基于碰撞振動的隔振系統混沌化實驗研究

俞 翔，朱石堅，樓京俊

（海軍工程大學 科研部，武漢 430033）

針對艦船水下輻射噪聲中的低頻線譜直接危害艦船安全、制約戰斗力且難以消除的問題，朱石堅等［1－9］提出了艦船水下輻射噪聲線譜混沌化控制方法，即設計強非線性隔振系統，并通過施加適當控制，使系統處于持續的混沌運動狀態。此時混沌系統具有的線譜輸入、寬頻連續譜輸出特性，可實現對水下輻射噪聲的頻譜重構，有效削弱線譜特征，隱匿線譜所攜帶的潛艇信息。目前，線譜混沌化控制方法在原理驗證、混沌區域計算、隔振性能評估、混沌實驗識別、控制算法等方面取得了諸多成果，但在工程應用等方面還存在著若干難點，其中之一就是如何在隔振系統小振幅下實現較寬頻率范圍內的混沌。針對該難點，本文提出了基于碰撞振動的隔振系統混沌化控制方法，即在線性隔振系統中引入由兩碰撞質量塊組成的附加子系統，在恰當的參數設置下，碰撞子系統能產生混沌運動，通過子系統與隔振系統之間的耦合，可以使得隔振系統也呈現出混沌運動狀態，并且附加子系統的引入能有效抑制被隔振設備的振動和降低傳遞到基座的線譜強度。碰撞振動具有強非線性特性，呈現出豐富的動力學行為，吸引了大量的學者開展研究［10－13］。本文構建實驗系統對該方法進行詳細研究，驗證了其有效性，并得到系統混沌頻率范圍及隨其它參數變化的若干規律。

1 系統模型

船舶動力機械隔振系統采用的隔振器種類眾多且技術成熟，本文在不對隔振系統作過多改動的前提下，引入附加碰撞系統，以期在隔振系統振幅較小的情況下也能在較寬頻率范圍內產生混沌運動。實驗系統如圖1（a）所示，1為激振器，它通過頂桿9和連接器與隔振系統負載（板3、10）連接；滑柱2與隔振系統負載（板3、10）的通孔構成滑配，其作用為保證隔振系統只作豎直往復運動；隔振系統負載之下的隔振元件4為4個B3－25型船舶通用隔振器，該型隔振器為線性隔振器，它們通過圓柱形墊塊6連接于凹形托架7之上；凹形托架之下為75型橡膠隔振器14，其作用為模擬基礎的柔性，要求其剛度遠大于隔振系統中隔振元件4的剛度，以使凹形托架7及75型隔振器14可視為隔振系統的柔性基礎；工作圓臺8通過螺栓與整個實驗裝置的底座15固連，底座15的質量遠大于其上的各個部件，因而可視為剛性底座。

以上為實驗裝置的線性隔振系統部分，在此基礎上，引入了由13碰撞質量塊m2、5弦、12碰撞質量塊m1、11支柱組成的附加碰撞振動子系統，該子系統的詳細結構如圖1（b）所示。m2由上下兩個平板組成，上下板的內表面構成碰撞面，兩板之間的距離D可以調節，m2通過彈簧連接在隔振系統負載板上，該彈簧橫向剛度較大，可認為碰撞塊m2僅作豎直方向的運動。另一個碰撞塊m1位于m2上下兩平板之間，由一個兩側面開槽的鋼質立方體構成，它通過兩根弦連接在兩個支柱上，支柱固定連接在隔振系統負載板上，從而可以通過調節支柱間的距離控制弦的預拉力。當隔振系統受到激勵時，隔振系統負載板將帶動子系統一起振動，若參數設置適當，m1與m2之間便會產生碰撞振動，并引發混沌運動，碰撞產生的力又會通過彈簧和弦作用于隔振系統，從而使得隔振系統呈現出混沌特性。m1與其連接弦為非線性系統，其剛度特性為［7］：式中，S為預拉力，k為弦的拉伸剛度，l為單根弦的長度。在本實驗中，通過控制其預拉力S來實現系統在不同頻率范圍內的碰撞。

2 實驗裝置

構建的實際物理實驗裝置，如圖2所示。傳感器的布置如圖2所示，在隔振系統負載上、基座以及碰撞質量塊m2上各布置一個ICP加速度傳感器；在激振器頂桿與隔振系統負載之間布置一個壓電式力傳感器；在碰撞質量塊m2下安裝一個激光位移傳感器。

圖2 實驗裝置與數據采集系統Fig．2 Experimental setup and data acquisition system

對實驗裝置中的各參數進行了參數識別，具體數值參見表1。本實驗研究可以改變的系統參數為激勵力頻率H、激勵力幅值P、碰撞塊m2上下板之間的距離D以及弦的預拉力S，因此參數組（H，P，D，S）可以用作實驗數據的標識。

表1 實驗系統參數Tab．1 Param eters of the experim ental setup

3 實驗步驟

本實驗為正弦信號的慢速頻率掃描實驗，掃頻范圍為 14 Hz～18．5 Hz，步長為 0．1 Hz，采樣頻率為 500 Hz，數據采集時長為5 s。

完成各參數組下的頻率掃描實驗后，對實驗數據進行后處理。實驗數據的處理基本按照非線性時間序列分析方法來進行，首先需要解決的是實驗信號的混沌識別。

4 實驗數據與分析

4.1 混沌實驗識別

對于振動實驗系統，可以利用時間歷程圖、相圖、位移信號功率譜密度圖、Poincaré圖以及關聯維和Lya-punov指數等綜合判斷一個系統是否處于混沌運動狀態［7］。

首先針對2組實驗參數：1）P＝60 N，H＝15．5 Hz，D＝36．2 mm，S≈7 0 N；2）P＝60 N，H＝16．1 Hz，D＝36．2 mm，S≈7 0 N下的信號進行識別。圖3所示為兩組參數下，碰撞塊m2豎直方向的位移信號與加速度信號時間歷程圖、位移信號的功率譜密度圖（以1 mm為參考值）、相空間重構吸引子圖。并用G－P法［8］計算兩組參數下位移信號的關聯維數，用Wolf方法［9］計算最大 Lyapunov指數。

從圖3（a）上看出每碰撞一次，加速度信號便出現一個脈沖信號，脈沖信號的出現并不呈現周期性，位移信號也找不到任何周期性變化規律，其功率譜為連續譜，重構吸引子相圖和Poincaré圖也呈現出混沌吸引子典型的相軌跡拉伸、折疊特征。計算得到該參數組下，系統的關聯維數為3．309 3，最大 Lyapunov指數為0．030 2，綜合上述判據，可以得出參數組1下的系統運動為混沌運動。

從圖3（b）上可以看到，加速度信號中脈沖的出現呈現周期性，基本為3個激勵周期碰撞兩次，位移時間歷程曲線及其功率譜密度圖、重構吸引子及其Poincaré圖也表現為典型的1／3次諧波特征，計算得到該參數組下，系統的關聯維數為1．077 3，最大Lyapunov指數為－0．004 7，考慮到實驗信號中含有的噪聲以及計算誤差，可以認為該參數組下對應信號具有整數關聯維數1，因此可以判斷出該參數組下系統運動為1／3次諧波周期運動。

4.2 分岔特性分析

上小節選取了兩組具有代表性的信號進行了混沌識別研究，下面根據上述混沌識別方法對系統分岔特性進行分析，得出系統混沌頻率區域隨可變參數（P，D，S）的變化規律。Poincaré截面取為 Σ＝｛（xn，…，xn＋mτ）｜xn＋τ＝0，xn＞0｝，根據 Poincaré映射得到分岔圖。

圖3 碰撞塊m2豎直方向的位移、加速度時間歷程圖、位移功率譜圖和重構吸引子圖Fig．3 Time histories of the displacements and accelerations，power spectra and reconstructed attractor of the displacements of m2 in gravity direction

圖4 系統隨激勵頻率變化的分岔圖Fig．4 Bifurcation diagrams varying with the excitation frequency

首先分析P＝60 N，D＝36．2mm，S≈70 N時，系統隨激勵力頻率變化的分岔特性，如圖4（a）所示。從圖上可以看到，系統在15 Hz至17．8 Hz存在碰撞，其中15～15．5 Hz與 16．2～17．8 Hz為兩個碰撞混沌運動區域，而15．6～16．1 Hz為碰撞而產生的次諧周期運動區域。5．1節中的參數組1下的運動即位于第一個混沌區域中，而參數組2處于周期運動區域。

固定P＝40 N，S≈70 N，改變碰撞塊m2上下板之間的距離D為39．5 mm和34 mm，分別作系統隨激勵頻率變化的分岔圖，如圖4（b）、（c）所示。從圖上可以看到，當D＝39．5 mm時，系統僅在16～16．5 Hz以及17．7～18．1 Hz之間存在混沌運動，這正對應著碰撞對m1、m2子系統各自的共振頻率。而當D＝34 mm時，系統混沌區域顯著加大，在14．5～18．2 Hz整個碰撞區域，除了15．5～16 Hz有較小的周期窗口外，其余均為混沌運動區域。

由上述分析可以得到：① 激勵力幅值P的增大能加大產生混沌的頻率范圍；② 碰撞塊m2上下板之間的距離D減小有利于增大產生混沌頻率范圍。

4．3 振動特性分析

還需對隔振系統負載板的振幅進行研究，進而驗證碰撞質量塊能在隔振系統振幅較小的情況下實現較強的混沌運動。

在實驗過程中，由于條件所限，并沒有對隔振系統負載板以及基座的位移進行測量，因此只能根據測量得到的加速度信號來估算系統的振幅。對于簡諧運動x＝A sin（ωt），其加速度x··也為正弦信號：x··＝B sin（ωt）＝－ω2A sin（ωt），由此可見位移信號幅值與加速度信號均方根值之間的關系為：Arms＝Brms／ω2，該關系式不適用于混沌運動，因此只能估算混沌區域前后周期運動的位移幅值。根據理論分析，混沌運動時，隔振系統負載板的位移幅值處于混沌區域前后周期運動位移幅值之間，因此，也可以大致確定出混沌運動時，隔振系統負載板的位移幅值。

對于P＝60 N，D＝36．2 mm，S≈70 N時的情況，根據圖4（a）選取H＝14 Hz計算隔振系統負載板加速度均方根值可得1．30 m／s2，因此可估算得到位移均方根值為：0．17 mm；選取 H＝18．3 Hz計算隔振系統負載板加速度均方根值為0．92 m／s2，估算可得位移均方根值為0．07 mm，由此可見，混沌運動時，隔振系統負載板的位移均方根值應處于0．07～0．17 mm，該振幅已非常小了。

圖5 隔振系統負載板的重構吸引子與功率譜圖Fig．5 Attractor reconstruction and power spectra of the isolated plates

接下來驗證在如此小振幅下，隔振系統仍能呈現出較強的混沌運動。在分岔圖4（a）的混沌區域中選擇1個典型頻率H＝17．5 Hz，圖 5為 P＝60 N，D＝36．2 mm，S≈70 N，H＝17．5 Hz時隔振系統負載板的重構吸引子和功率譜，圖上“*”為Poincaré映射點。從圖上可以看到，在振動幅值相當小的情況下，系統仍然能呈現出顯著的混沌運動特征，這進一步說明了基于碰撞質量塊的混沌化控制方法的有效性。

4．4 減振性能分析

本實驗分析了在圖4（a）、（c）情況下，混沌頻率范圍內系統有無碰撞振動子系統時隔振系統負載板振動加速度情況。如圖6所示，圖6（a）、（b）分別為激勵力幅值P為60 N時負載板的振動加速度均方值與振動減小的相對百分比，圖6（c）、（d）為 P等于40 N時的情況，圖上實線和虛線分別為有和沒有碰撞振動子系統時的曲線。從圖6可以看出，當激勵力頻率小于18 Hz時，附加碰撞振動子系統的引入對隔振系統負載板的振動抑制作用明顯，減少的相對量最大可達到了21%。在18～18．5 Hz范圍內，碰撞振動子系統的減振作用不明顯。而當激勵頻率大于18．5 Hz時，碰撞振動子系統的引入反而使得隔振系統負載板的振動幅值加大，加劇了被隔振設備的振動。結合分岔圖4（a）可以看出，混沌運動區域為14．7～17．9 Hz，因此在混沌運動的絕大部分頻率區域中，碰撞子系統的引入均能有效抑制被隔振設備的振動，而在小部分區域振動抑制作用不明顯，但也不會加劇其振動。當激勵力幅值P為40 N時，也可以得到和P＝60 N類似的結論，如圖6（c）、（d）所示。

圖6 碰撞振動子系統的減振性能Fig．6 Performance of vibration reduction of the vibro-impact subsystem

圖7 周期運動與混沌運動時基座加速度功率譜Fig．7 Power spectra of the accelerations of the base in periodic and chaotic states

接下來討論基于碰撞振動的隔振系統混沌化控制方法對線譜的控制效果。圖7（a）所示為在P＝60 N，H＝17 Hz的激勵情況下，隔振系統周期運動時與引入碰撞振動子系統后使得隔振系統呈現混沌狀態時基座加速度功率譜的比較（以1 m／s2為參考值）。實線所示為周期運動時的功率譜圖，從圖上可以看出，此時系統在激勵力頻率17 Hz及其倍數51 Hz以及85 Hz處存在較強的線譜成分。虛線為混沌運動狀態時的功率譜圖，與周期運動的功率譜圖比較可以發現，此時三個主要線譜的強度均有不同程度的衰減，其中17 Hz處，線譜降低 6．01 dB，51 Hz處，降低 6．12 dB，而在 85 Hz處，線譜降低幅度達到了13．42 dB。不僅線譜強度得到了降低，整個功率譜的有效值也由于碰撞振動子系統的引入而降低了4．77 dB。

在P＝40 N，H＝16．7 Hz的激勵情況下，也可以得到類似的結論，如圖7（b）所示，同樣實線為周期運動狀態下基座的加速度功率譜，而虛線為混沌狀態時基座的加速度功率譜（均以1 m／s2為參考值來求得分貝值）。由圖上可以看出，16．7 Hz、50．1 Hz以及 83．5 Hz處的三條線譜在混沌狀態下分別減少了5．89dB、13．62 dB以及11．5 dB，并且整個功率譜有效值下降了約3 dB。

5 結 論

本文對基于碰撞振動系統的隔振系統混沌化控制進行了實驗研究，通過研究表明：在隔振系統中引入碰撞振動子系統，能實現小振幅下較寬頻率范圍內的混沌運動，并且由于碰撞振動子系統的引入，而能有效抑制被隔振設備的振動。在碰撞混沌發生時，不僅系統傳遞到基座的線譜強度得到了有效降低，而且其功率譜整體強度有所下降。由此驗證了基于碰撞振動的隔振系統混沌化方法的有效性。

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