具有輸入與狀態時變時滯線性系統的魯棒H∞控制

侯曉麗 ,邵誠,李永鳳

(1.鄭州輕工業學院 數學與信息科學系,河南 鄭州 450002；2.大連理工大學 電信學院,遼寧 大連 116085)

時滯現象存在于許多實際系統，如生物系統、經濟系統、化工系統、物理系統，電力系統等，時滯的存在有時會導致系統不穩定，或使得系統的性能下降。近年來，對具有輸入時滯和狀態時滯的線性系統的魯棒控制及H∞控制已有大量的研究成果[1-10]，其中很多文獻要求系統是能控的且時滯依賴的結果大都要求時滯的導數小于1,但在很多實際系統中,可能無法預知時滯參數導數的情況, 如遙操作系統和網絡控制系統中的時滯參數變化很快, 有時時滯參數的導數甚至可能不存在, 這時已有方法就不適用了。有的結果對時滯導數沒有限制，如鄭敏等[11]對一類狀態及輸入具有區間變時滯的線性系統，基于時滯劃分形式的泛函，討論系統的鎮定問題；王新梅等[12]利用一個積分等式，給出了一類區間時變輸入時滯與狀態時滯線性系統的時滯相關穩定性判據等，但結果有一定的保守性。

對沒有不確定性和外擾的系統，結合自由權矩陣技巧，不經過任何不等式放縮，利用Lyapunov穩定性定理，得到了系統漸近穩定的時滯依賴充分性條件，且對時滯的導數沒有任何限制，解決了穩定性問題中保守性產生的根源。然后把該方法用于不確定系統，研究其魯棒控制與H∞控制。

1 系統描述及主要結果

考慮具有如下形式的不確定時滯系統：

(1)

假設參數不確定性為范數有界的，即存在適當維數的常值矩陣E、G1、G2、G3、G4，使得

式中：F(t)∈Ri×j為未知的時變函數矩陣，其元素為可測的且滿足FT(t)F(t)≤I?t。

引理[10]假定存在適當維數的相容矩陣M、N和正定對稱矩陣R、Q，對任意滿足FTF≤R的F有Q+MFN+NTFTMT<0成立等價于存在標量λ>0使得Q+λMMT+λ-1NTRN<0成立。

目的是設計狀態反饋控制器u(t)=Kx(t)，使得從外部擾動輸入ω(t)到被調輸出z(t)的傳遞函數Tωz小于給定的正數γ。

先考慮沒有不確定性的系統：

(2)

定理1 對系統(2)，在狀態反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1、2、3、4)，適當維數的相容矩陣Ni(i=1、2、3、4)和Mi(i=1、2、3)，使得下述不等式成立，則其是漸近穩定的:

(9)

其中，

證明：把狀態反饋u(t)=Kx(t)代入系統(2)可得

取泛函:

則對V沿系統(2)對t求導，得

ri)Qix(t-ri)=2xTP(A0+B1K)x(t)+

2xTPA1x(t-τ1(t))+2xTPB2Kx(t-τ2(t))+

令

由Lyapunov穩定性定理知，系統是漸近穩定的。證畢。

整個證明過程可以看到沒有任何不等式放縮，所以結果沒有任何保守性。對時滯的導數沒有任何限制，適合快變與慢變系統,且結果是時滯依賴的，與時變時滯的上下界有關。

對添加等式中的項數可根據需要而定。比如若系統中沒有時滯項，則添加等式的方括號中可只選第一項和最后一項，其他項可以不要。

對含有不確定性的系統

(3)

同理可得下面的定理。

定理2 對系統(3)，在狀態反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當維數的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數εi、ai、bi、ci、di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立，則系統(3)是漸近穩定的:

其中,

證明：與定理1的證明類似，添加等式:

令

由引理1，結論即可得證。

下面考慮不確定時滯系統的H∞控制：

定理3 對系統(1)，在狀態反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當維數的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數εi,ai,bi,ci,di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立:

T=

則系統(1)漸近穩定，且從外部擾動輸入ω(t)到被調輸出z(t)的傳遞函數Tωz小于給定的正數γ。其中,

2 數值算例

例1 考慮如下系統:

其中，

可見定理1的方法所得結果更好。

例2 考慮線性不確定時滯系統:

其中,

表1 性能指標與控制增益與其他文獻對比結果

3 結束語

利用自由權矩陣技巧，研究了具有時變輸入時滯與狀態時滯的不確定系統的魯棒H∞控制，所得結果是時滯依賴的，與時變時滯的上下界有關。從定理1的證明可以看出，沒有任何不等式的放縮，所以定理1的結果沒有任何保守性,且所設計的Lyapunov泛函簡單，對時滯的導數也沒有限制。

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