基于有限元方法的運動磁體電磁場的計算

韓長軍

（遼東學院 信息技術學院，遼寧 丹東118003）

有限元方法(FEM, Finite Element Method)于本世紀60年代被提出，廣泛應用于磁場仿真計算。由于經典電磁場理論過于復雜，人們通過研究提出許多新的方法，其中最常用的是有限元方法，該方法是把求解域看作有許多小的在節點處連接的子域構成，其模型給出基本方程的近似解。有限元軟件是基于有限元計算方法，運用計算機軟件的形式把有限元方法表現出來，這樣既減少了計算時間，也節省了人力。對電磁場進行分析的有限元軟件很多，比較有影響力的有：美國Swanson Analysis System的ANSYS有限元產品；美國MacNeal Schwendlert Corp.MSC/EMS軟件；加拿大Integrated Engineering Software Inc.的系列產品以及美國 Ansoft corp.的 Maxwell軟件等，其中以ANSYS的使用者最多。ANSYS的分析領域很廣泛，主要包括力學分析、熱與溫度場分析、耦合場分析、電磁場分析等[1]。

在麥克斯韋方程組提出以后，電磁場理論已經相當完美，人們根據這一方程組把電磁場理論的應用可謂發揮到及至。麥克斯韋方程組完整而充分地反映電磁場的客觀運動規律，使其成為求解電磁場問題的基本依據[2]。當導體垂直切割勻強磁場的磁感線時，其兩端會產生電動勢；當磁體穿過閉合線圈時，線圈中會產生電流，并且電流所產生的磁場將阻礙磁鐵的運動；旋轉磁極式發電機發電，也是根據切割原理在線圈中產生電動勢；還有現在的流體發電，也是利用流體在流過磁場過程中會切割磁感線產生電動勢[3-5]。所有這些都是由于導體與磁體發生了相對運動，從而在導體中激發出電動勢。那么假如在這些情況下撤去導體，即磁體相對周圍空間發生相對運動，則在它的周圍電磁場又是如何？從理論上來說，運動的磁鐵必然引起周圍磁場的變化，這樣也就會激發出電場[6-7]，但這種電磁場如何分布、是否會像通常的時變場一樣形成電磁波動，即是否以電磁波的形式向遠處傳播，這正是本文所研究的課題。

本文在麥克斯韋方程組的基礎上，推導出應用于運動磁體電磁場的理論模型，并利用有限元ANSYS軟件，對磁體電磁場進行仿真計算，并對結果進行了詳盡的分析。

1 理論

1.1 麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組是麥克斯韋對安培環路定律、法拉第電磁感應定律、磁通量連續定律和高斯通量定理的總結、修正和推廣，這一定律使得電磁理論得到了完善，并成為時變電磁場理論的基礎[8]。

麥克斯韋方程組微分形式為[9]：

由式(1)可以看出時變電場是有散有旋的，因此電力線可以是閉合的，也可以是不閉合的，閉合的電力線和磁力線相互鉸鏈，不閉合的電力線從正電荷出發，終止于負電荷；而時變磁場是散有旋的，因此磁力線必須是閉合的，閉合的磁力線與電流相鉸鏈。

由式(2)可以看出，在這種情況下，時變電場和時變磁場都是有旋無散的，電力線和磁力線是相互鉸鏈、自行閉合的，即變化的電場會激發出變化的磁場，變化的磁場也會激發出變化的電場，因此在時變場中，這種不斷的相互激發，使得它們互相轉化，并在自由空間中將這種轉化向遠處傳播，形成電磁波動。

1.2 運動磁體理論模型推導

假使磁鐵為圓柱形，使運動磁鐵周圍的電磁場用靜止的磁鐵周圍的電磁場表示，設一坐標系為 K坐標系，并設另一坐標系 K'系，它相對磁鐵靜止，即該系以速度v向+Z方向運動，為分析方便，以下使用柱形坐標進行計算。

將式(3)和式(4)代入麥克斯韋方程組式(2)，可以得到：

同樣將式(9)和式(10)代入麥克斯韋方程組中，得出類似于K系中在K’系中的式子，即

把 k系中的時間和空間變量用 k’系中的時間和空間變量表示。根據洛倫茲變換：

對式(15)分別對 r，?，z，t求偏導數，將原 K系中各式與 K’系中的對應方程各個對應項相等，經整理歸納，最終可以得到：

將式(16)中的v用-v代替，可以得到相應的反向變換關系式。

由于磁鐵相對K’系靜止，所以磁鐵在K’系中的電磁場分布即為靜態磁鐵的電磁場分布，靜態磁鐵周圍磁場分布是固定的，并不發生變化，所以其周圍并不會產生電場，因此運動磁鐵在 K’系中電場為零，即：E'= 0，E'= 0，E '= 0。在k’系中，在r'?'z'方向上的值為零，即B?''= 0。將這些條件代入式(16)，可以得到運動的磁鐵的周圍的電磁場的分布，即

由推導我們還可知磁鐵周圍的電磁場分布，并不是以相互激發的形式存在，某一點的磁場僅僅隨相對磁鐵的位置的變化而發生變化，在該點激發出電場，這種變化并不是其周圍電磁場變化的原因，因為其周圍電磁場的變化也是僅僅隨它們各自相對磁鐵的位置的變化而發生變化，所以勻速運動的磁鐵不會產生電磁波向外輻射。

2 仿真實驗與結果分析

2.1 實驗模型建立

由于磁鐵具有嚴格的對稱性，所以可以用二維進行仿真，并且只在第一象限即可。設空氣的相對磁導率為1，磁體的相對磁導率為非線性，為10000設；設置空氣和磁鐵的單元類型，然后創建模型形狀，如圖1(a)所示；進行網格劃分，如圖1(b)所示。然后進行界面限制和加載，最后對磁場進行計算和后處理[12]。

圖1 磁體模型

2.2 實驗結果與分析

任取兩橫向節點間的磁通密度，曲線圖如圖4(a)所示，圖4(b)為兩節點之間的連線間各節點在x方向上的磁通密度變化曲線，圖4(c)為兩節點之間的連線間各節點在y方向上的磁通密度變化曲線。

從圖4中可以看出，所取的路徑兩點的為橫向路徑，且磁通密度為越來越偏離磁體，則無論x方向還是y方向的磁通密度值都越來越小，最后接近于零。對于x方向來說，開始值會有小的增加，但隨后則呈現遞減趨勢，且正負方向有所改變。這是由磁力線的疏密程度所決定的。

建立另一條豎直路線，如圖5所示。從圖5中可以看出，x方向的磁通密度呈現遞減趨勢，而對于y方向的磁通密度來說，首先逐漸增長，增長到一定程度呈現遞減趨勢，且遞減的程度沒有橫向路徑大，這是因為，所取的豎直路徑的兩點，隨之y方向坐標值的增加，越來越靠近磁感應線密集區域，所以y方向磁通密度越來越大，當路徑超過磁力線范圍時，沒有磁力線，或者相當少，則y方向的磁通值減少，接近于零。

根據式(18)磁感應強度和電場強度的關系式，在圖3(a)和圖4(a)兩條線上的電場強度的大小變化曲線分別與圖3(b)和圖4(b)變化趨勢一樣。

圖2 磁力線分布

圖3 各節點和單元的磁通密度分布

圖4 任意橫向兩點磁通密度圖

圖5 任意豎直兩點磁通密度圖

3 結論

通過對運動磁體周圍磁場的推導計算，可以得到其理論模型，這有助于引導人們更好的熟知運動磁體磁場分布，便于更深入的研究。而本文借助于有限元方法對磁體周圍磁場進行仿真，這樣不僅可以驗證所推導理論模型的正確性，可以用一種新型的有限元方法對磁體周圍磁場進行計算，對于今后還可以繼續進行更細致的推導驗證和更復雜的計算[13-14]。

通過推導和仿真，可以對知識更深入延伸，若在磁鐵的正上方或正下方放一線圈，就會產生順時針或逆時針方向環形電流。因為正是磁鐵激發了一定形式的電場，在這種電場的驅動下，線圈中的自由電子就會沿順時針或逆時針方向運動，所以會產生環形電流。勻速運動的磁鐵雖然可以激發電場，但并不會產生電磁波向外輻射。因為電磁波的產生，是由于變化的電場周圍激發變化的磁場，這種激發的磁場又會在其周圍激發變化的電場，正是這種相互激發方式使能量向遠處傳播，因為這種能量是以電磁場的形式傳播的。

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