應(yīng)用基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式簡(jiǎn)化流體運(yùn)動(dòng)微分方程式的推導(dǎo)

劉福祥

（大連大學(xué) 建筑工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

理想不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)微分方程式的矢量形式為[1]

其中，v 為流場(chǎng)的速度矢量，v = viei=v1e1+v2e2+v3e3；ei為正交曲線坐標(biāo)系的基矢量(i=1,2,3)；F 為作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力，F(xiàn) = F1e1+ F2e2+F3e3；ρ為流體密度；p為流場(chǎng)的壓力函數(shù)。

1 應(yīng)用基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)理想不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)微分方程式在柱坐標(biāo)系下的表達(dá)形式

1.1 柱坐標(biāo)系的基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式

根據(jù)參考文獻(xiàn)[2]可得正交曲線坐標(biāo)系基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式為：

對(duì)于柱坐標(biāo)系(r, θ ,z)，

H1= 1 , H2= r , H3=1；根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]上冊(cè)中給出的基本公式可計(jì)算出柱坐標(biāo)系下各基矢量對(duì)坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)分別為

將(3)式分別代入(2)進(jìn)行計(jì)算，可得出柱坐標(biāo)系各基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式為

1.2 柱坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)微分方程式的推導(dǎo)

矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式(1)的左端可寫為

在柱坐標(biāo)系下，上式為

將柱坐標(biāo)系各基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式(4)分別代入上式并整理得：

將上式代入(1)的左端，則該方程式可寫為

2 應(yīng)用基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)理想不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)微分方程式在球坐標(biāo)系下的表達(dá)形式

2.1 球坐標(biāo)系的基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式

對(duì) 于 球 坐 標(biāo) 系(r,θ, λ) 有H1= 1 ,H2=r,H3=rs inθ；根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]上冊(cè)中給出的基本公式可計(jì)算出球坐標(biāo)系的各基矢量對(duì)坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)分別為

將(5)式分別代入(2)進(jìn)行計(jì)算，可得出球坐標(biāo)系各基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式分別為

2.2 球坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)微分方程式的推導(dǎo)

矢量形式運(yùn)動(dòng)微分方程式(1)的左端在球坐標(biāo)系下可寫為

將（6）式代入并整理得

將上式代入(1)的左端，則該方程式可寫為

并將該方程的兩端分別向球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)方向投影得

3 結(jié)論

從以上推導(dǎo)過(guò)程可見，如果將柱坐標(biāo)系下及球坐標(biāo)系下基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式(4)和(6)作為基本公式使用，則可使上述坐標(biāo)系下流體運(yùn)動(dòng)微分方程式的推導(dǎo)過(guò)程得以大大簡(jiǎn)化。

[1]吳望一. 流體力學(xué): 第一版[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社,1982.

[2]Liu Fuxiang. Extension of Material Derivative Concept in Fluid Mechanics [C]. 2012年土木、結(jié)構(gòu)與環(huán)境工程國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議暨第三屆巖土多場(chǎng)耦合理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)論壇文集,2012

[3]劉福祥. 基矢量和坐標(biāo)變量的隨體導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用[J].大連大學(xué)學(xué)報(bào), 2005: 2: 8-10.