構造函數法和導數思想的結合應用

李新成

摘要：利用構造函數模型的思想，討論微分思想在中學數學解題中的作用，從而增加學生的解題方法，提高學生學習數學的趣味性，推動學生的解題能力。

關鍵詞：函數模型法；微分思想；數學模型

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）33-0077-02

構造函數模型是一種富有創造性的方法，它很好地體現了數學中發散、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的題目，而且有些是壓軸題中經常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而導數方法與構造函數模型思想一旦結合起來，問題的設計便更加廣闊，解決問題的方法就更為簡便。本文期望利用構造函數模型的思想，以導數為工具探討中學數學解題的方法技巧，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

一、導數工具有助于學生把握函數性質

在高中階段，學生主要通過學習函數的定義域、值域等性質，來理解函數.函數的這些性質都可通過圖像表示，因而，通過函數的圖像，函數的性態也容易掌握了。但是，對于非初等函數，不易作出圖像，學生就可以利用函數的導數判定單調區間、極值點、最值點，再結合描點法，就能大概作出函數的圖像.在直觀上提高學生對函數性質的掌握。

二、微分方法與函數模型法相結合的作用

通過數學模型建立函數關系，然后用導數作為工具，可以解決數學上用初等數學方法不能解決的許多問題，充分發揮微分思想在中學數學解題中的作用，從而提高解決問題的能力.以導數作為工具，結合函數模型法思想，在不等式的證明、數列的求和問題，以及實際問題等方面有非常重要的作用。

1.利用結合思想可以證明不等式。在新課程的高考中，與不等式的證明等相關的問題，包含的信息量較大.利用微分思想來證明，可以先構造一個輔助函數，使函數和不等式建立聯系.然后對函數求導，得到單調性，使所解決問題轉化為比較函數值大小的問題。

例1.證明：若x>0，則有ln（1+x）>x-■x2.

證明：構造函數f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定義域為（-1，+∞），可以計算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是單調遞增。所以當x>0時，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。

2.利用結合思想可以求實常量的取值范圍。求實常量的取值范圍是數學中的一個重要內容，求實常量取值范圍的很多問題依靠常規的方法很難處理，利用結合思想，處理起來非常方便，下面通過例子來具體說明。

例2.若對？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出實數m的取值范圍。

分析：將含參數的不等式問題轉化為函數問題，利用導數求得函數最小值，方可確定出參數的范圍。

解：構造輔助函數f（x）=x4-4x3，再設f'（x）=0，可求得x=0或x=3.

當x<0時，f'（x）<0；當03時，f'（x）>0.所以x=3時，f（x）取得極小值為-27，從而f（x）有最小值為-27，則f（x）|min=-27>2-m，故有m>29.

注：構造多項式函數是解決本題的關鍵。

3.利用結合思想可以解決數列問題。通過數學模型建立函數關系，然后用導數作為工具，可以解決學生難以掌握的、有時技巧性很高或者計算十分煩瑣的數列的和的問題。

例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.

解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，則該式兩邊都是關于x的函數，兩邊都對x求導得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n·2n-1

4.利用結合思想可以研究方程根的情況。通過數學模型建立函數關系，然后用微分思想可以很容易確定方程根的問題，具體方法為：觀察函數的圖形變化，得出函數的圖像與x軸的交點個數，最后得出所求范圍內方程解的個數。

例5.若a>3，則方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少個根？

解：設f（x）=x3-ax2+1，求導可得：當a>0，x∈（0，2）時，f（x）在（0，2）上單調遞減，且f（0）·f（2）<0，故f（x）在[0，2]上有且只有一個根。

5.利用結合思想近似計算。由導數的定義知，當Δx充分小時，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）·Δx.

例6.不查表，求sin46°的值。

解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得結論。

6.利用結合思想是學好理科其他課程的前提。微分學發展初始，就與物理、化學、生物、天文、工程以及地質學等學科密不可分。只要涉及到變化問題，就可以利用導數討論該過程的變化情況。所以，無論物理還是化學問題都可以通過微積分的思想來解決了。

7.利用結合思想解決立體幾何中的問題。

例7.設A，B是球面上的兩點，弧AmB是過A、B兩點的大圓的劣弧，弧AnB是過A、B兩點的任意小圓的弧。設小圓的半徑為r，圓心為o'；大圓的半徑為R，圓心為o，大圓面與小圓面交于A、B。求證：弧AmB<弧AnB。分析：這道題把導數和立體幾何的知識結合在了一起，再根據球面距離的定義，最終得證。

證明：記∠AOB=α，∠AO'B=β，則有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.

因為R>r，由題意sin■

現在只要證明Rα

故只需證明■<■=■.

為此構造函數f（x）=■，x∈（0，π）.

因為f'（x）<0，即f（x）在（0，π）上是減函數，結論得證。

8.建立微分模型是解決實際問題的關鍵。“學以致用”，只有懂得數學如何去應用，才是提高學生對數學感興趣的關鍵。萬事萬物都在變化，大多數實際問題都可通過建立微分模型來解決。具體為：翻譯實際問題，建立微分模型，通過求導運算，得到問題的解決。新課程實行以來，逐漸加大了對實際問題的考查力度，比如優化問題、路線問題等，通過建立微分模型來解決非常方便。

例8.用PVC材料制作一個立方體容器，其長為12m，要求容器的底面長、寬差1m，當高為多少時，容積最大？并求出Vmax.

解：設容器長為xm，則寬為（x+1）m，高為（2-2x）m.

設容器的容積為Vm3，則有V=-2x3+2x2，（00；當x∈（■，1）時，V'<0.

因此，當x=■時，Vmax=■，這時高為■，故高為■m時容器的容積最大，最大容積為■m3.

參考文獻：

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