彈性地基復合曲梁抗彎力學性能研究

郝扣安, 王振清, 周利民, 王欣

(1.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.香港理工大學 機械工程系，香港；3. 上海宇航系統工程研究所，上海 201109)

復合材料憑借其優越的使用性能、結構和功能的可設計性，成為航空航天、汽車、船舶等眾多產業的首選材料之一。實際工程結構中，對曲面結構復合材料的需求是不可避免的，如倒角、對T型連接的加固等等。截至目前，針對彎曲結構梁的研究還大多集中于實驗[1]和數值分析[2]。其中，Pagano[3-4]利用線彈性理論研究了多層復合材料層合板，并給出了在承受柱形彎曲狀態下的精確解。然而，他考慮的是平板復合材料層合板承受橫向載荷的情況。Lekhnitskii[5]給出了各向異性彎曲梁在力矩載荷下的通解。該方法同樣也為ASTMD6415[6]采納用于計算彎曲梁四點彎曲實驗中層間拉伸應力。Shenoi[7]和李永勝[8]建立了基于彈性體彎曲梁彎曲行為的模型，得到了各向異性梁的彈性解。高階剪切變形理論[9-10]可對跨厚比大于4的板殼結構，精確的計算面內變形和應力，但無法計算復合材料板殼的層間應力。

本文通過給定適當的邊界條件和位移應力協調方程，利用彈性地基作用下的曲梁應力解，確定了平面內正應力中性軸的位置，推導出由2種不同材料組成的層合曲梁應力解。計算了不同幾何外形、不同材料比例和材料參數對于曲梁層間正應力和平面內正應力大小、鋪層順序的影響。

1 曲梁的彈性基礎模型

1.1 基本方程

李永勝等[8]考慮了彈性地基作用下的曲梁抗彎性能，如圖1所示，單位寬度的曲梁被放置于模量為E的彈性地基上。其中，曲梁的內徑為Ri，外徑為Ro。假設彈性地基的反作用力垂直于曲梁表面，且與曲梁每點處的撓度v成正比。

(a) 幾何外形

(b) 單元受力情況

(1)

曲梁的平衡方程有[7]：

(2)

為求解上式微分方程，需要建立力矩Mx與曲率變化κx的關系。對于復合材料層合板，二者的關系可由經典層合板理論[11]得出：

(3)

式中，

式中：Aij為拉伸剛度，Bij為拉彎耦合剛度，Dij為彎曲剛度，ε0為層合板幾何中心處的應變，κ為曲梁的曲率變化。對于彎曲結構來說，力矩Mx與曲率變化κx的表達式需要考慮拉彎耦合、彎扭耦合。

僅考慮x方向的曲率變化，由式(3)可得：

(4)

(5)

純彎曲載荷下，應力分量與θ角度無關，且有τrθ=0。

對于各向異性材料，有協調方程[13]：

(6)

求得應力分量：

(7)

式中：λ=Eθ/Er,為材料的周向與徑向彈性模量之比；C2、C3和C4為常數，可通過給定邊界條件求得。

1.2 邊界條件

由圖1(b)，有邊界條件：

(8)

將式(7)中的各應力分量代入邊界條件，式(8)中第3式可自動滿足，可求得C2、C3和C4，故可求得應力分量表達式[7]：

(9)

2 基于彈性地基的復合曲梁模型

2.1 基本假設

在對復合曲梁分析之前，給出幾點假設：

1)復合曲梁是由線彈性或各向異性材料組成，其材料主軸方向與整體坐標系方向一致；

3)不考慮自由邊界效應 (Free-edge effects)；

4)彎曲梁中心線處的半徑與彎曲梁厚度之比RG/t皆足夠大以保證應變得以線性分布。

2.2 中性軸位置的確定

本文討論矩形截面的復合曲梁，該復合曲梁(見圖2)，由兩種材料組成。圖2同時還給出了復合材料橫截面的幾何參數，靠近外徑部分為第一種材料，用I表示；靠近內徑處的第2種材料，用II表示。復合曲梁的厚度為t，其中I層材料的厚度為tI，II層材料的厚度為tII。

圖2 復合曲梁橫截面尺寸

(10)

式中：r′為受到外力載荷后該點處的半徑，δ為中心軸與中性軸之間的距離。

由正向力N與彎曲力矩M所產生的正應力施加于中心軸z軸處，可得平衡方程如下：

(11)

復合曲梁由兩部分組成，I層曲梁和II層曲梁。結合式(10)，對式(11)進行變量替換，得：

(12)

由此可得：

(13)

聯立式(13)中兩個方程，求得

(14)

2.3 復合曲梁應力求解

對于平面各向異性材料平面應變問題而言，Hooke's定律表達為[14]：

(15)

考慮極坐標中的幾何方程：

(16)

(17)

(18)

(19)

同時，考慮邊界處徑向、周向位移連續，有邊界條件如下：

(20)

因此，結合邊界條件式(18)～(20)，可求得復合曲梁厚度方向的層間正應力與平面內正應力。

3 討論與分析

3.1 內外徑之比對曲梁應力的影響

針對單一材料的彎曲梁結構，根據式(9)考察內外徑之比(Ri/Ro)對于層間正應力與平面內正應力的分布的影響。如果內徑Ri=6.4 mm，M=1 000 N·m，圖3分別給出了Ri/Ro= 0.2、0.4、0.6、0.8曲梁應力分布情況，圖中對橫坐標進行無量綱處理，為(r-Ri)/(Ro-Ri)。

(a) 層間正應力分布

(b) 平面內正應力分布

觀察圖3(a)發現，4條曲線的層間正應力最大值都位于偏離幾何中心軸靠近內徑處，而內外徑之比不僅影響彎曲梁層間最大正應力值的大小，對于層間最大正應力值的相對位置也有影響。隨著Ri/Ro的升高，層間最大正應力值降低，同時其位置逐漸向幾何中心軸靠近。由圖3(b)可知，隨著Ri/Ro的升高，平面內最大正應力值也升高，而平面內正應力中性軸相對位置幾乎不變。周向徑向彈性模量之比λ對于應力分布無明顯影響[7]。

3.2 材料參數對中性軸位置的影響

圖4 不同周向模量比的中性軸位置隨χ的變化情況

3.3 材料參數、體積比對復合曲梁應力的影響

針對材料II，考慮其體積含量對曲梁應力的影響，其中VII為材料II在曲梁結構中的體積百分比。

圖5給出了VII為50%、60%、70%下對應的應力分布。作為比較，圖中還給出了材料II曲梁(VII=100%)的應力分布,若Ri=6.4 mm，Ri=9.4 mm，M=1 000 N·m，其中I層II層材料參數由表1給出。

表1 復合曲梁材料參數

圖5給出了II層材料體積百分比分別為50%、60%和70%的應力分布曲線。其中VII=100%時，最大層間正應力約為7.72 MPa，與文獻[15]中7.60 MPa結果相近。

觀察圖5(a)，復合曲梁層間正應力分為2個明顯區域，分界點橫坐標與材料對應的體積百分比一致。從VII=100%到VII=50%，層間正應力最大值都位于II層內，且隨著VII的增加而減小，且層間正應力最大值的位置越來越靠近復合曲梁內徑。I層內的層間正應力最大值位于材料交界處，并沿著外徑方向逐步減至零，隨著VII的增大，I層內層間正應力最大值增大。

(a) 層間正應力分布

(b) 平面內正應力分布

觀察圖5(b)，2種材料不同周向彈性模量，復合曲梁平面內正應力存在明顯的分界點，分界點與曲線對應的體積百分比一致。隨著VII的減小，II層內的平面內正應力絕對值增大，而I層內的平面內正應力絕對值減小，其中性軸(平面內正應力為零)也向內徑靠近。

本文將材料I、II位置互換，令材料II位于外徑處，材料I位于內徑處。圖6中2種鋪層順序分別用實心點與空心點表示，給出了鋪層順序對應力分布的影響。

(a) 層間正應力分布

(b) 平面內正應力分布

觀察圖6(a)，2種鋪層順序的層間正應力的最大值都位于材料II區域內，當材料II靠近內徑時，層間正應力最大值大于材料II靠近外徑時。對于材料I來說，其區域內的層間正應力最大值也大于材料I位于外徑處情況。觀察圖6(b)，其平面內正應力分布也呈現同樣的趨勢。

4 結束語

本文討論了彈性地基作用下曲梁內外徑之比(Ri/Ro)與其層間拉應力和平面內拉應力分布的關系。隨著Ri/Ro的增大，層間拉應力最大值減小，最大拉應力位置逐步向幾何中心軸靠近，平面內拉應力值也隨之增大，而平面內拉應力的中性軸相對位置幾乎不變。

在此基礎上，分析了兩層不同材料組成的曲梁，確定了平面內拉應力中性軸位置，給出了復合曲梁的層間拉應力和平面內拉應力解答，計算了不同幾何外形、材料不同的體積分數和材料參數對于曲梁層間正應力和平面內正應力大小、鋪層順序的影響。

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