兩種傳感器的位置優化及結構多種響應重構

張笑華，任偉新，方圣恩

（1．福州大學 土木工程學院，福州 350108；2．合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230000）

傳感器系統在結構健康監測系統中扮演著重要的角色。傳感器的分布和相應的信號質量會影響整個健康監測系統的功能。然而，由于經濟上和現場安裝的一些原因，安裝在結構上的傳感器數目有限。因此，如何有效的布置有限數目的傳感器以期能獲得盡可能多的信息已經引起了很多學者的興趣，提出了大量的傳感器位置優化布置的方法［1－7］。

Kammer等［2－3］提出有效獨立法（Effective Inde-pendence，EfI）來優化布置傳感器的位置。這種方法是基于每個候選傳感器位置對于識別模態的線性獨立性貢獻多少來判定的。該方法需要事先確定好所需要的傳感器數目。因此Kammer［8］擴展了該方法，在位置優化過程中同時確定傳感器的數目以期保證信號達到一定的信噪比水平。Hemez等［9］進一步修正了EfI方法。該方法的基本思想是將傳感器布置在具有較大模態應變能的自由度上。Heo等［10］提出了用模態動能優化傳感器位置的方法。該方法布置傳感器的準則是最大化測量位置的結構動能。Paradinitriou等［11］引入信息熵來優化布置傳感器的位置。信息最豐富的測試數據是在參數估計中有最小不確定性的數據，即最小化信息熵的數據。因此該方法選擇的傳感器位置是能使得信息熵最小的位置。Meo等［12］提出的方差法（variance method，VM）基于最優信息子集技術利用測量點的模態來估計剩余其它測點的模態。

已有的傳感器位置優化方法，要么是為了更精確的識別模態，要么是為了結構損傷識別。很少有文獻涉及以重構結構響應為目標的多種傳感器的位置優化。一個有效的結構監測系統需要全面的信息，包括結構的局部信息和全局信息。隨著傳感器技術的發展，傳感器網絡系統變得越來越復雜和多樣化。傳感器系統可以包括應變片，加速度計，位移計，無線傳感器，光纖傳感器，等等。盡管多樣的傳感器可以給結構提供更全面更精確的信息，但它們自身的特性和局限性使得同時優化它們的位置變得非常復雜。

考慮到位移是用于監測結構的全局整體性，應變是用于監測結構局部變化，并且位移和應變之間有個幾何關系，本文提出了利用卡爾曼濾波算法以重構響應為目標的兩種傳感器數目確定和位置優化的方法。這兩種傳感器分別是應變傳感器和位移傳感器。與傳統方法不同，本文提出的方法是同時優化這兩種傳感器的位置，并且在優化位置的測量信息被用來重構結構關鍵位置的響應。在優化位置的過程中，當響應重構誤差達到某一標準時優化程序終止，由此確定了傳感器的數目和位置。最后用二維桁架結構數值研究了提出方法的有效性和可行性。研究結果表明該方法可以同時優化位移傳感器和應變傳感器的位置，確定兩種傳感器的數目。利用在優化位置的測量信息重構的響應與數值計算的響應吻合良好。綜合利用兩種信息重構其它位置的響應精度要優于用單種信息重構得到的結果。

1 理論介紹

1.1 離散狀態空間方程

結構的運動可以用下列離散的狀態空間方程來表示［13］：

式中：zk，yk和uk分別表示在 kΔt時刻的離散狀態向量，觀測向量和外部激勵向量；Δt是采樣時間間隔；A和B分別表示離散的狀態矩陣和離散的輸入矩陣；C和D分別表示輸出矩陣和直接傳輸矩陣；wk是過程噪聲向量；vk是測量噪聲向量；wk和vk均假設為零均值白噪聲，方差矩陣分別為Q和R。如結構的二階運動方程是用模態坐標表示的，即：

式中：q是模態坐標，Φ是位移模態振型矩陣，ξ是模態阻尼矩陣；ωo指模態頻率矩陣；Bu是激勵的位置矩陣。則（1）的狀態空間方程中各項為：

測量方程中y向量包括應變和位移響應，則

式中：Ψ＝BΦ，B是位移－應變矩陣，與有限元單元的類型有關系。

1.2 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波算法是以最小均方誤差為估計的最佳準則來遞推估算狀態向量z＾?？柭鼮V波算法的操作包括預測和更新兩個階段，可用下列五個方程來表示［14］：

式中：Pk是后驗估計誤差方差矩陣；Kk是最優卡爾曼增益矩陣。

模態振型矩陣可以分成兩部分：選擇振型矩陣和截斷振型矩陣。一般選擇振型矩陣包含的是結構振型中對響應貢獻較大的低階振型。在實際使用中不需要用到所有的模態，一般僅考慮結構中低階的前幾階模態即可，尤其是對于大型結構來說。因此，線性結構中包括所有感興趣位置的應變響應和位移響應，可以表示為

式中，下標‘s’表示選擇的模態；Ces表示所有感興趣位置的選擇模態振型矩陣組成的輸入矩陣。測量位置的響應可以用相似的另外的式子來表示

式中，上標‘m’表示測量的；Cms表示測量位置的選擇模態振型矩陣組成的輸入矩陣。利用卡爾曼濾波算法和測量響應可以估計狀態向量。由此結構的響應可以用下式重構得到

式中，上標‘e’表示重構。

重構響應的誤差可以表示為重構響應時程序列與真實響應時程序列之間的差值

相對重構誤差定義為重構誤差δ與測量噪音標

1．3 優化目標方程

準差的比值

式中：Re是需重構響應的位置對應量的測量噪聲方差組成的矩陣。

因此相對重構誤差的方差可按式（19）計算

由于應變響應和位移響應的數量級不同，矩陣是病態的。在利用卡爾曼濾波算法估計狀態向量過程中，病態的矩陣會影響卡爾曼增益矩陣的計算?？衫梦灰茰y量噪聲和應變測量噪聲的標準差來規則化位移模態振型矩陣和應變模態振型矩陣。由此可得到卡爾曼濾波算法增益矩陣的公式

式中：Rm是測量位置對應量的測量噪聲方差組成的矩陣是規則化的測量位置的由選擇模態振型矩陣組成的輸出矩陣。

此可得到兩種傳感器位置優化的目標方程

約束方程

其中

和分別表示規則化的最大重構誤差方差和規x則化的平均重構誤差方差。分別是規則化的最大重構誤差方差和規則化的平均重構誤差方差的閥值。

傳感器位置優化的目標是盡可能準確的重構結構響應。當刪除某候選傳感器位置時，矩陣的秩達到最小，即平均重構誤差達到最小，表明該候選傳感器位置對響應重構的貢獻小，可以不考慮為最終的傳感器位置。在優化程序中，隨著傳感器數目的不斷減少逐漸增大，當二者中的任何一個達到預設的閥值時，程序停止迭代，由此可確定應變傳感器和位移傳感器的數目。此時均可滿足小于等于預設的閥值。當最終傳感器位置和數目確定后，利用這些位置的測量響應和式（16）重構結構的響應。

2 傳感器優化布置和數目確定及響應重構步驟

（1）從相應的有限元模型中提取結構振型，并決定要選取哪些振型；

（2）利用式（21）和（22）優化傳感器的位置和決定傳感器的數目；子步驟如下：

（2．1）用對應的傳感器測量噪聲的標準差規則化輸出矩陣C；

（2．2）從候選的傳感器位置中刪除第i個位置，計算第i個平均規則化重構誤差方差值；當刪除某個位置后，規則化重構誤差方差值最小，該位置從候選群中刪除；剩下的候選位置組成新的一個傳感器位置候選群；此時，計算最大規則化重構誤差方差和平均規則化重構誤差方差，并與相應的閥值比較，看是否已經達到閥值；

（2．3）如果此時最大規則化重構誤差方差和平均規則化重構誤差方差都仍舊小于預設的閥值，利用新的傳感器位置候選群重復步驟2．2，直到最大規則化重構誤差方差或者平均規則化重構誤差方差等于或者大于預設的閥值，程序停止迭代。此時剩下的位置候選群就是兩種傳感器的數目和位置；

（3）利用Newmark法計算結構受外部激勵下的位移響應和應變響應；給選擇的位置上的響應加噪聲并視之為測量響應；

（4）利用這些測量響應和式（16）重構結構關鍵位置的響應；

（5）把重構的響應和計算的響應進行對比，檢測重構響應的精度。

3 數值算例

本文用二維桁架結構數值模擬了兩種傳感器位置優化和結構響應重構的過程。該桁架結構有25個單元，14個節點和28個自由度，如圖1所示。應變傳感器假設貼在單元上表面的中心位置以測量單元的應變。節點1，2，13和14不作為位移傳感器位置的候選群。因此，共25個單元為應變傳感器的位置候選群，節點3－12的10個y向自由度和10個x向自由度為位移傳感器的候選位置，并且這些位置的響應也假設為需要重構響應的關鍵位置。該傳感器位置優化方法是基于振型的，如果目標振型選定，優化的位置與外在激勵無關。由于土木工程結構中隨機激勵比較常見，并且隨機激勵下的結構動力響應比起簡諧激勵或者自由振動下的響應包含更多的振動模態，因此本數值算例將用窄帶隨機激勵作為示例。假設窄帶隨機激勵y向加載于節點4。在這種加載工況中，x向位移很小，因此后面不對x向位移的重構結果進行分析討論。

假設每種傳感器的每個位置的測量噪音標準差相同并且是個常數，同時它們與信號的強度無關。本文假定應變傳感器測量噪音標準差為σ＝0．08 u，位移傳感器測量噪音標準差為σd＝0．001 5 mm?？紤]了三種情況下的傳感器布置工況：

工況1：用本文提出的方法優化布置位移傳感器和應變傳感器，并且重構位移和應變響應；

工況2：總傳感器數目與工況一相同，用EfI方法布置位移傳感器；

工況3：總傳感器數目與工況一相同，用EfI方法布置應變傳感器。

圖1 桁架結構和各工況傳感器位置布置圖Fig．1 25－Bar truss structure and sensor locations

圖2 重構誤差隨傳感器數目變化的趨勢Fig．2 Variation of theoretical reconstruction errorswith number of sensors

選取前6階模態為目標模態。設置閥值如下。圖 1（b）－（d）是各工況的傳感器位置布置，總共有10個傳感器。工況1是用本文提出的方法優化兩種傳感器的位置，優化結果是8個應變傳感器和2個布置在y向的位移傳感器。工況2是僅布置位移傳感器，其中有7個傳感器測量y向位移，3個傳感器測量x向位移。

圖2描繪了工況1平均規則化重構誤差方差和最大規則化重構誤差方差著傳感器位置數目減少的變化趨勢。隨著傳感器位置數目的減少而增大。當它們中的任何一者增大到預設的閥值時，優化程序停止迭代。由此得到在該約束條件下的傳感器數目和優化的位置。

利用優化位置上的加噪聲后的應變和位移響應，重構結構其他位置的響應。圖3是工況1的單元1重構的應變時程和計算時程的對比和節點12重構的y向位移時程和計算時程的對比。從圖3可以看到，重構的時程曲線與計算的時程曲線吻合非常良好。

圖3 重構和計算的時程響應對比（工況1）Fig．3 Comparison of reconstructed and real responses

重構時程響應的精度用相對百分比誤差來衡量，定義如下

式中“std”指標準差。

圖4（a）是工況1重構得到響應的相對百分比誤差。不論是應變響應還是位移響應，重構得到的結果精度都高。對于應變重構響應的結果，大部分的百分比誤差都在10%以下；而位移重構響應的百分比誤差都在2%以下。單元2和19的應變重構結果較差，原因主要是：① 在該加載工況下，這些位置的應變響應比較小，信號的信噪比較差；② 這些位置的應變響應包含了更多的高頻成分。

圖4（b）是工況2的重構響應相對百分比誤差。工況2是僅布置位移傳感器，用測量位移響應重構關鍵位置的應變和位移響應。從圖4（a）和圖4（b）對比中可以看到，工況2得到的重構百分比誤差要高于工況1得到的結果。工況3是僅布置應變傳感器，用應變測量響應重構關鍵位置的位移和應變響應。對比圖4（a）和圖4（c），由于工況3布置的10個傳感器均為應變傳感器，因此工況3得到的應變重構結果精度略優于工況1得到的結果。但工況3得到的位移重構結果誤差要大于工況1得到的結果。

圖4 相對百分比誤差（%）Fig．4 Relative percentage errors（%）

4 結 論

本文提出了利用卡爾曼濾波算法以結構多種響應重構為目標的應變傳感器和位移傳感器位置優化及數目確定的方法。該方法有如下優點

（1）不同于傳統方法，兩種傳感器的位置是同時優化；

（2）不需要預先設定傳感器的數目，在優化程序中，通過響應重構誤差達到預設的閥值來確定傳感器數目；

（3）數值算例結果顯示重構響應和計算響應時程吻合良好；

（4）數值算例結果表明綜合利用兩種測量響應重構結構響應的精度高于用單種響應重構得到的結果。

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