U 型變截面薄板面內復合模態驅動的直線超聲電機

賀紅林，何文叢，劉文光

（南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063）

隨著航空航天、精密制造等高新技術發展，對小型精密電機要求愈來愈高，需求越來大［1－2］。當前直線電機的實現形式主要有三種：一種是利用鈿桿將旋轉電機運動轉換為直線運動，該類電機結構簡單，但受鈿桿副間隙及其摩擦影響，其運動精度低、控制性差，特別是其小型化受鈿桿尺寸嚴格限制，故不適于小型精密應用場合；二是由薄型平面繞組及配置于鋼尺的單面永磁鐵軌道等兩部分組成的電磁直線電機，此電機精度較高，但結構復雜、制造困難且平面繞組的小型化同樣遇到很大困難；三是直線超聲電機（LUSM），這種電機利用壓電陶瓷激發超聲振動實現電能到機械能轉換，直接輸出推力和直線運動，定位精度高、結構靈活、便于微型化和輕量化，近年得到快速發展，在小型精密驅動應用中發揮著日益顯著作用［1，3］。目前，德、日、美等國的直線超聲電機正朝產業化方向發展，在某些高、精、尖領域得到一定的應用［4－6］。國內研究者雖在此領域做了不少工作［7－9］，但總的來講，國內的 LUSM研究才剛開始，所推出電機原理及型式還極有限，難以滿足應用領域提出的更小、更輕、更薄、更短的多樣需求，故深入研究LUSM技術基礎，推出新原理電機仍是直線超聲電機研究的重要方面。據此，作者曾在文獻［10］中提出一種H定子驅動的直線電機，該電機結構緊湊、運動精密，適合小型精密驅動，特別是電機實現了兩驅動端交替驅動，從而有利于增大動力和速度，但該電機也存在不足：一是電機以定子兩斜對角處材料作為驅動端，而對裝配提出了很高要求，若裝配精度得不到保證，則兩驅動端協同驅動難以實現，雙端驅動優勢也就發揮不出來；二是預壓力不便施加和調整；三是驅動端振幅較小。直線超聲電機設計的關鍵一方面是形成驅動端質點橢圓軌跡，另一方面是要增大驅動端振幅以利提高電機速度與動力。為此，從H結構定子得到啟發且為發揮該電機之優勢并避免其不足，本文提出一種基于U型變截面板面內縱彎模態驅動的直線電機，并規劃出電機工作模態，設計出電機裝配結構，通過試驗驗證了電機驅動機理的可行性。

1 電機的原理

1.1 工作模態

本文電機的定子呈U型結構，如圖1所示，由兩個縱板和一個橫板組成，其兩縱板小端為驅動端。為避免因加工裝配引起縱板與橫板連接部出現振動能量損耗，定子采用整體結構。定子設計中，受超聲變幅桿原理啟發，將縱板驅動端設計成變截面結構，旨在提高驅動端縱向振幅［6］。縱板采用變截面漸縮結構還能降低驅動端彎曲剛度，有利于激發彎曲振動。

圖1 預設工作模態Fig．1 Assumed workingmodes

要在驅動端形成質點橢圓運動軌跡，須使驅動端產生空間上正交的兩相振動位移［1，7］。根據此要求并結合U板特點，本文選取定子兩縱板的二階對稱彎振和一階反對稱縱振模態作為電機工作模態，如圖1所示。圖中，實線部分表示定子發生振動應變后的狀態，虛線表示定子發生振動前的結構。橫板既起連接兩縱板作用，以利實現兩驅動端交替運動，又作定子安裝的支承。

1.2 驅動機理

理論上講，只要在U型定子上適當配置壓電陶瓷片（PZT），并在PZT上施以具一定時間相位差的兩相等幅同頻交流電功率信號，激發定子兩相工作模態振動，就能在驅動端形成電機驅動所需質點橢圓運動，再借助驅動端與動子間摩擦作用，就可將定子微幅彈性振動轉換為動子直線運動。本文的電機中，縱板二階彎振的作用是驅使驅動端質點做橫向運動、推動動子前行；一階縱振則實現定子與動子間動態觸合與分離。圖2給出了在定子一個振動周期（T）內的電機運動情況。

（1）在0～1／4 T期間，左板縱向伸長，驅動端 Y向位移由0增至最大值＋Ymax；同時，左板由內彎狀回復成直板狀，驅動端X向位移由＋Xmax降至0，致使驅動端質點由A運行到B，推動動子向左移動一個步距λ，如圖2（a）。右縱板縮短，驅動端X向位移由0降至－Ymax；同時，右板由內彎狀回復成直板狀，右驅動端X向位移由0降至－Xmax，使右驅動端質點由F運行到G，右驅動端脫離與動子接觸。

（2）在1／4 T～1／2 T期間，左板回縮，其驅動端 Y向由最大值＋Ymax降至0；同時左板彎曲成外彎狀而使驅動端X向位移由0降至－Xmax，從而使驅動端質點由B運行到C，推動動子再移進一個步距λ。右板伸長，使右驅動端Y向位移由－Ymax增至0，且右板由直板狀彎曲成外彎狀而使右驅動端的X向位移由0增至＋Xmax，而使右驅動端質點由G運行到H，保證驅動端不與動子接觸。

（3）在1／2 T～3／4 T期間，左板縮至最短，其驅動端Y向位移由0降至－Ymax；同時，左板由外彎狀回復成直板狀，使驅動端X向位移由－Xmax增至 0，致使質點由C行至D，從而使右驅動端與動子脫離。右板伸長使右驅動端Y向位移由0增至Ymax；右板由外彎狀回復成直板狀，使右驅動端X向位移由＋Xmax降至0，從而使右驅動端質點由H運行到I，推動動子向左移進第3個步距λ。

圖2 定子在一個振動周期內的運動Fig．2 Driving principle of themotor

（4）在3／4 T～T時，左板伸長，左驅動端Y向位移由－Ymax增至0；左板由直板狀彎成內彎態，使驅動端X向位移由0增至＋Xmax，使驅動端質點由D運行至E，旨在保持右驅動端不與動子接觸。同時，右板回縮，右驅動端Y向位移由Ymax降至0；右板由直板狀彎曲成內彎狀，使右驅動端X向位移由0降至－Xmax，從而使右驅動端質點由I運行到J，并推動動子再向左移進第4步距λ。

定子每完成一個振動周期，其兩驅動端上質點便各完成一次正向橢圓運動，實現動子的一次驅動并推動動子前移4λ。若逆換兩相振動的時間相位關系，驅動端質點將做反向橢圓運動，從而推動動子作反向直線運動。

1．3 驅動端運動的描述

U型薄板動力學條件較復雜，對其進行振動分析時，很難求得精確解析解。但若只定性分析其兩縱板工作模態振動，卻可將其縱板簡化為 Bernoulli-Euler梁。考慮到在同一振動周期內，兩縱板交替對動子進行驅動，它們的運動情況完全相同，因此為圖簡便，可只取一個縱板（如左板）進行分析。

對于做縱彎復合振動的縱向板，根據振動理論，不難建立其動力平衡方程并推得其二階彎振和一階縱振的振型函數

式中，a、b分別表示彎振、縱振的相對振幅；l為縱板振動方向定子長度；S、T均為Krylov函數。

圖3 驅動端質點振動位移描述Fig．3 Movement of the particle on drive end

縱板同時作彎振和縱振時，其驅動端呈現圖3所示運動狀態。可見，當定子兩相工作模態被激發時，縱板的伸縮與彎曲導致驅動端質點由P移至P′，從而使質點產生橫向位移x和縱向位移y。驅動端質點的響應函數分別為

式中，ω為驅動信號圓頻率；α、β為彎、縱振初始時間相位。uB、vl分別表示質點的X、Y向振幅。式（2）中消去時間變量后，得驅動端質點軌跡

圖4 驅動端質點軌跡與兩相振動相位差間關系Fig．4Drive end’s trajectory versus the phase difference between the vibrations based on work modes

顯然，當時，上式簡化為

此時，驅動端質點的運動軌跡退化為一條斜率為±vB／ul的斜直線。

當｜α－β｜＝π／2時，質點的運動軌跡為標準橢圓

圖4給出了縱、彎振相位差不同時，驅動端質點的運動變化情況，它表明，當兩相模態振動相位差在（0，π／2］內時，驅動端質點做正向橢圓運動；當相位差為［－π／2，0）時，質點將做反向橢圓運動。

1．4 振幅的放大

前文述及，為增大驅動端縱向振幅，定子驅動端設計成線性變截面。為此，有必要對變截面引起的縱振放大效應進行分析。如圖5，根據結構振動理論，當縱板發生縱振時，縱板內的縱向波動描述為

其中，v表示該板x處質點的位移，E為彈性模量，ρ是縱板的密度。根據上式，可推導出變截面縱板的質點振動方程為［7］

式中，S＝h·x（y）為縱板驅動端截面積函數。將S代入得式（6），可得

圖5 線性變截面結構示意Fig．5 Solid horn’s vibration amplification effect

當且僅當變截面輪廓為拋物線或指數曲線時式（7）才有封閉解。因此，為圖簡便，且不失一般性，可直接假設截面輪廓為拋物線，并令

式中將式（8）代入式（7），則得到

可見，當隨著質點縱向位置x增大，其振幅v也相應增大，說明變截面縱板具有放大振幅的功能。但縱板驅動端橫向尺寸也不宜過小，否則會影響電機功率輸出。可見，在確定變截面尺寸時，必須在振幅放大和功率輸出方面進行權衡。

2 定子構型及壓電配置

圖6給出了定子構形及其壓電陶瓷極化供電配置。根據輕量化要求，定子采用貼片式壓電陶瓷進行激勵，并基于PZT的d31效應誘發振動。根據超聲換能器理論，要激發出盡可能大的縱振振幅，宜將PZT配置在定子最大縱向應變處。為此，分別在定子縱振工作模態節線附近以及彎振模態波峰和波谷處粘貼壓電陶瓷片。圖中粘貼于縱板變截面驅動端兩側的壓電陶瓷片是用來激發彎振工作模態，其余4片PZT則激勵縱振工作模態。本文之所以配置了較多縱振PZT片，主要是為增大定子激振力，以提高電機動力輸出。驅動端附近開設小孔是為了修正模態。

圖6 定子構型及其壓電配置與供電Fig．6 The structure of the stator

定子設計初期，根據經驗并借鑒文獻［10］，初定了定子結構及其尺寸，但在隨后的定子數值計算中發現：若定子縱板與橫板厚度取相同值，則定子工作振型非常差；但當將它們的厚度設計成不同尺寸時，則能改善工作振型。據此并考慮定子的安裝及其自由邊界條件實現等問題，最后將縱、橫板厚分別設定為H1＝2 mm和H2＝3 mm。定子其它尺寸的初值列于表1中。

表1 定子結構的初始尺寸Tab．1 Theinitial size of the stator

3 定子結構動力學分析

3.1 分析模型

前文在模態假設的基礎上闡釋了電機的機理，但定子是否存在該模態，尚需通過結構動力學分析予以確認。根據薄板理論，對于形狀簡單的矩形板和圓板，采用解析法可精確求解結構的振型與固有頻率，但對于U型板這樣的異形結構，解析法是無能為力的，故本文只能借助數值法求解U型板的振動參數，并采用An-sys對定子進行結構動力學分析。

U型定子的電激彈性諧振，涉及到復雜的結構、力場、電場的耦合問題。用數值法求解其振動特征量時，須先將定子的彈性基體及其壓電陶瓷離散成多個結構單元，需在各單元設置若干節點且要在各節點定義位移自由度。對于壓電陶瓷單元，還要為節點定義電勢自由度，并引入壓電本構方程以描述單元的力電耦合關系。這樣，便可得定子有限元動力學方程

式中，［Mm］、［Km］分別為彈性基體單元質量陣和剛度陣；［Kme］、［Ke］分別表示壓電單元的壓電耦合陣和介電矩陣；｛F｝為定子與動子在接觸面上的廣義作用力；為壓電單元電極上的電荷；［δ］為節點位移向量；［qe］為節點電荷自由度向量。

表2 定子有限元分析的部分材料特性參數設定Tab．2 M aterials property model for the stator

采用ANSYS對方程（10）進行求解時，定子彈性基體采用八節點六面體單元Solid45進行網格劃分，壓電陶瓷則采用Solid5機電耦合單元實現網格化，并且根據電機驅動機理，為定子設定自由邊界條件。材料設置方面，壓電陶瓷選PZT8（15 mm×5 mm×1 mm），定子彈性體采用黃銅。定子計算時，設定的材料性能參數，如表2。圖7給出了定子有限元建模及其工作模態求解結果。

圖7 縱彎模態振型的數值計算結果Fig．7 Caculated work modes of themotor

3.2 尺寸優化

為保證驅動端質點作橢圓運動，定子兩相工作模態應盡可能純正且兩相工作模態頻率趨于一致，這有賴于定子結構尺寸優化。而要找到滿足頻率一致性的尺寸，并保證電機微型化、輕量化、大振幅，則需針對定子尺寸作模態靈敏度分析。事實上，該分析不僅是電機設計基礎，也是定子模態修正及電機調試的依據。考慮到前文計算已表明：只當縱板與橫板間有厚度差時，才能激發出純正工作模態，因此，靈敏度分析時將H1和H2尺寸固定。同時，根據驅動端結構及電機裝配要求，設定驅動端寬L3、橫板尺寸L2×B2及安裝孔徑R為定值。考慮到PZT不便作為優化變量，因此在優化時，主要對未粘貼PZT的彈性基體進行計算，得到優化尺寸。進而對粘貼了PZT定子進行模態修正，得到最終尺寸。定子頻率一致性優化模型的形式化表示為

式中，fL1、fB2分別表示定子一階縱振和二階彎振模態頻率；fobj為優化目標函數；xi，min，xi，max分別表示各相關結構尺寸的最小值和最大值。

圖8 定子尺寸對模態頻率一致性的影響Fig．8 Modal frequency versus the size of the stator

上述模態頻率一致的定子優化模型是一個多變量優化問題。求解該模型時，針對待優化變量，取定較小迭代步長，并利用Ansys逐一計算出變量迭代后的定子工作振形及模態頻率，從而尋得設計變量最佳值。圖8給出了計算所得的定子模態頻率靈敏度曲線。圖（a）表明，增大縱板大端寬L1，縱、彎模態頻率增大且當L1為5 mm時，兩相模態頻率相等；在圖（b）中，增大縱板定截端長度B1，則縱振頻率遞增而彎振頻率先增后降，且在B1為12．5 mm時，縱、彎頻率曲線最接近；圖（c）中，當縱板長B小于24．5 mm時，頻率一致性均較好，但當B為24 mm時，頻率一致性最佳。圖（d）為縱板大端長度B3的影響，當B3增大時，彎振曲線先增升、后變平坦，縱振頻率則持續增大，兩典線在B3為5．5 mm處交匯。根據計算，得到彈性基體的優化尺寸如表2。按該組尺寸制作的定子，既具較好的模態振型，又可使兩相工作模態頻差控制在較小范圍內。分析還表明，對于已制成定子，若模態頻率嚴重不一致，在模態修正時，可優先選取縱板大端長作為修正尺寸。

經尺寸優化的定子彈性基體，在粘貼了PZT后，其兩相模態頻差會增大且有f彎＞f縱，故還需對頻率一致性進行微調。為盡量減小對工作模型振型產生影響，本文通過在彎振節線處開小孔來降低了彎振頻率。計算表明，當孔徑為1．5 mm時，縱彎模態頻率差最小且模態較純正。圖7給出的即是定子的理論計算模態。可見，該模態與圖1所示假設工作模態大體上是一致的。

3．3 諧響應分析

若定子在正常激勵下所產生的振幅過小，電機將無法正常運行；同時，若工作模態附近存在多個振幅與工作模態相近的干擾模態，電機效率將嚴重下降。因此，在對定子進行結構動力學分析時，不僅要考慮頻率一致性問題，還需研究其諧響應特征。據此，本文用數值解法求取定子的頻響函數，圖9給出了定子縱、彎兩相振動頻響曲線，諧響應分析時的頻段設定在70～80 kHz，可見定子的縱、彎振工作模態頻率分別為76 379 Hz和76 588 Hz，二者相差甚小，頻率一致較理想。進而，本文對上述工作模態進行定頻計算，求得定子在200 V激勵時的彎振振幅為10．92μm，縱向振幅為11．26μm。兩相振動的振幅很接近，這表明定子處于近共振態時，足可產生電機驅動所需振幅，也說明電機能在速度和動力輸出上得到較好的平衡。

圖9 定子的理論計算頻響特性曲線Fig．9 Frequency harmonic response property

4 樣機實驗

4．1 掃頻試驗

為進一步驗證電機的工作模態的存在性，本文制作出定子的原型結構，并利用德國產Polytec激光多普勒測振儀PSV－300F－B對定子分別進行了掃頻和定頻試驗。圖10給出了定子掃頻結果，可見，縱振工作模態附近很寬的區域內不存在干擾模態。而在彎振頻響圖中，雖然呈現出一彎和二彎等兩個模態，但二者頻率相隔較大。這就說明，該電機工作時，干擾模態的影響將非常小。

圖10 利用激光測振儀測出的定子頻響曲線Fig．10 Frequency sweeping results

表3列出了工作模態頻率計算值與實驗結果的對比。不難看出，實測值與計算值存在一定偏差，分析其原因可能是由于：① PZT實際粘貼位置與理論位置相差較大：1．3 mm，計算表明該誤差將引起彎振大幅降低而縱振略有提高，同時PZT切割過程出現尺寸變化，也引起模態頻率變化。② 用ANSYS計算模態時，對定子做了較大簡化，忽略定子結構阻尼，且對定子邊界做了自由假定，這是造成計算與實驗結果不一致的又一原因；③ 實驗中用螺釘固定定子，螺釘的尺寸、質量、剛度、阻尼等也給模態頻率帶來一定影響，特別是定子用螺釘固定后，其剛度有所提高，造成縱彎頻率均增大；④ 定子加工裝配誤差對模態頻率產生影響。可見，加工后定子出現頻率變化也屬正常。本文通過調節彎振節點位置鉆4個小孔而對模態頻率進行了調節。

表3 模態頻率的數值計算與掃頻實驗結果Tab．3 Modalfrequency from calculation and experiment

圖11 電機裝配結構Fig．11 Assemble structure of themotor

4．2 裝配方案

圖11給出了電機的裝配方案，該電機由定子、底座、定子支座和預緊加壓機構等四部分組成。在電機底座的一端安裝動子滑座，動子導軌在驅動力作用下沿滑座做往復直線運動。為保證定子在振動時不宜與底座接觸，在支座夾持處設置一個與底座固連的槽型墊塊，這樣就使定子懸空于底座固定在支座上，并且限制其在工作平面的轉動。同時從支座后方采用調節螺釘對定子施加預壓力并使其與動子保持良好接觸。

4．3 運行試驗

為驗證電機原理及特性，搭建出電機驅動控制系統，如圖12，該系統主要由信號發器（AFG3022B）、容性負載高壓功率放大器（HFPA－42）和電機組成。圖（a）給出了試驗原理，圖中信號發生器輸出的兩路等幅同頻且相位差可調的簡諧信號，經功率放大后施加于定子PZT以激發工作模態，驅動電機運轉。圖（b）給出了定子實物結構及其電路接線。為檢驗電機原理，將電機裝配方案中的直線導軌改換滾動軸承。試驗表明：系統通電后，滾動軸承迅速啟動且能長時間穩定運轉；更換另一驅動端對軸承進行驅動時，軸承以幾乎相同的轉速同向穩定運轉。但若將輸入了電機的兩相電信號進行對調，即逆轉兩相模態激勵信號超前、滯后關系時，滾動軸承則反轉。這與預期結果相吻合，表明本文提出的電機原理完全可行。

圖12 直線超聲電機速度特性測試平臺Fig．12 Experiment system formotor running

基于上述驅制平臺，通過調節信號發生器輸出頻率以及調節功放增益，并采用手持速度表進行測速，本文測得了該電機的調頻速度曲線如圖13和調壓速度特性，如圖14。在進行調頻速度特性實驗時發現，當驅動信號頻率處在77．6 kHz到78．4 kHz之內時，電機運轉性能良好，特別是在頻率為78．11 kHz時，出現了速度峰值，但電機速度與驅動速率間不存在線性關系。從調壓速度曲線可見，在一定范圍內增大驅動電壓幅值，電機速度增大且它們存在一定線性關系。特別是，當兩相驅動信號相位差為90°，頻率為78．1 kHz，電壓幅值為240 V時，電機的最大速度達125．6 mm／s。

圖13 直線電機調頻速度特性Fig．13 Motor’s speed versus driving frequency

圖14 直線電機調壓速度特性Fig．14 Speed versus the amplitude of driving voltage

5 結 論

（1）提出一種基于U型變截面薄板面內復合模態驅動的直線超聲電機。電機選定U板兩縱向板一階反對稱縱振和二階對稱彎振模態作為工作模態。

（2）建立了定子縱振、彎振工作模態頻率一致性優化模型，優化出定子結構尺寸。

（3）制作出電機原理性樣機，通過定頻與掃頻實驗，驗證了電機工作模態的存在及其純正性。

（4）構建電機驅動控制平臺對電機進行驅動控制，驗證了電機機理的可行性及其運轉的穩定性。

（5）通過調節驅動電壓的頻率及幅值，可改變電機的速度。當驅動的電壓峰－峰值為240 V，且驅動頻率為 78．1 kHz，電機無負載最大速度達 125．6 mm／s。

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