淺談一元二次不等式的解法

孫麗香

摘 要：一元二次不等式是初中一元一次不等式及一元一次不等式組的延續和深化，并且與后面的函數、數列等內容密切相關。它是中等數學的一個重要內容，通過歸納一元二次不等式的解法，可以學生提高解一元二次不等式的能力。

關鍵詞：一元二次不等式；中等數學；解法

只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式為：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）。當a<0時，我們可以運用不等式的性質（不等式左右兩邊同時乘以-1，不等號的方向改變），把二次項系數轉化為正數。下面我們以a>0的情況來舉例說明一元二次不等式的幾種解法。

一、因式分解法

當一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數根x1，x2時，運用因式分解法可將ax2+bx+c因式分解為a（x-x1）（x-x2）再根據積的符號法則（兩個數相乘，同號得正，異號得負），將原不等式轉化為兩個一元一次不等式。它們的解集的并集就是一元二次不等式的解集。

例1 解不等式：x2+5x+4>0.

解：因為△=b2-4ac=52-4×1×4=

9>0 ，則x2+5x+4=（x+4）（x+1）

所以原不等式可化為

（x+4）（x+1）>0

=

x+4>0 或 x+4<0

x+1>0 x+1<0

不等式組A的解集為（-1，+∞）

不等式組B的解集為（-∞，-4）

所以原不等式的解集為（-1，+∞） ∪（-∞，-4）。

二、配方法

配方法是利用完全平方公式把ax2+bx+c轉化為a（x+h）2+k的形式。因為a（x+h）2≥0，所以，當k<0時，一元二次不等式可以用因式分解法解；當k=0時，ax2+bx+c>0的解集是{x│x≠-h}，a（x+h）2≥0的解集R，ax2+bx+c<0的解集是φ，a（x+h）2≤0的解集是{x│x=-h}；當k>0時，ax2+bx+c>0及ax2+bx+c≥0的解集是R，ax2+bx+c<0及ax2+bx+c≤0的解集是φ。

例2解不等式：x2+6x+9>0。

因為x2+6x+9=（x+3）2 ，所以原不等式可轉化為（x+3）2 >0.只要x+3≠0，即 x≠-3，（x+3）2 >0. 所以原不等式的解集為{x│x≠-3}。

三、圖像法

圖像法是利用一元二次不等式對應的二次函數y=ax2+bx+c（a>0）的圖像，結合直角坐標系中點的坐標特征求出不等式解集的方法。

通常，利用二次函數y=ax2+bx+c的圖像解相應的一元二次不等式，可以分為三步：第一步：確定相應的一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4ac，從而確定二次函數圖像與x軸的位置關系；如果有交點，則利用方程 ax2+bx+c=0解出其交點的橫坐標；第二步：畫出相應二次函數y=ax2+bx+c的簡圖；第三步：觀察簡圖，寫出不等式的解集。

例3 解不等式：x2+3x+4<0。

解：由判別式△=b2-4ac=-7<0可知，函數y=x2+3x+4的圖像與x軸無交點，其簡圖如圖所示。

觀察圖像，可得不等式x2+3x+4<0的解集為φ。

四、根軸法

根軸法是利用方程ax2+bx+c=0的根和x軸解一元二次不等式的方法。

當一元二次不等式的二次項系數大于0，相應的一元二次方程判別式大于0時，可以先將二次三項式因式分解，求出相應一元二次方程的解。如果不等式符號小于0，則它的解集為兩解之間；如果不等式符號大于0，則它的解集為兩解之外；如果不等式符號含等于的，則它的解集包括兩解。

例4 解不等式：x2+5x>0。

解：x2+5x>0

=

x（x+5）>0，因為方程x（x+5）=0 的兩個解為x1=-5，x2=0，所以不等式x2+5x>0的解集為（-∞，-5） ∪（0，+∞）。

參考文獻：

[1]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點技巧[J].數學教學通訊，2004（03）.

[2]賀小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北師范學院學報，2005（02）.

（作者單位：深圳市第二職業技術學校）