)：x是偶數，對應關系f(x)=1-x。

正集：+α={x|x=2n,n∈J}；

反集：-α={x|x=1-2n,n∈J}；

U=+α∪-α。

不動集：x=1-x，x0=1/2是不動項。

這可以看成從整數到分數的發現。

例7 設U=Q+為全體正有理數集合，給定一個劃分P(x)：x2>2，對應關系f(x)=2/x。

這就是從有理數構造無理數的“戴德金分割”。

例8 設U=(-,0)∪(0,+)，不為0的全體實數集合，給定一個劃分P(x)：x>0，對應關系f(x)=-1/x。

這可以看成從實數到虛數的發現。

“不動項”是通常數學中“不動點”概念的推廣，它不再單指是一個點、一個數，它可能是一個點、一個數、一個集合、一個命題等。

對應關系f也不再是單指數之間的運算，而可能是點、集合、或者命題之間的對應關系；

“不動項”和“不動點”都有相同的形式結構x=f(x)，“不動項”比“不動點”具有更廣泛的意義。

對不動點，一定有x0∈U，對“不動項”沒有U的內外限制，滿足x=f(x)的x0存在或者不存在問題，在U外可以找到滿足x=f(x)的x0，也是不動項。

定義7 設U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合，映射f:U→U，x0滿足自指代方程x0=f(x0)。若x0∈U，則元素x0叫U內不動項；若x0?U，則元素x0叫U外不動項。

不動項元素x0存在，方程x=f(x)有解，且x0∈U，即：存在U內不動項；

U外不動項有2種形式：

1)方程x=f(x)有解，不動項元素x0存在，但x0?U，即：不動項x0已經構造；

2)方程x=f(x)無解，不動項元素x0不存在，或者說不動項x0沒有構造；這種情況，不動集e為空集，e=?也可以看成U外不動項的特例。

在例1中，設U=R，f:U→U，函數f(x)=1-x/3中，x0=3/4是U內不動項；

設U=J，f:U→U，函數f(x)=x+1中，x=x+1無解，不動項x0不存在，即第2種情形e=?。 以后將證明：一個集合U如果能夠嚴格地二項劃分成正反對稱集合，那么不動項它一定在正反集合之外，即：都是U外不動項，正反對稱集合上的不動項有(1)、(2) 2種情形。

f是+α到-α上的一個一一對應關系，滿足函數關系y=f(x)，正集+α、反集-α，也可以表示為：

+α={x1,x2,…,xn,…}

-α={f(x1),f(x2),…,f(xn),…}

2)若滿足x=f(x)，元素x一個特殊的集合，設x=x0，不動集e={x0}。

對于P(x)?當x0滿足P(x0)?P(x0)時，x0即為不動項。

1.4 正、反集對偶變換公理

在以上概念基礎上，把矛盾命題重新進行形式描述：

用A+α表示正集+α中的命題A，A-α表示反集-α中的命題A，如：

設+α為歐氏平面上的點集，則-α為非歐平面上的點集，

A+α：在歐氏平面上，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行。

A-α：在非歐平面上，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行。

定義8 在相同集上的否定命題Aα與Aα(即A+α與A+α或A-α與A-α)，叫做經典矛盾命題；在不同集上的否定命題(A+α與A-α或A-α與A+α)，叫做非經典矛盾命題(它與辯證矛盾類似)。

實際上，矛盾命題在不同集上成立，矛盾也就化解了。辯證矛盾就是已經化解或者解釋清晰后的矛盾[2]。

由于公式的變化，公理在不同的集中有那些變化，經典邏輯公理在正集中變為：

經典邏輯公理在反集中變為：

由于經典邏輯的公理在正集、反集上都是成立的，今后對2個集上都成立的命題，上標不再區分2個集“+α,-α”，和經典邏輯公式一樣不標“+α,-α”。如：A→(B→A)，認為在2個集上都成立。

定義9 正集+α、反集-α的并集U，即：U=+α∪-α，叫做全集。

任何一個性質，如果可以對全集形成一個正反對稱集劃分，如果x0恰恰是性質P劃分的不動項，這是一個特殊的命題。

定義10 不動項x0，關于其劃分P的性質斷定的命題，叫做不動項命題，即命題P(x0)或P(x0)是不動項命題。

如果關于性質M、N、P的不動項記為xM、xN、xP，則M(xM)、N(xN)、P(xP)是不動項命題，并且有P(xP)?P(xP)。

設命題P是關于正集+α、反集-α的一個劃分，即：

若+α={x|P(x)}，則-α={x|P(x)}，f是+α，-α上的一個一一映射，有P(xi)?

通過一些分析發現P+α與P-α是等價的，例如：歐氏幾何與羅氏幾何是同構的，它說明一個命題等價于它反集中的否定命題，即應有公理“P+α?P-α”成立。

根據以上分析，引進一條新公理“P+α?P-α”或“P(x)?”。

定義11 稱公理“P+α?P-α” 或“P(x)?”為“正反集對偶變換公理”。

證明：在“正反集對偶變換公理”P(xi)?中，用xP替換得：P(xP)?P(xP)。由于正項、反項、不動項定義可以是任何一個集合的元素。如果Xi是一個命題，“正反集對偶變換公理”同樣成立，即有：

P(Xi)?當Xi=XP是不動項時，有：P(XP)?P(XP)[3]。

1.5 悖論是正、反集上的不動項

在“正反集對偶變換公理”P(xi)?中，這并不矛盾，但是，當時，即：x0為不動點時，有P(x0)?P(x0)就表現為悖論。

在例 1中，對于一個確定的實數a：

如果a>3/4?-a/3<-1/4?1-a/3<3/4?則f(a)<3/4，即：A(a)→A(f(a))；

如果a<3/4?-a/3>-1/4?1-a/3>3/4?則f(a)>3/4，即：A(a)→A(f(a))。

由于a=f(a)，這就形成了類似悖論命題A(a)?A(a)，這個悖論的解就是：a=3/4。

一般地，設f是R上的一個一一映射，f:R→R，如果性質P是R上的一個二項劃分，對任意一個x，x滿足性質P，f(x)滿足性質P，即R+={x|P(x),x∈R}，R-={x|P(x),x∈R}，x∈R+?f(x)∈R-，P(x)?P(f(x))。

不動點x0把實數集合分成正、反集合，其中一個集合中的元素滿足性質P，另一個集合中的元素滿足性質P，而不動點x0可以看成具有2個矛盾性質P與P的點，即P(x0)?P(f(x0))，這就是悖論形成的內在機理。

在例 4中，設P(x)表示命題x2>2，對于一個確定的數a：

P(a)：a2>2?a2=4/a2

4/a2>2?a2<2?P(a)

4/a2<2?a2>2?P(a)

由于a=f(a)，這就形成了類似悖論命題P(a)?P(a)，這個悖論的解就是：

在例 5中，設P(x)表示命題“x>0”，對于一個確定的數a：

P(a)：a>0?a=-1/a，

-1/a>0?a<0?P(a)；

所以，得到悖論：P(a)?P(a)；

例9 羅素悖論中的集合分為2類：

一類集合是自身的元素，即x∈x，+α={x|x∈x}；

現在構造第2類集合全體組成的集合(即-α)，用R={x|(x∈x)}表示，即x∈R?(x∈x)，問集合R是那類集合？即用R去自指代。

無論集合R是那類集合，即得到羅素悖論：R∈R?(R∈R)。

設P(x)表示命題x∈x，+α={x|P(x)}，則P(x)表示命題(x∈x)，-α={x|P(x)}。

第2類集合全體組成的集合R={x|P(x)}；

即x∈R?P(x)?R∈R?P(R)；

即P(R)?P(R)。

所以，R={x:x?x}是關于謂詞P(x)的不動項，即羅素悖論是不動項命題[3]。

1.6 邏輯演算中的不動項

在“正反集對偶變換公理”P+α?P-α中，當存在不動項時，就存在悖論。如果把“正反集對偶變換公理”P+α?P-α引進邏輯演算系統中，邏輯演算系統中就會同樣存在悖論。

在命題演算系統L中，如果承認“正反集對偶變換公理”P+α?P-α，則不動項存在，存在悖論。即若+α=-α=e，則┝Pe?Pe；

在謂詞演算系統L中，如果承認“正反集對偶變換公理”P(xi)?則有不動項存在，存在悖論；即若則┝P(xP)?P(xP)。

由于在經典系統中，定理Pe,Pe┝B成立，所以，如果承認悖論存在，無論是系統L還是系統K，會導致整個系統崩潰。

在以前的命題邏輯系統L，謂詞邏輯系統K中，為什么沒有發現不動項的存在，是因為在其中沒有建立起來正反演算，一個公理系統中是否存在不動項(悖論)，跟演算方式有關。

由于不動項、悖論的存在，是不是“命題邏輯系統L”、“謂詞邏輯系統K”都是不足道的，是一個崩潰的邏輯系統？以后的證明表明：“命題邏輯系統L”、“謂詞邏輯系統K”都是在已知集合U上的封閉演算，其中的不動項都是U外不動項。U外不動項的存在是正常的，它不會導致“命題邏輯系統L”、“謂詞邏輯系統K”崩潰。[4]

1.7 自然數系統中的一般不動項

已經證明，命題邏輯系統L演算中存在不動項；謂詞邏輯系統K演算中存在不動項；同理，自然數系統N演算中也存在不動項。

證明設N={0,1,2,3,…}，構造N的子集合U，U?N，命題P是關于正集+α、反集-α的一個劃分，U=+α∪-α，即：若+α={n|P(n)}，則-α={n|P(n)}，f是+α，-α上的一個一一映射，有P(n)?

或P(nP)?P(nP)；以后也將證明：自然數系統N演算中的不動項，也是U外不動項。

由于自然數系統N是一個具體的數學系統，已經不需要正反集對偶變換公理P+α?P-α，只要進行類似正反集對偶變換的運算(即自指代運算)，就會產生不動項。

在自然數系統N中，設U={n1，n2，…，ni,…}。┝NP(xP)?P(xP)具有一般性，性質P可以是任何一個性質。

如果P(x)表示：x是偶數；

那么P(nP)?P(nP)表示：nP是偶數?nP是奇數。

如果設U表示自然數系統N中的所有命題，P(x)表示：x可以證明；即x是系統N可證命題，┝Nx。

那么P(nP)?P(nP)表示：nP可以證明?nP不可以證明。

構造函數f(x)=11-x，若x∈[0,11]?N，則f(x)∈[0,11]?N；

設P(n)表示：n是偶數；則P(n)表示：n是奇數；

P[n]?P[f(n)]；

讓f(n)=11-n自指代，即：n=f(n)，n=nP是它的不動項；

則得到：P(nP)?P(nP)。

承認正反集對偶變換公理P+α?P-α，命題邏輯系統L演算中存在不動項；謂詞邏輯系統K演算中存在不動項；自然數系統N演算中也存在不動項，不動項及不動項命題的存在是不可否認的。

正、反集對偶變換公理P+α?P-α產生不動項的本質是自指代，也就是說，只要允許自指代，就可能產生不動項，悖論就不可能避免。

2 U外不動項的邏輯性質

2.1 正反對稱集上的不動項一定是U外不動項

對于一個全集U={x1,x2,…,xi,…}，P是一個劃分標準，如果性質P可以把U劃分成正、反2個對稱集。

定理3(U外不動項定理) 設全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經定義的集合，U可以二分成正反對稱集合U=+α∪-α，如果正集、反集上的演算是一致的，那么，不動項xP不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即xP?U；即：正、反集合上的不動項，是U外不動項。

證明

1)├xP∈+α

┈┈假設；

2)├P(xP)?P(xP)

┈┈不動項定理；

3)├P(xP)∧P(xP)┈┈經典定理，正集+α中存在矛盾命題，這與正集是一致的相矛盾；

4)├xP?+α

┈┈(1)，反證法；

同理可證：xP?-α。

即如果不動項屬于正集+α，那么，將導致正集矛盾；同樣，如果不動項屬于反集-α，那么，將導致反集矛盾；所以，不動項不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即xP?U。

例11 從整數到分數的發現：U為全體整數集合J，把這個集合，分成偶數集合與奇數集合。

+α={x|x=2n,n∈U}偶數集合；

-α={x|x=1-2n,n∈U}是奇數集合。

正反集對應函數f(x)=1-x；x=f(x)，x=1-x，x=1/2，所以，1/2為不動項，但是，1/2?+α，1/2?-α，1/2?U，即：1/2為U外不動項，1/2不再是整數。

例12 從有理數到無理數的發現：U為全體正有理數集合Q+。

+α={x|x2>2,x∈U}

-α={x|x2<2,x∈U}

例13 從實數到虛數的發現：U為不為0的全體實數集合R。

+α={x|x>0,x∈U}

-α={x|x<0,x∈U}

進一步可以探明：凡是通過自指代方程x=f(x)形成的正、反集合上的不動項，都存在類似的性質，是U外不動項，既不在正集中，也不在反集中。

U外不動項xP，不具有原集合U的性質，是變異項。

根據U外不動項定理3，設U=+α∪-α，如果存在正、反集合上的不動項，那么，它們都是U外不動項，由這個定理，很容易得到以下推論：

推論1U=+α∪-α，P是U的一個分割，任何悖論P(xP)?P(xP)其中項xP是U外不動項。

推論2U=+α∪-α，+α={x|x∈x}，-α={x|(x∈x)}，羅素悖論P(R)?P(R)，R={x:x?x}是U外不動項。

推論3U=+α∪-α，+α={P|V(P)=1}，+α={P|V(P)=0}，Pe?Pe命題演算系統L上的不動項Pe，是U外不動項。

推論4U=+α∪-α，P是U的一個分割，P(xP)?P(xP)謂詞演算系統K上的不動項xP，是U外不動項。

推論5N={0,1,2,3,…}，U?N，+α={n|P(n)}，-α={n|P(n)}，P(nP)?P(nP)自然數系統N上的不動項nP，是U外不動項。

定理4 設全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經定義的集合，不動項xP具有正集+α性質P(x)，也具有反集-α性質P(x)，不動項xP具有雙重性質，同時與正集+α性質P(x)相矛盾，也與反集-α性質P(x)相矛盾。

證明：

1)├P(xP)?P(xP)

┈┈不動項定理

┈┈(1)，經典定理

3)├P(xP)∨P(xP)

┈┈(2)，經典定理

4)├P(xP)

┈┈(3)

不動項xP具有正集+α性質P(x)；

5)├P(xP)→P(xP)

┈┈(1)，經典定理

┈┈(5)，經典定理

┈┈(6)，

不動項xP也具有反集-α性質P(x)；

8)├(P(xP)→P(xP))∧(P(xP)→P(xP))

┈┈(1)，經典定義

┈┈(8)經典定理

定義12 設全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經定義的集合，不動項不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即不動項不屬于已定義的集合，xP?U，單獨給不動項命名一個集，叫做相對于U的未定義集，即：不動集e={xP}；不動項xP叫做相對于U的未定義項；如果xP是未定義項，P是U上的一個謂詞，那么P(xP)叫做未定義命題。

正、反對稱集合+α,-α是相互矛盾的集合，通常矛盾集合中的項是不能進行自指代的，當進行自指代時，滿足x=f(x)的項xP，在U中不存在；

如果存在xP滿足x=f(x)，就會發生變異，xP在U中無定義，只能把U拓展到U外定義xP，所以，U外不動項xP，也稱為變異項。

按照以上定義，U外不動項xP相對于已經定義集合U，都是未定義項；所以，悖論(包括羅素悖論)，命題演算系統L上的不動項Pe，謂詞演算系統K上的不動項xP，自然數系統N上的不動項nP，相對于它們原始的已定義集合U，都是未定義項。

2.2 U外不動項命題的不可判定性

定理5U外不動項命題P(xP)或P(xP)，相對于任何一致系統都是不可判定命題。

證明假設存在某個一致系統H，若H┝P(xP)，P(xP)?P(xP)，則H┝P(xP)，與系統H是一致的相矛盾，所以，H┝P(xP)；

假設H┝P(xP)，P(xP)?P(xP)，則H┝P(xP)，與系統H是一致的相矛盾，所以，H┝P(xP)；

所以：P(xP)，P(xP)在系統H均不可證，P(xP)是系統H的不可判定命題；

當用一個性質P去劃分一個系統時，在正集與反集的邊緣都會產生不動項，這個不動項命題，無論在任何系統中，都是不可判定的。

對于任意關于謂詞N的不動項XN，關于性質M命題M(XN)，若M≠N，則M(XN)不是不動項命題。若M=N，則M(XN)是不動項命題，因此是不可判定的。

定義13U外不動項命題P(xP)的不可判定性，叫做U外不可判定命題。

例15 從整數到分數的發現：U為全體整數集合，把這個集合，分成偶數集合與奇數集合，

+α={x|x=2n,n∈U}偶數集合；

-α={x|x=1-2n,n∈U}是奇數集合。

正反集對應函數f(x)=1-x；，x=1-x，1/2為不動項。

如果設P(x)表示命題：“x是偶數”；則有不動項命題P(1/2)，P(1/2)都是U外不可判定命題。

從有理數到無理數的發現：U為全體有理數集合。

+α={x|x2>2,x∈U}

-α={x|x2<2,x∈U}

從實數到虛數的發現：U為不為0的全體實數集合。

+α={x|x>0,x∈U}

-α={x|x<0,x∈U}

如果設P(x)表示命題：“x>0”；則有不動項命題P(i)，P(i)都是U外不可判定命題。

按照定理5，所有正、反集合上的不動項命題，都是U外不可判定命題。由這個定理，很容易得到以下推論：

推論6 任何悖論都是U外不可判定命題。

推論7 羅素悖論是U外不可判定命題。

推論8 命題演算系統L上的不動項命題Pe，是U外不可判定命題。

推論9 謂詞演算系統K上的不動項命題P(xP)，是U外不可判定命題。

推論10 自然數系統N上的不動項命題P(nP)，是U外不可判定命題。

2.3 U外不可判定性與系統的完全性無關

證明假設存在一個一致的公理系統∑，使得∑┝P(xi),(i=1,2,…)，即命題P(xi)在公理系統∑中都可證；

由于命題P(xP)?P(xP)， 若∑┝P(xP)則∑┝P(xP)，與公理系統∑一致性相矛盾；

所以，P(xP),P(xP)在公理系統∑中是不可判定命題。

由于命題P(xP)?P(xP)，若∑┝P(xP)則∑┝P(xP)，與公理系統∑一致性相矛盾；

所以，同樣有P(xP),P(xP)在公理系統∑中是不可判定命題。

這個U外不動項命題P(xP)，是恒成立不可判定命題，與U內項命題P(xi)在公理系統∑中是否可證沒有關系。

如例15，從整數到分數的發現：U為全體整數集合，把這個集合，分成偶數集合與奇數集合。

+α={x|x=2n,n∈U} 偶數集合

-α={x|x=1-2n,n∈U} 奇數集合

正反集對應函數f(x)=1-x；，x=1-x，1/2為不動項，“1/2是偶數”；“1/2是奇數”；均不可證，都是不可判定命題。這個U外不動項命題，它與其他整數xi是偶數還是奇數是否可證沒有關系，是U外不可判定命題。

由于一般的可判定集合外也存在不動項，所以，不動項命題的不可判定，是U外不可判定命題，并不影響集合U內命題的可判定性。

由于不動項命題的不可判定，不影響集合的遞歸性，所以，它也不影響系統的完全性。

傳統系統完全性的定義是：設全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統Σ上的全部命題。

1)若?Xi∈UΣ，(Σ┝Xi)∨(Σ┝Xi)，即：若?Xi∈UΣ，Xi或Xi在Σ中可證明，就稱UΣ相對Σ是完全的，簡稱系統Σ是完全的；

注：系統Σ完全性的另一個等價定義是：若?Xi∈UΣ，則MΣXi?Σ┝Xi，稱系統Σ是完全的(MΣ是系統Σ的模型)。

定理7U外不動項命題P(xP)的不可判定性，不能作為系統Σ是否完全的標準，即U外不動項命題的不可判定性與系統Σ完全性無關。

證明設全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統Σ上的全部命題，在系統Σ一致的假設下，用P(X)表示Σ┝X；P(X)表示ΣX。可證關系P把UΣ劃分成正、反2個集合：+α={X|P(X)}；-α={X|P(X)}。建立雙射關系F:+α～-α，F(X)=X，如果有不動項XP存在，P(XP)?P(XP)，即：(Σ┝XP)?(ΣXP)，那么P(XP),P(XP)在系統Σ中是不可判定命題，但是，它們是U外不可判定命題，XP?UΣ。

根據“系統Σ完全性”的定義，“系統Σ完全性”只跟UΣ內的命題X是否可證有關系，因為XP?UΣ，所以，“系統Σ完全性”根XP是否可證，沒有關系。

不動項XP不在+α中，也不在-α中，是U外不動項，系統的完全性只與U內的項判定有關。即：P(XP),P(XP)不可判定，+α={X|P(X)}，-α={X|P(X)}中的命題仍然是可判定的。

另外，U外不動項命題P(xP)的不可判定性，能作為系統Σ是否完全的標準，那么不動項命題P(xP)的不可判定，∑相對U是不能完全的。我們可以找到這樣一個實例，一個完全的系統中，同樣存在不動項。

事實上，由于不動項存在是普遍的，很容易在整數、自然數的任意一個有限子集上找到不動項。如果U外不動項命題P(xP)的不可判定，可以作為系統∑完全性、正反集合遞歸性的標準；那么將建立不起來真正完全的系統，也找不到真正的遞歸集合，這顯然是錯誤的。

由于以前的邏輯研究中沒有發現不動項，關于系統完全性的定義是有缺陷的，容易把UΣ外不動項XP與UΣ中的命題相混淆，把UΣ外不動項XP與UΣ中的命題區別開，系統完全性定義修改如下：

定義14 設全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統Σ上的全部命題。

1)若?Xi∈UΣ，(Σ┝Xi)∨(Σ┝Xi)，即若?Xi∈UΣ，Xi或Xi在Σ中可證明，就稱UΣ相對Σ是完全的，簡稱系統Σ是完全的；

2.4 U外部矛盾的永恒性及其來源

“不動項定理”說明只要有不動項存在，就會有悖論存在，就會有矛盾存在。

推論11 設全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經定義的集合，如果U可以二分為正反集合，并且存在不動項，那么必然會形成不動項矛盾(即悖論)。

例16 設U1為不包含0的整數集合，+α1={x|x>0,x∈J}，-α1={x|x<0,x∈J}，U1=+α1∪-α1。

設P1(x):x>0，正反集對應函數f(x)=-x；x=f(x)，x=-x，x=0，e1={0}

由于0是不動項，所以，┝P1(0)?P1(0)；┝P1(0)∧P1(0)，這里發現0是正負數外的一個矛盾數。

如果再把e1={0}加進原來集合U1，擴展到全部的整數集合U2=J，再構造奇數、偶數正反集合。

設+α2={x|x=2n,n∈J}，-α2={x|x=1-2n,n∈J},U2=+α2∪-α2=J。設P2(x):x=2n,n∈J即：是偶數，正反集對應函數f(x)=1-x；x=f(x)，x=1-x，x=1/2，由于1/2是不動項，所以，┝P2(1/2)?P2(1/2)；┝P2(1/2)∧P2(1/2)。這里發現1/2是奇數、偶數外的一個矛盾數。

矛盾數的出現相對于原來的已知集合U1是一個未定義項，當把這個矛盾數重新定義，并且擴展的原來的已知集合U1中去時得到U2，當以U2為整體已知集合時，原來的矛盾就退化、消融了，但是，以U2為已知集合構造正反集合，在U2之外又有新的矛盾數出現，再把這個矛盾數重新定義，并且擴展的原來的已知集合U2中去時得到U3，當以U3為整體已知集合時，矛盾又退化、消融了，…，如此，數系在矛盾的出現與消融中擴展，外部矛盾總是存在的，是永恒的。

根據“U外不動項定理”：如果全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經定義的集合，如果正集、反集上的演算是一致的，那么，不動項xP不屬于正集+α，也不屬于反集-α；即正、反集合上的不動項，是U外不動項。即xP?+α，xP?-α，xP?U。

“U外不動項定理”說明不動項一定存在U外，即不動項矛盾(悖論)來源于正反集合之外。

推論12 設U={x1,x2,…,xi,…}，如果U上的演算是一致的，那么，不動項矛盾“┝P(xP)?P(xP)”，┝P(xP)∧P(xP)在U外，即xP?U(矛盾來源于已定義集合U的外部)。

U1分成對立集合U1=+α1∪-α1，產生矛盾集合e1，重新命名不動項，擴展U2=+α1∪e1∪-α1；

U2分成對立集合U2=+α2∪-α2，產生矛盾集合e2，重新命名不動項，擴展U3=+α2∪e2∪-α2；

U3分成對立集合U3=+α3∪-α3，產生矛盾集合e3，重新命名不動項，擴展U4=+α3∪e3∪-α3；

…

Un分成對立集合Un=+αn∪-αn，產生矛盾集合en，重新命名不動項，擴展Un+1=+αn∪en∪-αn；

…

以上分析發現經典邏輯是一個在相對已知集合上二分的封閉思維系統，在這個已知集合的外部可以產生矛盾，產生悖論，而且這種矛盾是無法避免的。如果Un上的演算是一致的，矛盾只會產生在Un的外部，經典邏輯在Un上的演算仍然成立，外部矛盾不會導致系統崩潰。這說明，Un的外部矛盾是一種恒存在的矛盾，是正常的。

3 G?del不完全定理證明不能成立

3.1 G?del不可判定命題

簡單回顧一下G?del不完全定理的證明過程：

定義15 一個自然數集上的k元關系R，稱為在N中可表達的，如果存在一個有k個自由變元的公式ξ(x1,x2,…,xn)，使得對任何自然數n1,n2,…,nk，

1)如果R(n1,n2,…,nk)在N中成立，則┝Nξ(0(n1),0(n2),…,0(nk))；

2)如果R(n1,n2,…,nk)在N中不成立，則┝Nξ(0(n1),0(n2),…,0(nk))[3]。

引進一個二元關系W：W={(m,n)}，m是公式U(x)的G?del數，n是公式U(m)從N證明的G?del數。

可以證明：遞歸關系在N中都是可以表達的。

可以證明：二元關系W是遞歸的，所以，W={(m,n)}在N中是可表達的：

(m,n)∈W?┝Nw(0(m),0(n))

(m,n)?W?┝Nw(0(m),0(n))

U(x)=?yw(x,y)---構造公式U(x)；

m=g(U(x))；m是公式U(x)的G?del數；

用m去替換U(x)中所有自由出現的x得：

U(m)=?yw(0(m),y)-----y是U(m)證明的G?del數；

?yw(0(m),y)的解釋是“對任意y，y是U(m)證明的G?del數不成立”或者；

“對任意y，y是G?del數為m的公式(即：U(m))證明的G?del數不成立”；

或者?yw(0(m),y)??y┝w(0(m),y) “不存在y，y是U(m)證明的G?del數”，即“U(m)是不可證明的”[4]；

定理8U(m)在N中是一個不可判定命題。

證明

1)(m,n)∈W?┝Nw(0(m),0(n))，

(m,n)?W?┝Nw(0(m),0(n))；

2)┝NU(m)

-----假設，

3)┝N?yw(0(m),y)-----把U(m)從N證明的G?del數記為n，則(m,n)∈W，

4)┝Nw(0(m),0(n))

-----(3)，(1)，

5)┝Nw(0(m),0(n))

-----(3)，K4，MP，

-----(4)，(5)矛盾；

7)┝NU(m)

-----假設，

8)┝N?yw(0(m),y)??yw(0(m),y)

-----(7)，

9)U(m)在N中不成立，任意n，(m,n)?W，

10)┝Nw(0(m),0(n))

-----(1)，(9)，

11)┝Nw(0(m),0(n))

-----(8)

設n是U(m)從N證明的G?del數，

-----(10)，(11)矛盾，

13)U(m)，U(m)都是不可證命題，即，U(m)在系統中是不可判定的

-----(6)(12)。

以上不可判定命題U(m)的構造與證明是由G?del在1931年給出的，在一般的數理邏輯文獻及[4，10]中都可以找到。

3.2 G?del不可判定命題是U外不動項

定理9 設G(X)表示謂詞┝NX，G?del不可判定命題U(m)是關于G(X)的不動項。

證明設U={自然數系統N上的全部命題}，用系統N上的可證性質G，把U二分成正反對稱集合。

1)設

+α={U(x)|?nw(m,n),m=g(U(x))}

用謂詞G(X)表示┝NX，+α={U(x)|G(U(x))}正集中U(x)都是系統N上可證明公式，即：┝NU(x)；

2)設

-α={U(x)|?nw(m,n),m=g(U(x))}

-α={U(x)|G(U(x))}

反集中U(x)都是系統N上不可證明公式，即：NU(x)，正反集合的元素都是命題。

3)在系統N一致的前提下，X是可證命題，則X一定是不可證命題。構造正反集合雙射關系，Y?F(X)=X，

正集，反集有對應關系X∈+α?Y∈-α，G(X)?G(Y)或者G(X)?

4)構造自指代方程X?F(X)，X?X，G(Xi)?這個命題方程是否存在不動項？?del不可判定命題U(m)，恰恰是滿足它的解；

5)構造公式U(x)，U(x)=?yw(x,y)；

6)設m=g(U(x))；m是公式U(x)的G?del數；

7)用m去替換U(x)中所有自由出現的x得：

U(m)=?yw(0(m),y)-----y是U(m)證明的G?del數，U(m)?G(U(m))；

8)若┝NU(m)，即G(U(m))成立，

則┝NG(U(m))；

10)G(U(m))?G(U(m))，

G(Xi)?的解；

11)U(m)是關于命題

G[U(m)]?G[U(m)]的不動項(這個不動項是命題)；

由于正反對稱集合上的不動項都是U外不動項，所以，很容易得到以下推論。

推論13 設+α={U(x)|G(U(x))}，

-α={U(x)|G(U(x))}，U=+α∪-α，G?del不可判定命題U(m)，是U外不動項。

G?del不可判定命題是不動項(邏輯上的項具有一般意義，可以是任何一個集合的元素，如：點，數，命題等)，也可以把G[U(m)],G[U(m)]看成一個二階命題，對偶變換公理是一般的邏輯規律，對二階命題同樣成立；或者利用G?del數，U(m)也可以轉化成一個數，即轉化成一階語言中的普通項。[5]

3.3 G?del不完全定理的證明不成立

以上討論并證明了“U外不動項”的一般邏輯性質，概括如下：

1)正、反集上的不動項一定在U外(定理3)；

2)U外不動項相對于U是未定義項(定理4)；

3)U外不動項命題是不可判定命題(定理5)；

4)U外不動項命題的不可判定與U內項在系統中是否可以判定無關，與系統的完全性無關(定理6、7)；

5)U外不動項矛盾是永恒的矛盾，矛盾來源于U外(推論11、12)；

以上證明G?del構造的不可判定命題，也是系統N中的一個不動項，它也滿足以上一般邏輯性質，因此，G?del關于不完全性定理的證明是錯誤的。

將修正后的系統完全性定義14，推廣到自然數系統N上：

定義16 設全集UN={X1,X2,…,Xi,…}是自然數系統N上的全部命題，。

1)若?Xi∈UN，(┝NXi)∨(┝NXi)，即若?Xi∈UN，Xi或Xi在N中可證明，就稱自然數系統N是完全的；

注：XG是UN外的不動項，以上定義中特別列出(3)，是為了防止把XG與UN中命題混淆，系統的完全性與UN外的項無關，與UN內的項有關。

定理10 G?del不可判定命題U(m)，U(m)在系統N中不可判定，是U外不可判定命題，與系統N的完全性無關。

證明

1)XG=U(m)是滿足方程

G(XG)?G(XG)的解，

即：G(U(m))?G(U(m))，

U(m)是關于命題公式G[U(m)]?G[U(m)]的不動項；

2)不動項命題G(XG)的不可判定，是U外不可判定命題，不能作為N是否完全的標準；

3)不動項U(m)的不可判定性與系統N相對于UN完全性無關；G?del不可判定命題U(m)，是U外變異項。

所以，G?del關于自然數系統N的不完全定理的證明是錯誤的。

這個U(m)是恒成立不可判定命題，是U外不可判定命題，與U內項命題Xi在公理系統N中是否可證沒有關系；

不動項U(m)的不可判定，

+α={U(x)|G(U(x))}，

-α={U(x)|G(U(x))} 的G?del數集合仍然可能是遞歸集合。

很容易得到以下推論：

推論14U(m)在系統N中不可判定，是U外不可判定命題，與系統N的定理集合的可判定性無關。無論在系統N中怎么添加公理，這個不可判定命題U(m)是消除不了的，因為U(m)是一個不動項，已經不是系統N的一個命題。如果我們仔細觀察不完全定理的證明過程，不可判定命題U(m)的構造，只與系統N的可表達有關，與系統N的公理無關，也就是說：即使系統N一條公理也沒有，不可判定命題U(m)照樣存在。這個U(m)是恒成立不可判定命題，與公理系統N是否可以完全沒有直接關系。

以后將證明：不光G?del不可判定命題是U外不動項，“Cantor對角線證明方法”所產生的項，也都是U外不動項，“Cantor對角線證明方法”是錯誤的證明方法。

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