基于繞組函數(shù)的長定子直線同步電機(jī)建模研究*

包廣清，梁銅川

(蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅蘭州730050)

0 引 言

繞組函數(shù)法最先用于單相感應(yīng)電機(jī)的計算機(jī)模擬，以及用于集中繞組的感應(yīng)電機(jī)、雙勵磁磁阻電機(jī)和同步磁阻電機(jī)的分析。近年來，這種方法越來越廣泛地應(yīng)用于感應(yīng)電機(jī)在不同故障下的瞬時動態(tài)分析，例如在氣隙動態(tài)偏心的故障分析中。繞組函數(shù)法是從整體出發(fā)，不論電機(jī)氣隙是否均勻，直接利用繞組的空間分布，寫出繞組函數(shù)，結(jié)合氣隙倒函數(shù)，求出電感參數(shù)[1]。

電感計算的準(zhǔn)確性直接影響電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，而電機(jī)的數(shù)學(xué)模型對電機(jī)的機(jī)械特性有很大的影響，因此研究者對直線同步電機(jī)進(jìn)行仿真和計算時，必須建立合適的數(shù)學(xué)模型。本研究以繞組函數(shù)為基礎(chǔ)建立長定子直線同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，通過Matlab 求解電流微分方程，得到直線電機(jī)正常運行時的三相電流、電磁推力和勵磁電流波形。

1 直線同步電機(jī)建模

1.1 繞組函數(shù)解析法

在長定子直線同步電機(jī)中，對A 相繞組，根據(jù)安培環(huán)路定律有[2]:

式中:H—A 相繞組磁場強(qiáng)度;J—電流密度;iA—A 相繞組電流;nA(x，x')—A 相繞組的繞組函數(shù);x—從定子A相軸線算起的空間位移;x'—動子的位置。

又根據(jù)磁通連續(xù)定理:∮B d s=0，可以推導(dǎo)出A 相繞組磁勢:

式中:B—繞組的磁感應(yīng)強(qiáng)度，F(xiàn)A(x，x')—iA在A 相繞組中產(chǎn)生的磁勢，MA(x，x')—修正的A 相繞組函數(shù)。

且:

磁路的磁通φ為磁動勢F 和磁導(dǎo)Λ的乘積:

式中:μ0—真空磁導(dǎo)率，S—磁路的截面積，L—磁路的長度。

對于長定子同步直線電機(jī)，忽略鐵磁材料的飽和效應(yīng)后，可近似認(rèn)為直線電機(jī)中的磁勢全部降落在氣隙中，因而磁路的磁阻主要是氣隙磁阻，由于同步電機(jī)中的氣隙不均勻，致使氣隙長度為動子位置的函數(shù)g(x，x')，g-1(x，x')為直線電機(jī)氣隙倒函數(shù)。即:

因此直線電機(jī)磁通的變化量為:

則 A、B 兩相繞組的互感為[3]:

式中:nB(x，x')—直線電機(jī)B 相繞組隨動子位置變化的繞組函數(shù)。

1.2 電機(jī)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

1.2.1 長定子直線同步電機(jī)結(jié)構(gòu)

德國TR08 型磁浮列車的長定子直線電機(jī)截面結(jié)構(gòu)如圖1 所示。該電機(jī)采用長定子短磁極式，定子繞組為波繞組[4]。長定子鐵芯連續(xù)鋪設(shè)在軌道兩側(cè)下方，定子三相繞組嵌在鐵芯槽內(nèi)。勵磁磁極裝在車上，布置在車廂兩側(cè)，與定子繞組相對應(yīng)，由車載直線發(fā)電機(jī)供給勵磁電流。

圖1 直線同步電機(jī)的縱向剖面圖

1.2.2 數(shù)學(xué)模型

由于長定子同步直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)具有對稱性，建立數(shù)學(xué)模型時只模擬一對磁級。理想化的直線同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以看作由三相定子繞組和一個勵磁繞組構(gòu)成。基于等效磁路法的直線同步電機(jī)電壓方程如下:

定子回路電壓方程:

動子回路電壓方程:

磁鏈方程:

其緊湊寫法為:

式中:r—定子繞組總電阻;rf—勵磁繞組的電阻;Laa，Lbb，Lcc—各相定子繞組的自感;Mij(i=a，b，c，f;j=a，b，c，f;i≠j)—線圈的互感系數(shù)。

對于直線電機(jī)而言，根據(jù)以下公式對式(14)進(jìn)行簡化:

將式(11)和式(15)合并簡化，得到長定子直線同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型公式，由此得到的數(shù)學(xué)模型為后續(xù)的仿真建立了基礎(chǔ)。即:

1.3 電機(jī)參數(shù)的計算

由公式(10)可知，直線電機(jī)的電感與繞組函數(shù)和直線電機(jī)的氣隙分布有關(guān)。根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知，直線電機(jī)的電樞繞組函數(shù)為:

式中:NS—電樞繞組的匝數(shù)。

1.3.1 定子繞組自感

定子繞組自感包含兩個部分:恒值的繞組漏感Lls和氣隙主磁通的電感Lms。本研究以a 相繞組為例，其自感值為:

其中:

電樞部分的漏電感[6]主要由槽部漏感Ls、諧波漏感Lδ、端部漏感Le和齒端漏感Lt 組成，其相應(yīng)的計算公式如下:

式中:τ—級距，b—定子鐵芯寬度，h01—定子槽口高度，h11—線圈高度，bs1—槽口的寬度，ls—定子鐵芯長度，p—極對數(shù)，m—相數(shù)，δ—氣隙的有效高度，v—諧波次數(shù)，kdqv—定子v 次諧波繞組系數(shù)，lE—線圈的端部長度，q—每級的槽數(shù)，b0—齒槽的寬度。

同理可得b、c 兩相繞組的自感如下:

1.3.2 定子繞組互感

定子三相繞組間的互感同理按照繞組函數(shù)公式計算，以b、c 相互感Mbc 為例，其計算公式如下:

同理可得其他兩相的互感計算結(jié)果如下:

1.3.3 定子與動子繞組互感

直線同步電機(jī)簡化模型中動子部分只包含勵磁繞組，勵磁繞組為集中繞組，基波繞組系數(shù)為1，定義動子勵磁繞組函數(shù)為:

根據(jù)定子、動子繞組函數(shù)及氣隙倒函數(shù)，推導(dǎo)出定、動子之間的互感如下:

式中:wfd—勵磁繞組的匝數(shù)。

1.3.4 勵磁繞組自感

勵磁繞組的自感也分為兩部分:恒值的漏感以及與端部漏磁自感:

式中:Lfd—跟氣隙相關(guān)的自感。

且:

由文獻(xiàn)[7]可知勵磁繞組漏磁自感 Lfd1計算公式為:

式中:λf—勵磁繞組的比漏磁導(dǎo)，afd勵磁繞組的并聯(lián)數(shù)目，l—動子鐵芯寬度。

從前面幾個部分的計算可以看出，在直線同步電機(jī)的一對極模型電感參數(shù)中，定子繞組自感、互感和定子繞組與動子之間的互感都是動子位置變化的函數(shù)。由公式(25～27)可以得出勵磁繞組的自感并不是隨動子變化的量，而是一個常值。

1.3.5 電阻的計算

假設(shè)定、動子繞組的端部形狀為半圓形，則定子繞組的每相電阻可以按照下面的公式進(jìn)行計算[8]:

式中:p1—某段定子繞組的總極對數(shù)，ρ—工作溫度下的導(dǎo)體電阻率，A—導(dǎo)體截面積，b—定子鐵芯寬度。

1.3.6 電磁推力計算模塊

直線同步電機(jī)的電磁推力是直線電機(jī)正常運行至關(guān)重要的性能參數(shù)之一，采用下面的公式計算[9]:

式中:Lmd，Lmq—直線電機(jī)直軸與交軸的主電感;ψd，ψq—直線電機(jī)直軸與交軸磁鏈;id，iq—定子側(cè)直軸和交軸電流;Ld，Lq—直軸與交軸同步電感。

2 動態(tài)仿真

基于式(16)建立直線同步電機(jī)的仿真模型如圖2所示。其中主要包括:電感矩陣模塊、電感逆矩陣模塊、電阻矩陣模塊、電源矩陣模塊、坐標(biāo)變換模塊、電磁推力計算模塊。

圖2 動態(tài)仿真結(jié)構(gòu)圖

圖2 中，動子的位置x=vt。電感矩陣、電阻矩陣和d[L]/d x 矩陣維數(shù)是4 ×4，并且是主對稱矩陣。電源矩陣中，電壓源的頻率f=v/2τ，且矩陣維數(shù)是4 ×1。

3 電機(jī)參數(shù)及仿真結(jié)果

3.1 電機(jī)參數(shù)

以上海的懸浮列車運營線為基礎(chǔ)，參照TR08 系列設(shè)計，其列車車體兩側(cè)各有一個直線同步電機(jī)共同產(chǎn)生電磁推力。該長定子直線同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

3.2 仿真結(jié)果

本研究將表1 中的參數(shù)輸入到仿真模型中，定子側(cè)繞組通入三相交流電，動子側(cè)繞組加上直流電，三相電壓和勵磁電壓的幅值取適當(dāng)值，電源電壓的頻率通過動子速度求得，設(shè)定系統(tǒng)的仿真時間為0.04 s，其他仿真參數(shù)取默認(rèn)值，即可得到直線同步電機(jī)在正常情況下的電流和電磁力波形。其仿真結(jié)果如圖(3～7)所示。

表1 長定子直線同步電機(jī)的參數(shù)

圖3 定子a 相繞組自感

圖4 三相定子電流

圖5 d-q 軸電流

圖6 勵磁電流

圖7 電磁推力

由以上仿真結(jié)果得知:三相電流穩(wěn)定后對稱，互差120 °相角，勵磁電流保持在20 A 左右，此時將三相電流作dq 分解，得到id=0，符合模型中設(shè)定的要求。

4 仿真與實驗結(jié)果對比分析

為了驗證解析法的準(zhǔn)確性，本研究通過Ansoft 軟件按照TR08 機(jī)械結(jié)構(gòu)建立2D 有限元模型，將得到的電磁推力結(jié)果與解析法計算結(jié)果進(jìn)行比較。

本研究依據(jù)表1 中直線同步電機(jī)的相關(guān)參數(shù)建立一對極模型[10]，以一對極為求解區(qū)域，定子繞組通入正弦電流，不考慮邊端效應(yīng)，取定子最大電流為1 200 A，勵磁電流為20A，通過改變電樞電流的相位得到功角與電磁推力的關(guān)系曲線，電磁推力的計算采用麥克斯韋張量法。

在直線電機(jī)理論中，功角是指感應(yīng)電壓與外電壓的夾角，又稱功率角，功角對直線電機(jī)的推力和懸浮力有極大的影響。建立的單個電磁鐵模型中，當(dāng)其他條件都不變時，將動子的速度設(shè)置為0，定子側(cè)通入三相對稱電流，在Ansoft 后處理中縱坐標(biāo)選擇電磁推力，橫坐標(biāo)選擇2 ×180 ×f ×time 角度變量(f 為電樞三相電流頻率，time 為時間變量)。得到電磁推力隨功角的變化曲線如圖8 所示。

圖8 推力隨功率角的變化

由圖8 可知，最大推力對應(yīng)的功角為89.8128 °。由于改變定子電流初始相位可以體現(xiàn)出功角對電磁推力的作用，本研究將該功角分別代入到定子側(cè)三相電流的相位中，動子的速度設(shè)置為430 km/h。得到單個電磁鐵模型的最大推力波形如圖9 所示。

圖9 單個電磁鐵推力波形

按照Matlab 計算結(jié)果，id=0 時，其功角為90 °，此時本研究采用Ansoft 麥克斯韋張量法的計算結(jié)果電磁推力為1 194.6 N/m(其中指的是鐵芯的硅鋼片厚度，需要乘以實際的鐵芯寬度才為一對極下的電磁力)，將結(jié)果轉(zhuǎn)換為沿氣隙單位長度的結(jié)果。

每單位長度的電磁力Fx為:

通過與Matlab 數(shù)值計算的結(jié)果Fx=401.2 N/m比較發(fā)現(xiàn)，電磁推力的結(jié)果誤差為6.31%，說明解析法計算的結(jié)果存在一定的誤差。

圖10 解析法的電磁推力與功角關(guān)系

解析法的電磁推力與功角關(guān)系如圖10 所示。

從圖8 和圖10 的計算結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn)，在Ansoft 計算中，當(dāng)功角φ＜90 °時，電磁推力隨著功角的增大而增大，φ＞90 °時，電磁推力隨著功角的增大而減小，而在Matlab 計算中，功角φ的臨界值符合Ansoft的計算結(jié)果，但是功角點對應(yīng)的電磁推力比有限元計算的結(jié)果偏小，這是由于解析算法中的氣隙函數(shù)的偏差造成的，但是可以證明解析法計算結(jié)果和Ansoft 有限元的計算結(jié)果總趨勢是相同的。

5 結(jié)束語

直線同步電機(jī)的運行方式與普通旋轉(zhuǎn)電機(jī)類似，本研究根據(jù)旋轉(zhuǎn)電機(jī)的電壓、磁鏈方程對其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并建立了電流的微分方程。

(1)針對數(shù)學(xué)模型中的部分參數(shù)如漏感、電阻等，可以沿用旋轉(zhuǎn)電機(jī)的計算方法;而針對電感參數(shù)，則采用繞組函數(shù)法進(jìn)行精確的推導(dǎo)計算。

(2)通過Simulink 建立電流微分方程的仿真模型，得到了三相電流、勵磁電流和電磁推力的波形。

(3)最后將解析法得到的結(jié)果和有限元計算的結(jié)果進(jìn)行了對比，證明了本研究方法的可靠性。

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