遲滯非線性系統辨識與補償控制研究*

陽 丹，王湘江

(南華大學機械工程學院，湖南衡陽421001)

0 引 言

磁致伸縮材料、壓電陶瓷等智能材料均存在遲滯非線性現象。非線性特性的存在使智能材料重復性降低，瞬態位置響應速度變慢，可控性變差。為減小這種非線性特性所造成的不良影響，更好地發揮智能材料的性能，很多科研機構和研究人員正在從事遲滯非線性系統建模及控制方法等方面的相關研究，因此，許多遲滯建模方法和控制技術應運而生，并日趨成熟、完善［1］。在遲滯建模方面，Preisach模型是應用最廣的一類遲滯模型［2-4］，1935年 Preisach等人建立了比較完善的遲滯模型—Preisach模型。1997年PingGe為了適應遲滯補償的需要，建立了改進的Preisach模型。并用該模型大幅提高了遲滯系統的跟蹤精度。壓電陶瓷等智能材料的遲滯系統可以通過串聯Preisach模型和系統傳遞函數準確反映其遲滯特性。在非線性遲滯模型辨識方面［5］，可以通過最小二乘法進行離線辨識，最小二乘思想最早于1975年由高斯(K.F.Gauss)提出來，被廣泛應用于系統辨識和參數估計，甚至在許多辨識方法失效的情況下，最小二乘法卻可以提供對問題的有效解決辦法［6］。也可以依據對象的輸入/輸出數據，不斷地辨識模型參數以進行在線辨識，隨著科學研究的不斷進行，通過在線辯識，模型會變得越來越準確，越來越接近于實際，神經網絡［7-8］是20世紀末迅速發展起來的一門高等技術。已經在各個領域得到了廣泛地應用，神經網絡辨識為解決未知不確定非線性系統的辨識問題提供了一條新的思路。神經網絡辨識方法可以精確地模擬出遲滯系統。在辨識模型不斷的改進下，基于辨識模型綜合出來的控制方法也將隨之不斷的改進。

本研究通過辨識的傳遞函數建立其逆模型控制系統，根據對遲滯逆模型是否進行在線調整，可將控制方案分為動態控制和靜態控制方案。本研究屬于靜態控制。靜態補償方案以 Ping Ge，Samir Mittal，Sumiko Majima等為代表［9］。筆者在逆模型控制過程中加入PID控制器［10］，通過調節PID參數，使控制系統逐漸適應誤差變化，最終將遲滯系統調整到一個滿意的工作狀態。本研究針對智能材料遲滯非線性現象，進行遲滯系統建模;然后，對遲滯系統進行系統辨識;最后，對辨識系統進行控制研究。

1 遲滯系統的建立

通過研究得出將Preisach模型和系統傳遞函數串聯得到的遲滯系統能夠達到比較理想的遲滯效果，遲滯系統能夠準確地反應壓電陶瓷等智能材料的遲滯特性。在相關的研究中已經得到論證［11］。遲滯系統結構如圖1所示。

圖1 遲滯系統結構

本研究采用Preisach模型做為純遲滯模型，具有普遍意義。Preisach模型由最簡單的滯回發生器γαβ疊加構造而成。盡管每個發生器僅能表現出一個局部記憶滯回，但疊加在一起就表現為全局記憶性。給定這一族發生器任意的權重函數μ(α，β)(該函數具體數值的選用取決于Preisach函數的構造)。其函數式為:

式中:x(t)—驅動器的輸出，u(t)—輸入。

由式(1)可知，Preisach模型函數為連續的雙重積分函數，所以不便于模擬仿真，于是把積分模型離散處理，將Preisach模型采用 Matlab/Simulink中的43個backlash算子疊加形成。通過設置backlash中deadband width參數達到疊加效果。每個算子的deadband width為1/7，這樣得到的Preisach模型遲滯特性能夠滿足研究需求。輸入信號通過多個遲滯算子疊加在一起得到遲滯輸出信號。本研究采用u(t)=sin(πt)作為輸入信號，得到的遲滯模型如圖2所示。

圖2 控制信號的遲滯模型

然后本研究將得到的Preisach模型和系統傳遞函數串聯起來，二階傳遞函數作為系統傳遞函數在壓電陶瓷等智能材料具有一般代表性，如超磁致伸縮微位移驅動器(GMA)中，根據GMA機電系統動力學模型和牛頓第二定律可知GMA系統傳遞函數為二階傳遞函數［12］，在Matlab中通過模型轉化命令可以實現離散傳遞函數和連續傳遞函數之間的相互轉換［13］。所以本研究采用離散二階傳遞函數作為系統傳遞函數具有一般代表性，選用傳遞函數為G(z)=(-0.2z+0.2)/(z2-1.1z+0.1)，輸入信號通過遲滯系統得到輸出y(t)如圖3所示。

2 遲滯模型的系統辨識

圖3 通過遲滯模型的輸出信號

通過輸入信號u(t)和遲滯系統得到輸出數據y(t)進行模型的參數辨識。根據辨識方法和精度不一樣，系統參數辨識可以分為離線辨識和在線辨識。離線辨識常用的辨識方法為最小二乘法。在線辨識方法比較廣泛，本研究主要采用神經網絡辨識方法。

本研究通過分析最小二乘法和神經網絡辨識原理，然后對遲滯系統進行辨識，再比較離線辨識和在線辨識的辨識結果。

2.1 最小二乘法辨識

離散系統函數表達式為:

本研究采用最小二乘法來確定模型參數，待估參數向量θ為:

式中:φ—數據向量。

對象式(2)可以寫成如下最小二乘形式:

利用最小二乘法得到系統辨識參數θ為:

通過遲滯系統輸入信號u(t)和輸出數據y(t)得到最小二乘法辨識參數為:

式(2)在零初始條件下，取Z變換:

得到的辨識傳遞函數為:

辨識原理圖如圖4所示。實際輸出和最小二乘法辨識輸出以及比較誤差如圖5所示，輸入信號y(t)和辨識系統輸出信號yG(t)之間誤差e(t)是比較小的，從而確認式(7)二階模型的有效性。

圖4 辨識原理示意圖

圖5 實際輸出和最小二乘法辨識輸出以及比較誤差

2.2 神經網絡辨識

由于神經網絡優越的自調整和自適應性，本研究采用神經網絡辨識方法進行遲滯模型參數辨識，神經網絡的辨識方法如圖6所示。

圖6 神經網絡辨識方法示意圖

神經網絡辨識原理為:

令θ為神經網絡權值w:

神經網絡訓練規則為:

其中:

式中:ci—加權因子，0 ＜ci＜1，ci=μi，0 ＜ μ ＜1。

圖7 神經網絡辨識模型參數

本研究使用離線辨識二階模型估計參數作為神經網絡在線辨識加權系數的初始值。這將減少在線辨識的計算時間。根據式(11)和式(12)，得到遲滯系統的神經網絡辨識模型。二階模型辨識參數結果如圖7所示。神經網絡辨識模型輸出和遲滯模型實際輸出以及相關的誤差如圖8所示。因為誤差很小，辨識輸出和實際輸出幾乎重疊。

圖8 實際輸出和神經網絡輸出以及比較誤差

根據圖8得到遲滯系統輸出和神經網絡辨識輸出誤差已經非常小，可以得出Matlab/Simulink搭建的神經網絡辨識模型能夠準確地辨識出遲滯系統的模型參數，從而說明神經網絡辨識方法的有效性。

通過觀察比較離線和在線辨識，離線最小二乘法每次的辨識結果只能得到一組參數，這樣的辨識程序運行速度快，但是得到的參數誤差相對比較大。神經網絡辨識采用在線辨識，對參數進行實時調整，程序運行速度比離散有所減慢，但使得辨識參數和傳遞函數系數之間誤差最小化，能找到最優辨識參數。

3 控制系統的設計和執行

通過系統辨識得到辨識傳遞函數模型，本研究針對辨識傳遞函數模型提供了兩種控制方法:一種是逆模型控制系統，這是一種完全的開環控制系統，不需要任何反饋數據的控制器;另一種是前饋逆模型PID控制系統，這是一種閉環反饋系統，能夠實時調整參數達到最佳控制效果。

3.1 建立逆模型控制系統

逆模型控制系統原理如圖9所示。

圖9 逆模型控制器示意圖

如果傳遞函數不穩定，那么式(7)不能直接用作建立逆模型控制系統，需要構建逆模型G-1(z)，逆模型有點滯后于遲滯系統，通過之前設計好的函數模型G1(z)和最優函數模型G2(z)來設計逆模型。即:

其中，之前設計好的函數模型為:

最后，得到輸出y(k)為:

逆模型穩定的前提是辨識得到傳遞函數必須穩定，根據離散傳遞函數穩定條件，傳遞函數必須是最小相位系統，其零點必須在z平面的單位圓里。如果傳遞函數是穩定的，那么直接用傳遞函數倒數可以得到系統的逆模型。即:

最優函數模型為:

其中:Δ≥1。

最優函數模型是不穩定的，因為它的極點不在z平面單位圓里面，所以G2(z)可以擴展為:

由于辨識傳遞函數是穩定的，直接通過式(17)可以得到逆模型。通過逆模型控制得到補償效果如圖10所示。

圖10 輸入信號和逆模型控制輸出以及比較誤差

3.2 建立前饋逆模型PID控制

為了提高系統的魯棒性，更好操作參數變化。本研究設計一種前饋逆模型PID控制方法。其原理如圖11所示。

圖11 前饋逆模型PID控制器示意圖

前饋逆模型PID控制數學模型為:

其中:

前饋逆模型PID控制器的控制結果如圖12所示，通過圖12得出:輸入信號與前饋逆模型PID控制的輸出信號已經很接近，兩者之間誤差已經很小。為了更好說明前饋逆模型PID控制器的有效性，測試前饋PID控制器的控制能力，可以在不同頻率下進行控制。本研究還采用u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)作為輸入信號，得到控制結果如圖13所示。圖12、圖13結果說明控制器可以有效跟蹤動態輸入信號，實現對遲滯系統有效補償控制。

圖12 輸入信號為u(t)=sin(πt)控制結果

圖13 輸入信號為u(t)=2sin(2πt)+10sin(0.5πt)控制結果

通過相同輸入信號u(t)=sin(πt)作用，逆模型控制方法和前饋逆模型PID控制方法的補償結果如圖10、圖12所示。為了更直觀地比較兩種控制方法的控制效果，本研究采用均方根誤差來比較。其計算公式為:

得到的比較結果如表1所示。最后可以得到前饋逆模型PID控制方法能更有效進行遲滯補償。

表1 兩種控制方法的RMS誤差

4 結束語

本研究運用Preisach模型和系統傳遞函數建立了遲滯系統，通過辨識結果說明離線和在線辨識方法都能有效辨識遲滯系統，從辨識誤差分析結果可以看出，神經網絡在線辨識方法能非常精確地辨識遲滯系統。由遲滯系統補償結果來看，遲滯非線性已基本得到消除。該結果說明所提出的前饋逆模型PID控制是可行的，但此時要注意PID參數的選取，避免出現飽和、振蕩等情況的發生。

本研究采用的辨識方法和控制技術能夠有效地降低智能材料中遲滯現象的影響。其辨識和控制方法具有普遍意義，可以推廣到其他系統中的遲滯非線性補償控制中。

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