圓筒型永磁直線電機齒槽力解析

黃克峰，李槐樹，周羽

(1.解放軍理工大學 國防工程學院電力與智能化教研中心，江蘇 南京 210007；2.海軍工程大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430033)

新型結構電機性能是相關學者關注的重點，圓筒型永磁直線電機(tubular including interior PM linear motor，TIPMLM )的主要性能是推力和推力脈動,在進行該類電機設計時往往希望得到推力大、推力脈動小的性能。因此找到一種快速有效地齒槽力解析計算方法用于電機優化設計顯得尤為重要。

已有文獻[1-2]證明，采用有限元法計算TPMLM齒槽力是個有效的方法，但其工作量大，計算時間長，不適合電機優化設計過程使用。因此在電機優化設計時需要采用解析法對齒槽力進行計算。采用解析法計算TPMLM齒槽力國內外學者也做了一定的研究。在國外，Jiabin Wang等基于麥克斯韋磁場方程推導出了氣隙磁場強度公式[3-6]；Nicola Bianchi等利用等效磁阻法得出了TPMLM的氣隙磁場強度和推力解析計算公式[7-8]，但公式過于復雜、且精確度不夠。在國內，陳衛寶等從能量法出發推導出計算推力和齒槽力的公式[9]，但是該文采用的方法適用范圍較窄只適合表貼式徑向充磁TPMLM；趙鏡紅從反電動勢與推力關系出發計算了TPMLM推力[10]，但齒槽力計算沒有闡述。國內外學者的研究有些應用范圍偏窄，有些分析的不夠全面。因此研究一種準確、有效、快速解析分析軸向充磁TPMLM齒槽力的方法非常具有理論和實際價值。

本文介紹了一種在合理的假設條件下快速有效計算TPMLM齒槽力的方法。利用許-克變換推導出開槽TPMLM氣隙磁場強度，根據得到的氣隙磁場強度公式得出電機能量，結合電機能量和齒槽力的關系推導出齒槽力解析公式。

1 TPMLM基本氣隙磁場計算

基本氣隙磁場定義[13]如下：在圓筒型永磁直線電機磁場分布中最小氣隙δmin處的磁感應強度密度定義為1 T時的氣隙磁場分布，即

式中：Fδmin為最小氣隙處的磁勢，Bδmin為最小氣隙處的磁場強度，μ0為氣隙磁導率。

1.1 無槽TPMLM氣隙磁場強度

由于TPMLM結構(圖1)復雜，進行解析計算分析時先做如下假設：1)忽略導磁材料的磁壓降影響；2)永磁體漏磁部分以漏磁系數修正；3)計算區域內永磁體磁導率近似為氣隙磁導率。

圖1 無槽TPMLM模型示意圖

在文獻[11]中已經對TPMLM的無槽基本氣隙強度進行了計算?？傻肁B段及BC段的基本氣隙磁場強度分別為：

(1)

(2)

1.2 開槽后相對氣隙磁場強度

電機開槽后氣隙磁場較為復雜，利用許-克變換[12]可以很好地對這類問題進行計算(圖2)。把齒部氣隙磁場強度值看作單位1(μ0Fm/δ=1)，利用許-克變換計算開槽后槽部相對齒部的相對氣隙磁場強度。首先假設：1)定、轉子只有一面開槽，另一面光滑；2)鐵心的磁導率為無窮大，其表面為等磁位面；3)槽深和槽節距都是無窮大。因此矩形槽在z平面和w平面的情況如圖2。

(a) z平面

(b) w平面

圖2中z2、z3、z4、z54個頂點，由于圖形的對稱，取u2=-a,u3=-1,u4=1,u5=a分別與之對應，故可得

兩個平面的對應關系得

在電機氣隙磁場計算中:

在u軸上時，w=u，z=x則：

(3)

1.3 開槽后TPMLM的基本氣隙磁場強度

表1 開槽后的基本氣隙磁場強度

2 齒槽力研究

2.1 齒槽力解析研究

2.1.1 齒槽力定性研究

齒槽力的大小只與動子永磁體與定子齒的位置有關，與定子繞組中所通的電流大小無關。定子開槽后氣隙分布不均勻，使得電機運行時，各部分儲能發生變化。假設電機運動的一個周期就是一個齒距的距離，每塊永磁體產生的齒槽力可以用Fourier級數進行描述，對于第i塊永磁體，可以寫出齒槽力的Fourier級數：

(4)

式中：τs是齒距；xc是TPMLM電機所在的位置；Fk,i是k次諧波的幅值，k的大小取于所選取的初始相角；φk,i為第i塊永磁體k次諧波的相角:

(5)

式中：qP是每極下的槽數。

式(5)可根據qP是否為整數得出2種情況： 1)qP是整數，每塊永磁體產生的齒槽力的相角φk,i是相同的，這樣整個電機產生的齒槽力將是單個永磁體產生的齒槽力的2P倍；2)qP是分數，不同的永磁體產生的齒槽力的相角不相同，這樣就可以使得整個電機的齒槽力大為減小。由式(4)、(5)得

(6)

式(6)能夠成立的一個很重要的條件就是：TPMLM中每塊永磁體相互影響很小，可以忽略永磁體之間邊端的相互作用。由式(6)得出利用極槽配合如何削弱齒槽力方法和Fcog的周期為：

式中:2P為電機的極對數，Q為電機的槽數，GND(2P，Q)為2P、Q的最大公約數。

2.1.2 齒槽力定量研究

為了方便分析，假設：1)動、定子鐵心磁導率無窮大，μFe=∞；2)永磁體除極性不同外其他性能均相同；3)永磁體磁導率與氣隙相同；4)鐵心疊壓系數為1。

規定x為某一指定齒的中心線和某一指定永磁體中心線之間的距離，即動、定子之間的相對位置，x=0的位置設定在該永磁體的中心線上，如圖3。

圖3 開槽TPMLM模型

齒槽力的產生原因主要是TPMLM開槽后引起電機中各部分儲能變化。電機空載運行時，產生的力就是齒槽力[13]：

(7)

可得TPMLM的齒槽力產生的本質原因是：由于定子側鐵心開槽使得氣隙不均勻導致外部磁阻不一致，動子側的每一塊永磁體輸出的磁能隨著外部磁阻的變化而變化，這樣也使得整個電機所受的齒槽力隨著動子的位置變化而變化，周期數為Np。把計算齒槽力的問題轉化為求解任意時刻每塊永磁體工作點的問題。從永磁體的退磁曲線中可得

兩邊同乘以Am得：

(8)

式中：Am=π(d12-d02)，d0為動子內徑，d1為動子外徑。

(9)

(10)

式中：Bmax,i為第i塊永磁體在氣隙最小處的氣隙磁密，Fm,i為第i塊永磁體在氣隙最小處的磁動勢。從而可得

(11)

由式(8)、(11)可得：

(12)

將Fm,i和Bm,i代入式(7)可得出齒槽力:

根據樣機參數計算出動子和定子任意相對位置的齒槽力如圖4?？梢钥闯鳊X槽力的周期數正好是氣隙磁場強度的10倍，驗證了文中提出的理論。

圖4 齒槽力解析計算

2.2 齒槽力有限元仿真

為驗證上述TPMLM解析方法的有效性，采用有限元軟件Ansys進行仿真。由于TPMLM結構的軸對稱性，只需建立二維軸對稱模型，提高了計算精度，減少了仿真時間。樣機為10極9槽的TPMLM，其基本參數如表2。

表2 圓筒型永磁直線電機主要結構參數

運用表2中所確定的參數，建立了電機有限元模型，進行了仿真。在定子槽的中心線與永磁體的中心線重合時，對TPMLM磁場強度進行了計算，解析公式法和有限法對比結果如圖5。推力解析公式法和有限法對比結果如圖6，圖6中可得推力解析法的最大值相差是±20 N和圖4中的齒槽力的峰值相同，也說明了解析公式的準確性。

圖5 氣隙磁場解析法和有限元計算結果對比

圖6 有槽軸向充磁TPMLM推力解析與有限元計算對比

3 實驗分析

樣機、控制電路和測試電路組成的實驗平臺如圖7。推力測試采用Honeywell公司生產的M31M推力負載傳感器，拉壓力額定范圍2 222 N,輸出mV/V信號經信號調理器SGA/A轉換成±10V電壓信號。對樣機空載齒槽力進行測試，以驗證解析計算和有限元分析計算結果的有效性。齒槽力測試工作臺結構如圖8。在圖8中，齒槽力Fcog等于測力傳感器的值F。改變軸位置并固定，測得不同位置的齒槽力。推力測量的關鍵部件推力傳感器和調理器如圖9。

為了驗證解析計算的齒槽力和實際樣機的情況，對樣機進行了測試。通過測力傳感器測量，采用靜態位移法測量樣機的齒槽力大小，通過逐點測量并記錄推力數據，測量結果如圖10所示。

圖7 實驗平臺

圖8 齒槽力測力原理示意圖

圖9 推力傳感器和調理器

圖10 齒槽力測試,FEM和解析計算對比曲線

實驗結果表明齒槽力波形近似正弦曲線,其幅值為25 N與圖4中的解析計算幅值基本吻合,波動周期為電機齒距20 mm,設計的直線電機樣機額定推力為1 160 N,定位力的波動約為2.155%。所測得的曲線與有限元分析計算結果基本吻合。但由于實驗時推力傳感器的范圍較大，測量小推力時還存在一定誤差。

4 結束語

從文中解析法中可以知道電機各部分參數影響齒槽力的規律，為下一步如何削弱齒槽力的方法提供了有力的理論依據。齒槽力對TPMLM的性能影響很大,如何采用有效的方法削弱齒槽力使電機達到既有一個較大平穩的推力又推力脈動小,是下一步研究工作的重點。

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