基于改進的自適應噪聲消除和故障特征階比譜的齒輪噪源干擾下變轉速滾動軸承故障診斷

王天楊，李建勇，程衛東

（北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044）

齒輪噪源是干擾滾動軸承故障診斷的常見因素。在時域上，幅值較大的齒輪振動會掩蓋軸承故障帶來的沖擊特征；在頻域上，則會影響對軸承故障引起的共振頻帶的獲取。因此，對作為噪聲的齒輪振動予以去除成為對滾動軸承進行故障診斷的前提［1］。針對這個問題，時域同步平均技術（TSA）、線性預測技術、適應性噪聲消除技術（ANC）、自適應噪聲消除技術（SANC）及其頻域快速算法（DNS）均曾被用來去除齒輪噪源的干擾［2－3］。其中，除ANC外，其余算法均利用齒輪噪源的周期性對其進行去除。但是，當齒輪以變轉速的模式運行，其周期性也會隨之消失。而以上利用齒輪的周期性特征對其去除的算法也將失效。針對這一問題，可以將這些算法與階比跟蹤技術［4］相結合來彌補變轉速帶來的麻煩。具體可以利用轉速計獲取齒輪的轉速信息，以等角間隔對時域非平穩信號進行重采樣，在把齒輪部分轉化為平穩信號的同時，恢復其周期性。這樣因變轉速工作模式而失效的齒輪噪源消除算法也將恢復作用。另外，適應性噪聲消除技術因為采用額外的傳感器拾取參考信號也能夠用于變轉速模式下的齒輪噪源去除。然而，這兩種算法均對輔助設備有所依賴。其中，ANC算法利用在特定位置加裝振動傳感器拾取參考信號；利用階比跟蹤技術的改進算法則需要轉速計獲取鍵相信號對齒輪的轉速進行估計。對于前者，參考傳感器的位置對整個算法的效果影響很大：要求參考傳感器盡量拾取只包含齒輪振動而不包含軸承振動的信號。這就要求傳感器的位置盡量靠近軸承而遠離齒輪。這樣的位置在實際工程中是很難獲取的（比如，齒輪箱中運行軸承的故障診斷）；而對于后者，也常常由于安裝空間與成本的制約，使得轉速計的安裝在實際工程中受到限制（同樣限制參考傳感器的應用）。

綜上，本文試圖在不使用輔助設備的前提下消除變轉速下的齒輪噪源干擾，并完成滾動軸承的故障診斷。針對這個問題，可以利用基于時頻分析的階比跟蹤技術［5］對齒輪的瞬時轉頻進行估計。理論上，當齒輪以勻速運轉時，其對應頻譜的嚙合頻率及其倍頻上將出現明顯的峰值，而其中幅值最大將是某個階數未知的倍頻。因此，該峰值與齒輪的轉頻之間存在固定但未知的比例關系。當轉速隨時間變化時，該最大值也將成比例變化進而形成一條與轉速同步的趨勢。為與齒輪轉頻相區分，本文將其命名為峰值嚙合倍頻（IDMH）趨勢線。然而，該趨勢線卻不能代替文獻［6］中的齒輪轉頻對原信號進行重采樣并且在角域針對齒輪噪源進行去除。因為，在沒有轉速計的幫助下，需要依據去除齒輪噪源后的剩余信號進一步對軸承轉頻進行估計。而“角域重采樣－齒輪噪源去除－反采樣”的齒輪干擾去除算法必然會對本就微弱的軸承信號產生削弱，繼而影響對軸承轉頻的獲取。另外，由于峰值嚙合頻率與齒輪轉頻的比例未知，也不能根據IDMH趨勢線直接獲取滾動軸承的轉頻。

為此，本文提出基于改進的自適應噪聲消除技術和故障特征階比譜的算法實現不依賴輔助設備的變轉速下齒輪噪源去除和滾動軸承的故障診斷。首先，基于IDMH趨勢線構造參考信號自適應地削弱齒輪噪源對軸承共振區提取的干擾；其次，利用譜峭度算法從自適應濾波結果中提取最能反映滾動軸承故障的頻帶并獲取其包絡信號；然后，利用峰值提取算法從包絡濾波信號的時頻分析結果中對瞬時故障特征頻率（IFCF）趨勢線進行提??；最后，利用IFCF趨勢線對基于譜峭度的濾波結果進行故障階比域重采樣，并利用重采樣信號的故障特征階比譜判斷滾動軸承的運行狀態。

1 算法部分

1.1 改進的適應性噪聲消除算法

ANC算法可用于分離混合信號中兩個不相關的成分，而其成功的前提是參考信號中須盡量僅與其中一個信號成分相關。其算法原理如圖1所示。

圖1 適應性噪聲消除算法原理圖Fig．1 The schematic diagram of ANC

具體的，原始信號包含故障軸承振動信號與齒輪嚙合振動信號兩個不相關的分量。在理想的情況下，參考信號應盡量只與原信號中齒輪成分相關。整個算法通過自適應調整濾波器的權值使得原信號d（n）與濾波器的輸出信號y（n）的誤差e（n）的均方值最小。在參數調整的過程中，使自適應濾波器的性能無限接近最優。自適應濾波器的輸出即為對周期性齒輪噪源的估計；它與原始信號之差則為軸承部分。ANC的具體算法和參數選擇策略可參見［7］。

但是，最優參考傳感器位置的難以確定將制約著該方法的應用。而上文提出了IDMH趨勢線正是齒輪噪源對軸承故障共振頻帶的獲取產生干擾的主因。因此，利用該趨勢線構造的參考信號應滿足僅包含齒輪噪源的要求?；谝陨戏治?，本文提出基于IDMH趨勢線構造參考信號以改進ANC算法用于對齒輪噪源干擾的削弱。其具體算法如下：

首先，利用短時傅里葉變換（式（1））獲取原混合信號的時頻分析結果，并利用峰值搜索算法提取ti時刻對應的瞬時頻譜STFT（ti，Ω）的最大值：瞬時峰值嚙合倍頻IDMHti。該最大值隨時間的變化曲線即為ID-MH趨勢線。

其中，g（τ）為窗函數。

其次，利用IDMH趨勢線構造變頻三角函數作為參考信號。其瞬時頻率由IDMH趨勢線的三次多項式擬合結果確定；其幅值則由以下算法確定：① 以IDMH趨勢線對原始信號進行重采樣（具體算法見1．4）。②由于齒輪嚙合振動的原因，可以在重采樣信號的頻譜中找到突出的嚙合倍頻峰值（DMH）。該峰值的幅值即可作為參考信號的幅值ADMH。因此，參考信號可以表達為：

其中，a3，a2，a1為對應三階多項式的系數。

最后，以式（3）為參考信號；以振動信號為原始信號，利用適應性噪聲消除技術對齒輪噪源進行一定程度上的削弱。事實上，IDMH趨勢線并不是齒輪噪源帶來的所有干擾。所以，以它為基礎構造的參考信號并不能起到完全去除齒輪噪源的作用。但是，也正因為其只是齒輪噪源的一部分，以它為參考信號的ANC算法不會影響到本就在幅值上處于弱勢的軸承部分。這將有利于后續對軸承轉頻的提取。

1.2 基于kurtogram與STFT的濾波算法

由于改進的ANC算法削弱了齒輪噪源對故障軸承共振頻帶獲取的干擾。本節利用譜峭度算法確定由軸承故障引起的共振所對應的中心頻率，濾波帶寬和尺度，并據此對自適應濾波結果進行二次濾波，獲取沖擊性最強的，最能反映軸承故障的包絡濾波信號。作為時頻域的四階統計量，譜峭度［8］可以用來衡量沖擊性在頻域上的分布。該特性使其能夠用于確定故障軸承引起的共振頻帶。信號 x（t）的譜峭度可由下式表示：其中表示平均值表示原信號在頻率f處的復包絡。如果信號的沖擊部分集中于特定的頻帶，其對應濾波結果的峭度值將相對較大。譜峭度的計算方法有很多種：基于短時傅里葉變換的算法，基于小波變換的算法和基于快速kurtogram的算法。本文利用最后一種算法計算譜峭度。

快速kurtogram算法是通過構建由準解析帶通濾波器組成的樹狀濾波器組實現的。具體的，分別對原信號進行n級尺度的雙子帶分解和n－1級尺度的三子帶分解。其中，三子帶分解是的目的是為了獲得更高的分析精度。因此，第i級尺度的三子帶分解將被插到第i和第i＋1級雙子帶之間。具體的算法如下：

首先，根據［9］中所述算法構建n級雙子帶和n－1級三子帶樹狀濾波器組實現對原信號的2n－1級分解。

其次，利用式（4）計算各級尺度，各個頻帶濾波得到包絡信號的峭度值 SK（fci，（Δf）k）。其中，fci為中心頻率，（Δf）k為相應的濾波帶寬。

最后，獲取所有峭度值中的最大值，并利用對應的濾波參數獲得濾波結果。其不但能最大程度上反映軸承故障信號部分，而且對應的時頻譜比原始信號的時頻譜也更清晰。

1．3 瞬時故障特征頻率趨勢線估計

根據上文的分析，由于IDMH趨勢線和軸承的轉頻趨勢沒有確定的比例關系，所以不能根據它對濾波獲得的軸承故障信號進行重采樣。基于此，本節提出瞬時故障特征頻率（IFCF）趨勢線的概念代替軸承轉頻，并利用時頻分析與峰值搜索算法對其進行提取。

理論上，若故障軸承以均勻轉速運行，對應包絡譜的故障特征頻率處將出現明顯的峰值。而故障特征頻率僅與被監測軸承的幾何參數和轉頻有關。不同的故障位置對應的不同故障特征頻率可由式（5）～（7）唯一確定：

其中，n為鋼球數；fr為的軸承轉頻；d是鋼球直徑；D是滾道節徑；φ是接觸角。

由以上公式可以看出，故障軸承對應的故障特征頻率與軸承的轉頻之間有著固定的倍數關系。因此，若軸承轉頻隨時間變化，其對應的故障特征頻率也將隨著之同步變化。本文將任意時刻瞬時包絡譜中的故障特征特征頻率命名為瞬時故障特征頻率。與勻轉速類似的是，瞬時故障特征頻率在瞬時包絡譜中也將具有幅值優勢。這樣，瞬時故障特征頻率就成為了一個與轉頻存在固定倍數關系，并且能在瞬時包絡譜中予以提取的物理量。上文中基于譜峭度得到的包絡濾波信號為瞬時故障特征頻率的提取提供了基礎。具體的提取算法如下：

（1）利用STFT求得譜峭度濾波包絡的時頻包絡譜。因為前兩步濾波得到的是最能體現軸承故障的包絡濾波信號，因此，該包絡時頻譜中將存在清晰的瞬時故障特征頻率及其倍頻。

（2）利用峰值提取算法，從包絡時頻譜（Envelope Time-Frequency Representation，ETFR）中對故障特征頻率（IFCF）趨勢線進行提取。

其中，ETFR（ti，Ω）為濾波包絡的時頻譜；IFCFti為 ti時刻的瞬時故障特征頻率。其隨時間變化組成的集合即為IFCF趨勢線。它與軸承的轉頻同步變化，且有固定的倍數關系（對應的故障特征因子）。因此，可以代替轉頻，用于消除變轉速對振動信號的影響。

1．4 基于采樣頻率重調的重采樣算法

本節根據IFCF趨勢線對兩次濾波后的包絡信號進行重采樣。雖然IFCF趨勢線與軸承的轉頻趨勢同步變換并有著特定的倍數關系。但是基于IFCF的重采樣與基于轉頻的重采樣仍有明顯的不同。因此，本文將基于IFCF趨勢線的重采樣信號所在的域稱為故障角域，并提出一套不同的重采樣策略：基于采樣頻率重調的故障角域重采樣算法

與基于轉頻的角域重采樣類似，基于IFCF趨勢線的故障角域重采樣也是以消除變轉速對振動信號的影響為目的。傳統的基于轉頻的角域重采樣算法的實質是以等角增量對時域信號進行重新采樣。實際上，該算法可以用一個更簡單的策略進行描述：在轉速相對較大的時間段用相對較高的采樣頻率，在轉速相對較小的部分利用較低的采樣頻率。而采樣頻率間的比值應與對應轉頻的比值相等。

基于以上分析，本文提出基于采樣頻率重調的故障角域重采樣算法。其具體算法如下：

（1）將濾波包絡信號等分為n份，n與上文中求取的IFCF趨勢線的長度相等。將每個子信號命名為x1，x2，…，xn，每個子信號對應著不同的 IFCF值：IF-CF1，IFCF2，…，IFCFn。

（2）定義基準采樣頻率和基準IFCF如下：

其中，fs為時域采樣頻率。

（3）利用不同子信號瞬時故障特征頻率間的比值重新調整各子信號的采樣頻率：

其中，IFCFi為第 i個子信號對應的瞬時故障特征頻率。

（4）按照新求得的fsi對各子信號進行重新采樣。具體的，首先利用各子信號對應的新采樣頻率重新確定采樣點；其次以原始信號xi為基準，利用多項式擬合確定新采樣點對應的重采樣信號x′i；最后，將重采樣信號x′i按照i的順序排列，獲得原信號的重采樣信號：

因為IFCF趨勢線與轉頻趨勢線是同步變化的，所以不同時間點對應的轉頻之比與瞬時故障特征頻率之比相等。因此，若應用基于采樣頻率重調的故障角域重采樣算法對時域信號進行重采樣，基于IFCF趨勢線和基于轉頻重采樣在效果上完全相同。

1．5 基于FCO譜的軸承故障診斷

在完成了故障角域重采樣后，基于包絡分析的故障診斷應該可以用與對滾動軸承的故障診斷。然而，仍有兩個問題必須進行討論：如何確定故障角域信號的等效采樣頻率；如何解釋基于故障角域重采樣信號獲得的故障特征階比譜。

根據fFPA，濾波包絡沖采樣信號對應的故障特征階比譜（FCO）就可以利用FFT直接獲取。

（2）對故障特征階比譜的解釋是對軸承運行狀態判斷的關鍵。本文通過它與依靠轉頻的重采樣信號對應的階比譜做類比，提出依據故障特征階比譜的診斷策略。在角域中，重采樣信號的包絡譜被稱為階比譜。其橫坐標為階比，代表著轉頻。如果軸承含有故障，階比譜中的故障特征階比及其倍頻上將出現明顯的峰值。不同的故障位置（外圈，內圈，滾動體）對應著不同的特征階比值：

其中，fo，fi，fb分別為外圈，內圈和滾動體故障對應的故障特征頻率。fr軸承轉軸的轉頻。若被監測軸承存在故障，對應的階比譜中會在特征階比及其倍頻處將出現隨階比遞減的峰值。

同理，在利用本文算法得到的故障特征階比譜中也將出現類似的衰減的峰值。然而，本文在對濾波信號進行重采樣時利用的是IFCF趨勢線而并是轉頻趨勢。因此，作為診斷依據的故障特征階比譜與傳統的角域階比譜是不同的。故障特征階比譜橫坐標的物理意義是故障特征頻率而非轉頻。實際上，利用本文算法得到的故障特征階比譜是傳統基于轉頻得到的階比譜的等比壓縮。其壓縮比例因故障位置的不同而各異：外圈，內圈及滾動體故障的壓縮比例恰為利用式13～15所得到的特征階比值Oouter，Oinner和Oball。因此，階比譜中的故障特征階比將被統一壓縮到1階故障特征階比處。因此，若滾動軸承含有故障，其故障特征階比譜的1階故障特征階比及其倍頻處就會出現表征故障的峰值。

2 仿真分析

為了驗證本文提出的算法，本節構造升速模式下故障軸承和正常齒輪的變轉速混合信號：

其中，xbearing代表故障軸承振動部分，xgear代表齒輪振動部分，σ（t）則代表白噪聲部分。

變轉速下的故障軸承信號xbearing的仿真公式為［10］的公式1b的改進版本：

其中，Am＝λtm為第m個沖擊的幅值，本文將升速模式下軸承故障引起的沖擊幅值與時間的關系簡化為線性關系，λ為對應的比例系數；u（t）為單位階躍函數；β為結構衰減系數；ωr為由軸承故障激起的共振頻率，tm為第m個沖擊發生的時間，可由以下遞推公式確定：

陸游通過晚唐詩詞的價值評騭，實際上導向了“詩詞之辨體”；而其對晚唐詩詞的矛盾價值觀之張力影響也表露無遺：一方面是辨體、分體，在美學觀念、審美理想上是尚理與重意、以善為美與以真為美的分野，一方面又局囿于詞體“小道”的文類等級，徘徊、依違于審美與政教之兩端。

其中，f（t）為軸承轉頻隨時間的變化規律；t0＝0；μ為滾動體滑移誤差系數，其取值范圍為0．01～0．02；n為軸承每轉出現的故障沖擊數。

變轉速下，健康齒輪振動的仿真公式如下：

其中，i（1，2，…，G）為嚙合頻率諧波數；Xi為第 i階諧波的幅值；L為齒輪的齒數；齒輪轉頻fg（t）與軸承轉頻的關系為：fg（t）＝τf（t）；Lfg（t）為齒輪嚙合頻率隨時間變化的規律。

本文中，軸承轉頻隨時間的變化規律設定為f（t）＝2．5t＋15；將齒輪嚙合頻率的二倍頻設為峰值嚙合倍頻，嚙合頻率峰值X1設為0．1；二倍嚙合頻率X2設為1．2；三倍嚙合峰值X3設為0．2。其他參數的具體取值見表1。

表1 仿真模型參數Tab．1 Parameters of simulated m odel

首先，利用改進的適應性噪聲消除技術對齒輪噪源分干擾進行削弱。圖2和圖3分別為仿真混合信號的時域波形和對應的kurtogram圖。從圖3中我們可以發現在尺度7，中心頻率為507 Hz處對應著最大的峭度值。而它恰好處于設計的齒輪峰值嚙合倍頻變化范圍（360～600 Hz）之內。而并非設計的軸承故障共振頻率（4 000 Hz）。這一現象直觀地反映了齒輪噪源對軸承共振頻率提取的阻礙。因此，我們試圖利用改進的適應性噪聲消除算法對這種干擾予以削弱。

其次，利用由譜峭度最大值所確定的濾波參數（見圖5上部）對自適應濾波結果進行進一步濾波，獲得最能反映軸承故障的包絡信號并利用STFT獲取如圖6所示的濾波包絡信號的包絡時頻譜。

圖2 仿真混合信號Fig．2 Simulated mixed signal

圖3 仿真信號的Kurtogram圖Fig3 Kurtogram of simulated signal

圖4 仿真信號的峰值嚙合倍頻趨勢線Fig．4 IDMH trend of simulated signal

然后，利用峰值搜索算法對IFCF趨勢線進行提取。圖7將提取得到的IFCF趨勢線和設計的轉頻趨勢線分別以上部方塊圖和下部細直線的形式在一張圖中做對比。可以看出，兩個變量同步變化，且比例基本保持不變。該圖可以說明基于兩次濾波結果的包絡時頻譜提取得到的IFCF趨勢線具備代替軸承轉頻實現故障特診角域重采樣的資格。

最后，根據提取得到的IFCF趨勢線，利用基于采樣頻率重調的重采樣算法對兩次濾波結果進行重采樣。并利用傅里葉變換求出其對應的故障特征階比譜（圖8）。在故障特征階比譜中，可以在1節故障特征階比及其倍頻上可以找到清晰的隨階比數衰減的峰值。因此，可以判斷被監測軸承存在故障。

圖5 自適應濾波后信號的Kurtogram圖Fig5 Kurtogram of adaptive filtered signal

圖6 包絡時頻譜圖Fig．6 Envelope time-frequency representation

圖7 IFCF趨勢線與設計轉頻趨勢Fig．7 IFCF trend Vs designed rotational frequency trend

圖8 故障特征階比譜Fig．8 Fault characteristic order spectrum

根據以上介紹，可以證明本文提出的算法能夠克服變轉速和齒輪干擾的雙重干擾，對處于弱勢地位的故障軸承的運行狀態做出的正確的判斷。

3 實測信號分析

本文利用渥太華大學機械系的SpectraQuest機械故障試驗臺（如圖9）模擬實際工況。具體將傳感器布置在離齒輪較近的位置以保證齒輪振動的幅值優勢。軸承轉軸與齒輪箱輸入軸同步轉動，轉速比為2．6∶1；滾動軸承的故障特征階比為3．58；齒輪輸入軸齒數Z為18；齒輪的嚙合頻率為6．92fs（fs為軸承轉頻）。

圖9 試驗臺布局Fig．9 Set-up of the test rig

圖10 實測混合信號Fig．10 Testmixed signal

圖11 實測混合信號的時頻譜Fig．11 TFR of themixed signal

圖9與圖10分別為實測混合信號的原始波形和時頻表達。從圖10中能清晰地找出與IDMH趨勢線對應的時頻分量，圖13為從時頻分析結果中提取出的IDMH趨勢線。以該趨勢線為基礎構造參考傳感器能夠進一步實現對變轉速齒輪噪源的去除。圖12與圖14分別為自適應濾波前后對應信號的kurtogram圖。從兩圖的對比可以看出，改進的ANC濾波算法能夠消除實際信號中齒輪噪源對提取軸承故障共振區的影響。

圖15為兩次濾波所得結果的包絡時頻包絡譜。該時頻圖中包含著清晰的IFCF趨勢。圖16則將提取得到的IFCF趨勢線與利用轉速計測到的實際轉速作對比：兩者之間不但基本同步而且在每個時刻的比例幾乎相等。圖17為基于IFCF趨勢線，利用采樣頻率重調算法得到的故障階比域重采樣信號的故障特征階比譜。在故障特征階比譜中，依然能在一階比及其低階倍頻上找到明顯的峰值。這證明了被監測軸承存在故障。

圖12 實測混合信號的Kurtogram圖Fig．12 Kurtogram of testmix signal

圖13 實際信號的峰值嚙合倍頻趨勢線Fig．13 IDMH trend of test signal

圖14 自適應濾波后信號的Kurtogram圖Fig．14 Kurtogram of adaptive filtered signal

圖15 包絡時頻譜圖Fig．15 Envelope time-frequency representation

圖16 IFCF趨勢線與實測轉頻Fig．16 IFCF trend Vsmeasured rotational frequency

圖17 故障特征階比譜Fig．17 Fault characteristic order spectrum

4 結 論

本文提出改進的ANC的齒輪噪源削弱算法與基于FCO譜的軸承運行狀態判別算法實現了在不使用任何輔助設備的前提下，在變轉速和齒輪噪源的雙重干擾下對滾動軸承的運行狀態進行判斷。

（1）利用IDMH趨勢線構造的參考信號改進ANC算法，能夠在不損害軸承部分的前提下對齒輪噪源進行削弱，使得能夠對故障引起的共振頻帶進行直接提取。

（2）改進的ANC算法能夠實現不依靠轉速計和參考傳感器的幫助完成齒輪噪源的削弱；

（3）聯合應用基于譜峭度的濾波算法與STFT獲取的包絡時頻圖能夠提取得到軸承的等效轉頻：IFCF趨勢線；

（4）IFCF趨勢線能夠代替轉頻對變轉速信號進行重采樣，重采樣信號的故障特征階比譜能夠用于判斷滾動軸承的運行狀態。

致謝：感謝國家自然基金項目（51275030）及加拿大渥太華大學機械工程系在資金及實驗設備上的幫助。

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