基于元胞自動機帶有隔離干預的傳染病模型

剛家泰，戴欽武，李淑娟，譚欣欣*

（大連大學 信息工程學院，遼寧 大連 116622）

0 引言

傳染病的爆發和流行一直都是困擾人們的重大問題。近年來發生的SARS、禽流感、甲型H1N1流感、艾滋病（HIV/AIDS）等，以及剛剛發生的H7N9型禽流感，給國民經濟和人民生活帶來了巨大的傷害。因此，對傳染病預防和控制措施的研究已迫在眉睫。

元胞自動機模型具有時間上、空間上和狀態上都離散的特性[1]，以局部規則同步演化來反映整個系統的復雜變化，這與傳染病的傳播機制十分相似，已經成為研究傳染病學的一個重要方法。

文獻[2,3]指出，傳染病傳播期間，縮短病人從發病到醫院就醫的時間，是疫情防疫中最先考慮的關鍵措施；文獻[4]建立了元胞自動機模型,從醫療干預角度，研究了隔離治療對傳染病傳播的影響；文獻[5,6]利用元胞自動機模型對 SARS的傳播進行了仿真模擬，提出較高的隔離水平對抑制傳染病傳播是十分有效的；文獻[7]擴展了元胞自動機模型，建立了Agent動態網絡的疾病傳播模型，結合個體異質性研究了隔離力度對傳染病傳播的影響；文獻[8]根據實際情況提出了一個與時間有關的帶有隔離機制的病毒傳播模型。

影響傳染病傳播的基本因素有個體的異質性，移動性以及發現疫情后政府采取的隔離措施，但同時考慮這三個因素對傳染病傳播的影響還少有研究。本文建立含有個體異質性、移動性和帶有隔離干預措施的傳染病數學模型，結合甲型H1N1流感染病人數的統計數據，對傳染病的傳播進行模擬仿真，進一步分析染病停留時間和隔離力度對傳染病傳播的影響，揭示傳染病傳播的防治機理。

1 SIQR傳染病模型

根據傳染病傳播的特點，采用傳染病動力學的建模思想，將研究人群劃分為五類：易感者(S)，染病者(I)，隔離者(Q)，康復者(R)和死亡者(D)。其中S 是不具有免疫力的健康人群；I是已染病但未被隔離的人群，對外具有傳染性；Q是染病后被隔離的人群，對外無傳染性；R是經治療痊愈的康復人群且具有免疫力；D為死亡人群，已退出傳染病傳播過程。整個傳染病傳播的流程圖如圖1所示。其中p為易感者被感染的概率，q為染病者被隔離的概率，μ為隔離者的恢復率，λ1，λ2為在染病期和隔離期人群的因病死亡率：

圖1中，易感者本身沒有傳染能力，在自由環境下可以隨機移動；染病者具有較強傳染能力，當其移動到易感者鄰域內或者易感者向它移動時，易感者將會以不同的概率被感染成為染病者；染病者會以一定的概率被隔離，隔離者失去了與外界接觸交流的機會，不再具有傳染能力；染病者無論是否被隔離，最終結果是治愈成為康復者或者因病死亡；康復者具有較長時期的免疫力，短期內不會再次被感染。

1.1 隔離干預

隔離干預是指對傳染病傳播過程中被感染的患者進行隔離治療，使其避免與周圍鄰居接觸交流，防止交叉感染和傳染病的擴散。F.B.[9]提出：如果沒有藥物或者疫苗防治，對傳染病傳播的最重要和最有效的防控措施就是隔離干預；在防治傳染病爆發或者流行期間，增加隔離的力度是最具成本效益的戰略。Franks G. Ball[10]建立了關于傳染病傳播的SEIR隨機模型，結果表明：有效的隔離干預對傳染病傳播的遏制效果顯著性比單純地對群體進行疫苗接種效果高。因此，研究對傳染病傳播的有效隔離干預，可以為控制傳染病傳播提供有力的理論支持。

假設傳染病的傳染方式是人與人的近距離接觸和交流，一旦對染病者進行隔離干預，就可以達到控制疾病傳播的目的。本文選取染病停留時間T和隔離力度q這兩個參數，綜合考察隔離干預這一機制對傳染病傳播的影響。

染病停留時間T，表示易感者通過與外界帶菌個體接觸后，從被感染上疾病到被隔離治療這段時間間隔。T值越小，說明染病者被隔離的越早。

隔離力度q，表示染病者被隔離的概率，反映采取隔離措施的強度。q值越大，說明易感者和帶菌個體相互間交流機會就越少，被傳染的概率也就越小。

1.2 異質性

現實生活中，個體之間是有很大的差異性的[5,11]，易感者對疾病具有不同的抵抗能力Ri.j，染病者具有不同的傳染能力fi,j，并且不同傳染性的染病者具有不同的傳染范圍，即個體間存在異質性。為在模型中體現個體的異質性這一特點，引入有效接觸傳染概率

傳染性疾病的傳播與接觸者之間的距離有關，接觸者之間的距離越遠，彼此被傳染的概率越低，為進一步說明接觸傳染概率，本文引入距離影響因子[4]

Ci,j為中心元胞，為其摩爾鄰域內的任一鄰居，是中心元胞Ci,j摩爾鄰域內所有鄰居集合。

綜合這些因素，定義中心元胞Ci,j的有效接觸傳染概率Pi,j為：

Pi,j值越大說明越容易被傳染得病。

1.3 移動性

正是個體具有移動性，使得傳染病得以傳播。移動的比例足夠大或者移動距離較遠，會導致當地的傳染病由無病狀態轉為地方性的流行狀態，或者單一性的流行，嚴重時會導致當地政體的消失[12]。

個體的移動性反映了實際中個體的活躍程度，個體活躍程度越高，傳染病的傳播速度越快，越容易造成大規模的疫情爆發。

2 帶有隔離干預的元胞自動機原理

元胞自動機是一個時間、空間和狀態都離散的，通過局部元胞的相互作用而引起全局變化的動力系統模型[1,5]。可以用以下形式表達：

其中，CA 是指一個元胞自動機系統，Ld 表示d維的元胞空間，本文取d=2，L×L表示元胞空間網格的規模；S 表示所有元胞狀態的有限離散集合；N 表示以某一元胞為中心的所有鄰居狀態的集合；f表示元胞狀態局部轉換函數。在每一離散的時間步，其轉換規則為f:St+1=f(St,Nt)，即某一元胞下一時刻的狀態由它當前時刻的狀態和周圍鄰居的狀態共同決定。

2.1 擴展的Moore鄰域

本文將傳統的 Moore鄰域形式做一擴展，不僅考慮鄰域內人群局部范圍的交流，如家人，舍友、鄰居等，同時還考慮個體隨機與 Moore鄰域外區域的人群交流，如工作需要的出差，遠方朋友拜訪等原因可能偶爾會接觸到的鄰居，這樣更符合實際個體運動的特征。擴展的Moore鄰域如圖2所示。

在此基礎上，借鑒隨機行走元胞自動機的思想來描述個體的移動性，在每一時刻，都有一定比例(Percentage)的個體，以一定步長(Step)在網格空間中隨機移動，即對網格中所有的元胞進行隨機掃描，對掃面到的元胞，標記其坐標為(i , j)，同時生成兩個獨立的隨機數di和dj(∣di∣≤Step,∣dj∣≤Step)，然后將(i , j)處的元胞與( i+di, j+ dj)處的元胞進行交換[13,14]，視為該元胞完成一次移動。

2.2 元胞狀態演化規則

本文建立二維的L×L網格空間，將t時刻網格空間的元胞狀態數值化，分別以{0,1,2,3,4}代表元胞Ci,j在t時刻{S,I,Q,R,D}五種狀態。

設定所有元胞的初始狀態=0，即所有的元胞都視為易感者，隨機在該網格空間中取比例為0.0018的元胞作為初始染病者人數，設定其狀態=1，稱為網格空間中的傳染病源。自t=0時刻開始，在每一個離散的時間步對網格空間的所有元胞進行掃描，并按以下規則進行元胞狀態更新。

當=1時，元胞Ci,j為染病者，設T1為染病周期，當t＜T1時，患者仍然處于染病期，在傳染病傳播過程中將以概率q被隔離，此時=2；當t＞T1時，染病者將被強制隔離，為=2。設病死率為λ1，染病期間部分染病者因病死亡，狀態變為死亡者，即=4；

當=2時，元胞C為隔離者，代表隔離者， i, j設T2為隔離周期，在該周期內，被隔離的染病者經過治療，以一定的概率μ痊愈成為康復者，即更新狀態為=3，康復者在免疫周期T3內保持很高的免疫力。隔離治療期間會有部分染病者死亡，設病死率為λ2，狀態轉為死亡者，即=4。

當=3時，元胞C為康復者，代表康復者，i, j在免疫周期T3內具有較高免疫力，不會再次被感染；

在每一個仿真步，對所有的元胞都先進行一次隨機掃描，對掃描到的元胞給予記錄，然后按照所定義的最大步長和移動比例進行隨機行走或者移動。

基于以上的演化規則，網格空間中所有元胞在每一仿真步將同步更新，局部元胞之間的相互作用結果，就是下一仿真步整個群體的狀態。

3 模型的仿真與結果分析

3.1 模型的仿真

根據SIQR模型的傳染病傳播流程，將以上元胞狀態演化規則應用于擴展的摩爾鄰域，對傳染病傳播過程進行仿真模擬。設定網格空間由L×L=100×100的單元格構成；初始感染概率為0.0018；每一步演化過程都會有Percentage=0.1比例的元胞，以最大的移動步長Step=10進行移動。本文選取2009年6月16日至7月15日期間發生于中國境內的甲型H1N1流感數據進行仿真模擬，根據中華人民共和國衛生部數據[15]統計，假設易感者感染流感病毒后病發時間為7天，病死率為4%。由于甲型H1N1流感沒有相關的復發情況報道，認為康復者的免疫周期為365天。圖3顯示 40天內的模擬仿真數據, 結果與實際數據較為吻合。

圖3 甲型H1N1實際數據和模擬仿真數據對比

由圖3可以看出，甲型流感在傳播初期，沒有受到任何的干預影響，流感病毒傳播速度較快，染病累計人數很快達到高峰，隨后開始緩慢下降。染病人數下降的原因，一是染病人數死亡，退出了傳播周期，導致被感染的人數減少；二是流感病毒傳播后期受到控制，染病個體被隔離進行治療痊愈后成為康復者，使得群體中被感染的人數減少。

為進一步說明流感病毒傳播期間，隔離干預對傳染病傳播的影響，在設定的參數條件下，對上述仿真模型中的染病停留時間T和隔離力度q分別進行變量調控，具體地分析隔離干預對傳染病傳播的影響。

3.2 結果分析

3.2.1 染病停留時間T對傳染病傳播的影響

保持初始參數數值不變，通過改變仿真過程中的染病停留時間T的數值，研究染病停留時間的長短對傳染病傳播過程的影響。圖4表示分別取不同的染病停留時間T=5天、T=9天時累計染病人數和實際情況的累計染病人數對比。

從圖4可以看出，在病人被感染后，提前兩天將其隔離，即染病停留時間為T=5天時，累計染病人數增加速度將會大大地減緩，染病人數達到峰值遠低于實際數據下的峰值；而如果推后兩天隔離，染病停留時間為T=9天時，累計染病人數增加速度則會迅速加大，短時間就可以達到較高的數值，不僅高于實際情況，而且處于高峰期的時間也較長。

病人所處的染病停留時間越長，病人在自由環境下活動的時間越久，接觸的易感者就越多，最終病人累計的人數就越多。所以，當傳染病疫情爆發初期，及時減少病人處于自由環境下的滯留時間，縮短病人自被感染到隔離治療的染病停留時間，能夠對傳染病疫情起到明顯的抑制作用。因此，減少病人的染病停留時間是控制傳染病傳播的一個關鍵因素。

圖4 不同的染病停留時間對甲型流感H1N1傳播的影響

3.2.2 隔離力度q對傳染病傳播的影響

隔離干預的實施，不僅與染病停留時間有關，同時也和對染病者采取的隔離力度有關。對上述模型進行修正，保持染病停留時間不變，改變隔離力度大小，分析隔離力度對傳染病傳播的影響，分別取q=0.15、q=0.35和q=0.55，圖5顯示了不同隔離力度對傳染病傳播的影響。

圖5 不同隔離力度對甲型流感H1N1傳播的影響

從圖5可以看出，在傳染病傳播過程中，隔離力度越大，累計染病人數越少，控制傳染病疫情的效果越顯著。當q=0.15時，部分染病者由于被隔離治療，減少了他們與外界的接觸交流機會，被感染的人數減少，累計染病人數增加趨勢較為緩慢；當q=0.35時，進一步增大對染病者的隔離力度，累計染病人數相對實際情況有了大幅度的下降；當q=0.55時，傳播初期，累計染病人數增加的趨勢較緩慢，短時間達到峰值后逐漸減少，疫情得以控制。因此，隔離力度對傳染病傳播具有重要影響，隔離力度越大，傳染病傳播越容易得到控制，當隔離力度足夠大時候，傳染病來不及傳播就得以控制。

4 總結

本文建立了基于元胞自動機的SIQR模型，并以甲型H1N1流感為例進行了模擬仿真。該模型說明了人們對已知或未知的傳染病傳播采取積極嚴格的隔離干預是十分必要和有效的。仿真結果表明：傳染病傳播初期，由于人們及相關部門對其不了解或者防范意識不深，未及時采取相應的防控措施，短時期內造成疾病的迅速擴散，發展為大范圍內的疫情爆發；及早采取隔離措施，加大對染病者的隔離力度，減少患者的染病停留時間，可避免染病者在自由環境下滯留時間過長而產生更廣范圍的傳染。染病停留時間越短，隔離力度越大，被感染的病人就越少，傳染病傳播持續的時間越短，對傳染病傳播疫情的控制效果越顯著。

同時，本文不僅考慮家人，舍友、鄰居等近距離人群之間交流的局部范圍，還考慮工作需要的出差、遠方朋友拜訪等原因可能偶爾會接觸到的個體間交流，使個體的移動性更貼近實際。因此, 在元胞自動機原有的鄰域的基礎上，提出了擴展的Moore鄰域,并對傳染病的傳播過程進行模擬仿真。

隨著研究的深入，將進一步改進完善模型，并結合中華人民共和國衛生部網提供的真實數據，考慮接種疫苗、初始感染率和傳染病病毒變異頻數等因素，從微觀角度分析探究傳染病的傳播機理，預測傳染病疫情的發展趨勢，為政府部門制定傳染病的防控措施提供最有力的理論支持。

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