基于AR模型和因子分析的結構損傷預警研究

刁延松，任 紅

（青島理工大學 土木工程學院，山東 青島 266033）

基于振動的結構損傷檢測方法近二十年來得到了快速發展［1－2］，損傷預警是結構損傷檢測的初級階段，主要用來確定結構是否已經發生損傷。損傷預警的原理十分簡單［3］：首先在結構正常運行時，提取結構健康狀態的動力響應特征參數（例如：模態特性），然后利用某種技術監測后續的未知狀態的動力響應特征參數是否發生偏離，若偏離，則發出損傷預警，否則結構健康。

事實上，土木工程結構在服役過程中會受到環境因素（溫度、濕度）的作用，并導致動力響應特征參數發生變化［4－5］，甚至會淹沒結構損傷引起的動力響應特征參數的變化，如果在損傷檢測過程中沒有考慮這些環境因素的影響，將導致錯誤的損傷檢測結果。環境因素的影響已成為限制損傷檢測技術成功應用于工程實際中的主要困難［6－7］，所以，去除環境因素對損傷檢測結果的影響非常重要。

迄今為止，人們提出了許多消除環境因素影響的振動損傷檢測方法，大致可以分為參數化的方法和非參數化的方法。參數化方法要建立動力響應特征參數與單個環境因素（溫度）之間的相互關系，主要有回歸分析和插值法［8－10］，參數化方法的優點是簡單實用，缺點是需測量環境因素，且未考慮其它潛在因素，而結構真實的運營條件復雜，是多種環境因素綜合在一起的，因此，該方法具有較大的局限性。非參數化方法不需要建立動力響應特征參數與環境因素之間的相互關系，主要有因子分析［11］、奇異值分析［12］、主分量分析［13］、支持向量機［14］、基于子空間法［15］，其優點是不需要測量環境因素，這對于難以獲得環境因素實測數據的土木工程結構的健康監測來說還是很有意義的。Yan等［16］利用主成份分析剔除了溫度對自振頻率的影響，Bellino等［17］研究了質量的變化對結構自振頻率的影響，并利用主成份分析法將質量變化的影響去除，Deraemaeker等［18］利用因子分析法去除溫度因素對頻率及振型的影響，取得了比較好的效果。Kullaa等［19］研究了操作變量（節點位置、荷載）對AR模型系數的影響，利用因子分析法去除了操作變量對AR模型系數的影響。

本文首次提出了考慮溫度影響的基于AR模型和因子分析的結構損傷預警方法，首先利用時間序列分析中的AR模型對結構損傷前后的加速度響應數據進行動態建模，并提取模型系數，其次利用因子分析去除溫度對AR模型系數的影響，構造結構損傷前后AR模型系數之間的歐式距離，最后利用標準差控制圖進行損傷預警研究。

1 原理

1.1 AR模型

觀測值｛Xt（t＝1，2，…，p）｝為一平穩的、零均值的隨機過程，若 Xt的取值與前 p步的各個取值 Xt－1、Xt－2、…Xt－p有關，則可以用一差分方程來表示它們的內在聯系［20］：

式中，p代表模型階次，φi（i＝1，2，…，p）為自回歸系數，φiXt－i表示 t－i時刻的“歷史值”Xt－i對 t時刻值 Xt的貢獻（或者影響），｛ɑt｝為均值為0、方差為 σɑ2白噪

聲序列。該模型所描述的｛xi｝是對其自身過去數值進行回歸，故稱為自回歸模型，簡稱AR模型。

1.2 去除溫度因素的影響

考慮環境因素影響的結構動力響應特征參數可以用下述方程描述為［21］：

式中：x為結構動力響應特征參數（模態參數、AR模型系數等）觀測值；f（T，h，…）為受環境（如溫度 T、濕度 h等）影響的結構動力響應特征參數方程；g（η）為受結構損傷模式η（損傷位置、損傷程度等）影響的結構動力響應特征參數方程。

因子分析是用少數幾個因子（之所以稱其為因子，是因為它是不可觀測的，不是具體的變量）去描述多變量之間的相互關系，即將相關比較密切的幾個變量歸在同一類中。因子分析將每個原始變量分解成兩部分：一部分由所有變量共同具有的少數幾個因子構成，即潛在因子；另一部分是僅對某一變量產生影響，為某一變量所特有的，即特殊因子。根據上述對因子分析的闡述結合方程（2），可以通過因子分析把方程（2）化成如下因子模型［21］：

式中，x代表p維觀測值向量，Λ為因子荷載矩陣（Λ∈Rp×m），ξ是m維不可觀測因素（潛在公共因子），g為p維特殊因子向量。

在本文的研究中，AR模型系數可以作為觀測值變量x，溫度視為公共因子ξ，它會影響AR模型系數。利用結構在無損及損傷狀態下所處的各種溫度情況下得到的AR模型系數來建立因子模型，利用該模型來剔除溫度對AR模型系數的影響，具體如下［19］：

在因子分析求解過程中，假設 ξ～N（0，I），I為單位矩陣；g～N（0，ψ），ψ為對角矩陣；其中ξ，g不相關：E（ξgT）＝0。

由因子模型可知x均值為0，則

因子分析求解過程如下［19］：

（1）求觀測值得協方差矩陣R：

由上式得，觀測值變量可以表示為：x～N（0，ΛΛT＋ψ）。

（2）由方程（5）可知，當ψ＝0時，對協方差矩陣R進行SVD分解可以得到Λ。

（3）ψ為未知量，可以通過迭代得到。在迭代過程中，對R－ψ進行SVD分解來估計因子荷載矩陣Λ，并且確定潛在因子個數m（m＜p）。ψ為對角矩陣，可由下式得到：

將ψ帶入方程（6）進行迭代，直到ψ收斂。

（4）求因子得分。

（5）最終求得去除溫度干擾的結構動力響應特征參數。

式中，特殊因子g是獨立變量，它不受溫度因素的影響，可以用于損傷檢測。如果結構的發生損傷，先前訓練的因子模型就不再適用于當前的狀況，需要重新進行因子分析，而結構損傷引起的動力響應特征參數的變化將存在于特殊因子中，特殊因子發生變化將預警結構發生損傷。

1．3 采用標準差控制圖進行損傷預警

將控制圖用于大型結構的損傷識別已經取得了一些研究成果［22－24］，這些方法大多是將控制圖與時間序列分析結合起來，即以時間序列模型參數來構建控制圖的樣本統計量。本文利用結構損傷前后AR模型系數構造歐氏距離作為樣本，計算樣本的標準差S，將標準差S作為統計量，繪制標準差控制圖進行結構損傷預警。

歐式距離是表示n維空間中兩個點之間的真實距離，計算公式如下［25］：

式中，i，j＝（1，2，…，n），dij表示第 i個樣本到第 j個樣本的歐式距離，xit和xjt分別表示第i個樣本和第j個樣本的p個指標所組成的向量。在本文中歐式距離為無損狀態下AR模型系數與各損傷工況的AR模型系數的距離。

建立控制圖就是計算控制圖的中心限和上下控制界限。設歐氏距離d為正態總體樣本X，X～N（μ，σ），x為取自X的樣本，標準差S作為樣本統計量。由《常規控制圖》查得標準差圖控制限計算公式如下［26］：

其中為子組標準差S的平均值；B3B4由《常規控制圖》附表查得。

在控制圖中可由點出界的個數來進行損傷判別。利用3σ準則取顯著性水平為0．997 3m控制置信水平的上下限。在結構正常狀況下，連續100個點中有3個或多于3個點超出控制界限的概率為0．002 6，是小概率事件，此概率值接近 0．002 7（1－0．997 3＝0．002 7），與3σ相近，因此采用的損傷判斷準則可以近似為：連續100個點中有3個或者多于3個點超出控制界限就可以判定結構發生損傷。

2 數值模擬

采用ANSYS建立了一個四層鋼框架的三維有限元模型，如圖1所示，基本參數：密度為7 800 kg／m3，泊松比μ＝0．3。柱、橫梁以及支撐采用BEAM4單元，頂板采SHELL63單元，頂板上堆積質量采用MASS21單元進行模擬。該模型共32個結點，192個自由度，50個BEAM4單元，1個SHELL3單元，4個MASS21單元，7種單元截面類型，模型與基礎固接。本文以Y向面Ⅱ的斜撐分別發生不同程度損傷作為研究對象，損傷是通過彈性模量的折減來實現的，溫度變化范圍為－20℃～40℃，鋼的彈性模量和溫度關系如圖2所示。

圖1 四層鋼框架數值模型Fig．1 Numericalmodel of a four-floor steel frame

圖2 鋼的彈性模量和溫度的關系Fig．2 Relationship betweenelasticity modulus of steel and temperature

表1 數值模擬損傷工況Tab．1 Damage scenarios of numerical simulation

本文采用的高斯白噪聲激勵采樣頻率為1 000 Hz，長度為49．152 s，利用ANSYS10．0的瞬態分析模塊，對模型節點9、10 Y向分別施加白噪聲激勵（均為無噪聲條件下），通過結構動力響應時程分析，獲取節點6的Y向加速度響應，其采樣頻率為500 Hz，持時為20 s，損傷工況如表1所示，共17種，其中單桿件損傷13種工況，兩桿件損傷4種工況。

對每種損傷工況，在－20～40℃范圍內每隔5℃分別采集節點6的前20 s的10 000個加速度響應數據，這樣每種工況下共得到13組不同溫度下的加速度響應數據，將每組10 000個數據均分為五個子塊，利用Matlab編制的程序獲得每個子塊的前4階AR模型系數，然后利用因子分析技術去除溫度對各工況下AR模型系數的影響，因為利用因子分析處理各工況每個子塊的AR模型系數的方法相同，限于篇幅，本文僅以工況一第一個子塊的AR模型系數為例，列出利用因子分析方法剔除溫度影響前后的AR模型系數，分別見表2和表3。按式（10）計算每種損傷工況在不同溫度下的歐式距離，將各溫度下歐式距離作為樣本，計算歐氏距離的標準差S；將標準差帶入式（11－12）計算控制界限，從而得到剔除溫度影響前后的S控制圖，如圖3－圖5所示。圖3為3號桿件損傷時剔除溫度影響前后的S控制圖，圖4為4號桿件損傷時剔除溫度影響前后的S控制圖，圖5為2、3號桿件同時損傷時剔除溫度影響前后的S控制圖。其中，圖3－圖5中控制上、下限值如表4所示。

表2 未剔除溫度影響前AR模型系數Tab．2 The AR model coefficients without tem perature effect removed

表3 剔除溫度影響后AR模型系數Tab．3 The AR model coefficients with tem perature effect removed

表4 控制圖限值Tab．4 Control lim its 0f control charts

通過圖3（a）和圖 3（b），圖4（a）和圖 4（b）以及圖5（a）和圖5（b）的對比可得，在未剔除溫度影響時，結構無損時有部分點散落在控制上限之外，而結構發生損傷時有部分點散落在控制上限以內，溫度的影響使S控制圖不能反應結構的真實損傷狀況。而利用因子分析剔除溫度影響后，結構無損狀態下的統計量點均分布在控制上限以內，發生損傷時的統計量點則分布在控制上限之外，能夠準確的判斷結構已發生損傷，從而進行損傷預警。但從圖5（b）可知，工況15的統計量點均分布在控制上限以內，據此可判斷結構未發生損傷，然而這與實際情況不符，顯然出現了誤判現象。

圖3 剔除溫度影響前后3號桿件損傷的S控制圖Fig．3 S－control charts with and without temperature effect for 3rd element damage

圖4 剔除溫度影響前后4號桿件損傷的S控制圖Fig．4 S－control charts with and without temperature effect for 4th element damage

圖5 剔除溫度影響前后2、3號桿件同時損傷的S控制圖Fig．5 S－control charts with and without temperature effect for 2，3th element damage

3 結 論

本文首次提出了考慮溫度影響的基于AR模型和因子分析的結構損傷預警方法，首先利用時間序列分析中的AR模型對結構損傷前后的加速度響應數據進行動態建模，并提取模型系數，其次利用因子分析去除溫度對AR模型系數的影響，構造結構損傷前后AR模型系數之間的歐式距離，最后利用標準差控制圖進行結構損傷預警研究。數值模擬結果表明，在溫度變化的條件下，利用AR模型結合因子分析及統計控制圖可以準確判斷四層鋼框架結構是否發生損傷，從而進行損傷預警，但該方法對激勵較為敏感，該方法的優點是不需要有限元模型和模態參數，屬于數據驅動的方法，適于進行實時的結構健康監測。本文僅僅成功地對該方法進行了數值模擬，若要將該方法用于實際工程，還需進一步進行實驗研究，同時由于環境因素除了溫度之外，還包括濕度、風、質量的變化等等，未來還應在這些方面進一步開展研究。

［1］Doebling SW，Farrar CR，Prime M B．A summary review of vibration-based damage identificationmethods［J］．Shock and Vibration Digest，1998，30（2）：91－105．

［2］Sohn H，Farrar C R，Hemez F M，et al．A review of structural healthmonitoring literature：1996－2001［M］．Los Alamos， New Mexico： Los Alamos National Laboratory，2004．

［3］Zhou H F，Ni Y Q，Ko JM．Eliminating temperature effect in vibration-based structural damage detection［J］．Journal of Engineering Mechanics，2011，137（12）：785－796．

［4］Liu C Y，DeWolf J T．Effect of temperature on modal variability of a curved concrete bridge under ambient loads［J］．Journal of Structural Engineering，2007，133（12）：1742－1751．

［5］Zhou H F，Ni Y Q，Ko JM，et al．Modeling of wind and temperature effects on modal frequencies and analysis of relative strength of effect［J］．Wind and Structures，2008，11（1）：35－50．

［6］Farrar C R，Jauregui D A．Comparative study of damage identification algorithms applied to a bridge：I．Experiment［J］．Smart Materials and Structures，1998，7（5）：704－719．

［7］Ko J M，Ni Y Q．Technology developments in structural health monitoring of large-scale bridges［J］．Engineering Structures，2005，27（12）：1715－1725．

［8］Worden K，Sohn H，Farrar C R．Novelty detection in a changing environment：regression and interpolation approaches［J］．Journal of Sound and Vibration，2002，258（4）：741－761．

［9］Kim J T，Park J H，Lee B J．Vibration-based damage monitoring in model plate-girder bridges under uncertain temperature conditions［J］．Engineering Structures，2007，29（7）：1354－1365．

［10］Moaveni B， Behmanesh I． Effects of changing ambient temperature on finite elementmodel updating of the Dowling Hall Footbridge［J］．Engineering Structures，2012，43：58－68．

［11］Kullaa J． Elimination of environmental influences from damage-sensitive features in a structural health monitoring system［C］／／Proceedings of the First European Workshop on Structural Health Monitoring． DEStech Publications，Lancaster，Pennsylvania，2002：742－749．

［12］Vanlanduit S，Parloo E，Cauberghe B，et al．A robust singular value decomposition for damage detection under changing operating conditions and structural uncertainties［J］．Journal of Sound and Vibration，2005，284（3－5）：1033－1050．

［13］Hu W H，Moutinho C，Caetano E，et al．Continuous dynamic monitoring of a lively footbridge for serviceability assessment and damage detection［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2012，33：38－55．

［14］Oh CK，Sohn H．Damage diagnosis under environmental and operational variations using unsupervised support vector machine［J］．Journal of Sound and Vibration，2009，325（1－2）：224－239．

［15］Basseville M，Bourquin F，Mevel L，et al．Handling the temperature effect in vibration monitoring：two subspace-based analytical approaches［J］．Journal of Engineering Mechanics，2010，136（3）：367－378．

［16］Yan A M，Kerschen G，De Boe P，et al．Structural damage diagnosis under varying environmental conditions—part I：a linear analysis［J］． Mechanical Systems and Signal Processing，2005，19（4）：847－864．

［17］Bellino A， Fasana A， Garibaldi L， et al． PCA-based detection of damage in time-varying systems［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（7）：2250－2260．

［18］ Deraemaker A，Reynders E，Roeck G D，et al．Vibration-based structural health monitoring using output-only measurements under changing environment［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22（1）：34－56．

［19］ Kullaa J，Heine T．Feature comparison in structural health monitoring of a vehicle crane［J］．Shock and Vibration，2008，15（3－4）：207－215．

［20］吳令紅，熊曉燕．基于時間序列分析的結構損傷檢測［J］．煤礦機電，2009，4：71－75．WU Ling-hong， XIONG Xiao-yan． StructuraI damage detection based on time series anaIysis［J］．Colliery Mechanical and Electrical Technology，2009，4：71－75．

［21］吳森，韋灼彬．基于小波包能量譜和因子分析的結構損傷識別方法［N］．解放軍理工大學學報（自然科學版），2011，12（5）：525－530．WUSen， WEI Zhuo-bin． Method of structural damage identification based on wavelet packet energy spectrum and factor analysis［N］．Journal of PLA University of Science and Technology（Natural Science Edition），2011，12（5）：525－530．

［22］Kullaa J．Damage detection of the Z24 bridge using control charts［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17（1）：163－170．

［23］Sohn H，Farrar C R，Hunter N F，et al．Structural health monitoring using statistical pattern recognition techniques［J］．Journal of Dynamic Systems Measurementand Control，2001，123（4）：706－711．

［24］Fugate M L，Sohn H，Farrar C R．Vibration-based damage detection using statistical process control［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2001，15（4）：707－721．

［25］陳志為，林友勤，任偉新．用AR模型判斷結構損傷的方法［J］．福州大學學報，2005，33（s1）：301－304．CHENZhi-wei，LIN You-qin，REN Wei-xin．A method of structural damage abnormalty with AR modal［J］．Journal of Fuzhou University，2005，33（s1）：301－304．

［26］GB／T 4091－2001，常規控制圖［S］，北京：中國標準出版社，2001．