基于Gauss-Newton法的空間管形擬合算法的研究

楊 鐸

（大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x在管類產(chǎn)品的加工驗(yàn)證中高頻使用，測(cè)量方法一般為：將待測(cè)管固定安放后，通過測(cè)量?jī)x對(duì)各直線段圓柱面及兩端面進(jìn)行采點(diǎn)，由內(nèi)置軟件對(duì)圓柱中心線擬合求解、異面直線的中垂線中點(diǎn)求解及平面、直線交點(diǎn)求解，得出測(cè)量管形坐標(biāo)。最后操作者在CAD繪圖軟件中將測(cè)量坐標(biāo)與設(shè)計(jì)坐標(biāo)對(duì)比后進(jìn)行誤差判斷。

在以上操作過程當(dāng)中，測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系很難保持一致，對(duì)比判斷時(shí)需要通過旋轉(zhuǎn)和平移操作使兩者達(dá)到最佳吻合狀態(tài)。由于吻合程度依靠人眼進(jìn)行的判斷，導(dǎo)致最后的比較精度大大降低，使三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的高精度得不到真正的發(fā)揮。

下面通過以下兩種思路進(jìn)行求解：

（1）建立空間管形自由狀態(tài)方程，求解管形的最佳逼近。該問題屬于六元非線性問題，目前尚無成熟的方法求出其精確的解析解。這里采用Gauss-Newton法進(jìn)行數(shù)值求解。

（2）以兩端點(diǎn)最佳逼近為先期約束，然后求取其余各點(diǎn)的最佳逼近。如此，問題分解為兩個(gè)方面：兩端點(diǎn)的最佳逼近為線性問題，可以求出解析解；約束條件下其余各點(diǎn)的最佳逼近為一元非線性問題，仍然以Gauss-Newton法進(jìn)行數(shù)值求解。

1 空間管形自由狀態(tài)方程

管形的空間放置形態(tài)可以由一系列的三維坐標(biāo)點(diǎn)矩陣表示。設(shè)油管空間點(diǎn)的數(shù)量為n，初始測(cè)量管形矩陣為

設(shè)繞x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)角度為α, β ,γ，旋轉(zhuǎn)變換四元數(shù)矩陣為Rx,Ry,Rz，平移向量為(tx,ty,tz)，平移變換四元數(shù)矩陣為M。其中，

整個(gè)三維變換四元數(shù)矩陣可以表示為

經(jīng)過三維變換后測(cè)量管形的四元數(shù)矩陣為

那么，測(cè)量管形的空間自由狀態(tài)方程為

2 無約束管形最佳逼近目標(biāo)函數(shù)及其求解

設(shè)管形的設(shè)計(jì)三維坐標(biāo)矩陣為

以測(cè)量管形與設(shè)計(jì)管形的各點(diǎn)距離最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)為δ=min||G′?D||2。記=(xgi,ygi,zgi)，i= 1,...n，則G′?D可表示為

顯然，這是一個(gè)6元非線性最小二乘問題，其精確的解析解很難求出，下面使用Gauss-Newton法求出它的數(shù)值解。

如用向量、矩陣形式表示，則上式可寫為

這里，

將式（2）代入式（1）中，可以得到

的線性化后的表達(dá)式。顯然，如設(shè)該線性最小二乘問題min | |，那么

解出。

3 兩端點(diǎn)最佳逼近求解及約束管形方程

設(shè)經(jīng)過上述變換后的矩陣為后的矩陣可由四元數(shù)法求出，由于其推導(dǎo)比較復(fù)雜，這里直接寫出結(jié)果：

上式就是兩端約束條件下的管形方程。

4 兩端約束管形最佳逼近目標(biāo)函數(shù)及其求解

這是一個(gè)1元非線性最小二乘問題，同樣可以采用Gauss-Newton法求出它的數(shù)值解。

將F′(θ)的各個(gè)分量在θk處展開成Taylor表達(dá)式

將式(6)代入式(5)中將其線性化

其解法同上，不再累述。

5 算例

已知管形的設(shè)計(jì)坐標(biāo)D及測(cè)量原始坐標(biāo)G分別為：

求擬合后的管形坐標(biāo)。

（1）無約束管形最佳逼近算法：迭代跳出條件為連續(xù)兩次循環(huán)的優(yōu)化目標(biāo)值之差小于10?8，擬合后坐標(biāo)G1′為：

（2）兩端約束管形最佳逼近算法：迭代跳出條件為連續(xù)兩次循環(huán)的優(yōu)化目標(biāo)值之差小于10?6，擬合后坐標(biāo)G′2為：

6 總結(jié)

本文在建立空間管形自由狀態(tài)方程和兩端約束管形方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立兩種模型下的測(cè)量坐標(biāo)管形與設(shè)計(jì)管形之間的最佳逼近目標(biāo)方程，并以Gauss-Newton法進(jìn)行數(shù)值求解。

（1）這兩種方法都適用于三次元測(cè)量?jī)x輸出結(jié)果和設(shè)計(jì)管形的擬合求解，減少人為操作誤差，從而達(dá)到提高精度的目的。

（2）雖然無約束狀態(tài)方程逼近效果更佳明顯，但介于實(shí)際使用中兩端安裝的考慮，兩端約束方程更貼近實(shí)際應(yīng)用。而且，由于前一種方法為6元非線性求解；后者為一個(gè)線性求解和一個(gè)1元非線性的綜合，軟件程序運(yùn)行中，后者求解速度要快得多。

（3）對(duì)于兩端約束方程求解，由于參數(shù)區(qū)間比較明確，也可以采用二分法或黃金分割法進(jìn)行求解，但較之Gauss-Newton法收斂速度慢。