角接觸球軸承的動態參數建模與試驗研究

王連寶，胡小秋，馮朝暉，楊 堯

（南京理工大學 機械工程學院，南京 210094）

高檔數控機床的主軸系統、進給系統必須具有良好的動態特性［1－2］。角接觸球軸承作為機床常用的支承部件，其動態特性是主軸和進給系統的薄弱環節，直接影響著系統整體的動力學性能，因此研究角接觸球軸承的動態特性具有重要意義。

對于角接觸球軸承的動態特性，國內外學者已經做了大量研究，但大多研究集中在提出和求解不同的力學分析模型［3－10］，這些分析模型基于許多假設，如Hertz彈性接觸理論、剛性套圈理論和滾道控制理論等，并不能獲取軸承在實際工況下的動態特性數據；少數學者分析了轉速、間隙等因素對軸承或轉子系統穩定性、振動特性的影響［4，11］，而對軸承的動態剛度和阻尼特性試驗分析，涉及較少。應用試驗研究不同的載荷條件對角接觸球軸承動態剛度和阻尼特性的影響具有重要的價值。

本文忽略了軸承徑向與軸向動態參數之間的耦合影響，建立了考慮基礎響應的單自由度動態參數測試模型。試驗采用正弦掃頻激勵方式，忽略激振力（遠小于軸承的外加載荷）對軸承動態參數的影響，所以外載不變時可以將軸承系統簡化為線性時不變模型。

1 軸承動態參數建模

在實際應用中，角接觸球軸承普遍成對使用，搭建的試驗裝置采取一對軸承“背靠背”安裝。以軸承組件為研究對象，主要包括心軸、一對軸承和一對軸承套等。軸承內圈與心軸之間、外圈與軸承套之間均采用過盈配合，且心軸的長徑比小（即心軸自身彎曲的模態頻率較高），可將過盈配合面作固定結合面來處理，將心軸視為質量塊（即剛體）。由于固定結合面剛度數量級比滾動結合面高出1～2個數量級，因此本文建立的參數識別模型僅考慮軸承滾動結合面。目前，在機床結構的動態特性分析中，結合面接觸特性一般采用數個粘彈性彈簧阻尼單元等效代替，本文的軸承滾動結合面接觸特性也采用粘彈性單元處理。

1.1 徑向動態參數識別模型

當施加軸向力Fa（即預緊力）、徑向力Fr1與Fr2時，左右軸承滾動結合面可以這樣處理：在軸承徑向中性面上，內外套圈之間均勻布置4個相同的彈簧阻尼單元。軸承的徑向動態參數等效模型如圖1所示。

圖1 軸承徑向動態參數等效模型Fig．1 Radialdynamic parameters equivalentmodel of bearing

若Fr＝Fr1＝Fr2，則左右軸承受力狀況一致，此時左右軸承的動態特性是相同的，即：單元剛度Kr1＝Kr2，單元阻尼Cr1＝Cr2。當模態試驗激勵位置位于心軸幾何中心P處，根據彈簧的并聯關系，可以將參數識別模型進一步簡化為考慮基礎（軸承套）響應的單自由度徑向動態參數測試力學模型，如圖2所示。

圖2 軸承徑向動態參數測試力學模型Fig．2 Radialmechanicalmodel for testing dynamic parameters of bearing

當心軸受到簡諧激振力f（t）作用時，其振動微分方程可以表述為

式中：M為心軸、軸承內圈和一半軸承滾珠的質量之和，KR、CR分別為軸承組件滾動結合面的徑向動態剛度和阻尼，x、y分別為心軸、基礎（軸承套）的徑向響應位移。

對式（1）進行以下傅里葉變換：x＝X（ω）ejωt，y＝Y（ω）ejωt，f＝F（ω）ejωt，可得

令式（2）左邊為 H（ω），HY（ω）＝Y（ω）／F（ω），HX－Y（ω）＝（X（ω）－Y（ω））／F（ω），則由質量 M、剛度KR、阻尼CR組成的單自由度振動系統位移頻響函數H（ω）可以表述為

式中：HX－Y（ω）為心軸與基礎的頻響函數矢量差，HY（ω）為基礎位移頻響函數。

因此，軸承組件滾動結合面的徑向剛度KR和阻尼CR可由下式得到

式中：固有頻率ωn、阻尼比ξ為H（ω）的對應模態峰值頻率和模態阻尼比，由式（3）識別獲取。

由于兩個軸承的并聯關系，所以單個軸承的徑向剛度KR0和阻尼CR0可以表述為

1.2 軸向動態參數識別模型

與徑向動態參數等效模型類似，軸承的軸向動態參數等效模型如圖3所示。

圖3 軸承軸向動態參數等效模型Fig．3 Axial dynamic parameters equivalentmodel of bearing

圖4 軸承軸向動態參數測試力學模型Fig．4 Axialmechanicalmodel for testing dynamic parameters of bearing

當左右軸承受力狀況相同時，軸承的軸向動態參數識別模型可以簡化為考慮基礎（軸承套）響應的單自由度軸向動態參數測試力學模型，如圖4所示。

同樣地，可得由質量M、剛度KA、阻尼CA組成的單自由度振動系統位移頻響函數H（ω）為

式中：HX－Y（ω）、HY（ω）與式（3）意義相同。

因此，軸承組件滾動結合面的軸向剛度KA和阻尼CA可以由下式得到

式中：固有頻率ωn、阻尼比ξ為H（ω）的對應模態峰值頻率和模態阻尼比，由式（8）識別獲取。

單個軸承的軸向剛度KA0和阻尼CA0可以表述為

2 試驗部分

2.1 試驗裝置

試驗裝置由兩部分組成：一是機械部分，主要由軸向加載機構1、軸承組件4、徑向加載機構5、軸承座體和基板等構成；二是測試部分，采用南京安正公司研制的CRAS模態分析系統和北京昆侖公司生產的靜力測試系統，主要包括加速度傳感器2、徑向激振器3、力傳感器6、軸向激振器7、安裝CRAS軟件的計算機8、信調儀9、數采器10、功率放大器11和CHB數顯表12等。其中，軸向加載機構1采用不同旋向的雙螺桿結構。圖5為軸承軸向模態試驗的實物圖。

圖5 軸承動態參數測試試驗裝置Fig．5 Test device for testing dynamic parameters of bearing

2.2 模態試驗

利用自主搭建的試驗裝置，測試了NSK系列5組軸承（NSK 30TAC 62A，NSK 35TAC 72A，NSK 40TAC 72A，NSK 45TAC 75A，NSK 50TAC 100A），分別測試了較大范圍內的徑向載荷與軸向載荷作用時軸承的軸向、徑向動態剛度和阻尼。與文獻［8－9］對比，本文的試驗曲線與文獻值趨勢一致。

3 試驗結果及討論

3.1 軸向載荷對動態特性的影響

圖6～7分別為NSK 50TAC 100A軸承的軸向剛度KAO、軸向阻尼CAO和徑向剛度KRO、徑向阻尼CRO隨軸向載荷Fa的變化情況。

從圖6可以看出，隨著Fa的增大，KAO、KRO逐漸增大，但增幅越來越小；當Fa達到一定值時，Fa的進一步增加對KAO、KRO的影響不大。這是因為：兩個表面接觸時，其實際接觸發生在兩個表面上的一些微凸體之間［12］。當Fa較低（即軸承滾動結合面法向載荷較低）時，結合面間的實際接觸發生在少數較高的微凸體頂端之間，此時結合面法向動剛度較小，其軸向、徑向的剛度分量也較小，故KAO和KRO較低；當Fa較高時，一方面發生實際接觸的微凸體增多，另一方面已發生接觸的微凸體進一步變形，其接觸面積也隨之增大，二者綜合作用的結果使結合面的實際接觸面積增大，從而結合面法向動剛度增大，故KAO和KRO逐漸增大；由于在一定的Fa下，實際接觸面積的大小與接觸變形量成反比，所以隨著Fa的增大，實際接觸面積增速越來越慢，故KAO和KRO增幅逐漸減小；當Fa達到一定值時，Fa的進一步增加對實際接觸面積的增大影響很小，所以KAO和KRO趨于某值。

從圖7可以看出，隨著Fa的增大，CAO、CRO先減小后增大。這是因為：承受動載荷的兩個表面接觸會產生庫倫摩擦阻尼和結合面阻尼，前者源于結合面之間宏觀相對滑動的干摩擦耗能，后者是接觸區局部塑性應變（微觀相對滑移）而產生的能量損耗［13］。當Fa較低時，實際接觸的微凸體較少，且其頂部分主要產生彈性變形，結合面易于產生宏觀相對滑動，此時結合面以庫倫摩擦阻尼耗能為主，結合面阻尼影響較小；隨著Fa的增大（仍然較低），結合面仍以庫倫摩擦耗能為主，但能力降低，所以結合面法向阻尼會減小，故CAO和CRO會逐漸減小；當Fa較高時，接觸的微凸體增多，且其頂部分達到屈服強度而產生了塑性變形，在動載荷（激振力）作用下結合面之間發生微觀相對滑移，此時結合面以結合面阻尼耗能為主，隨著Fa的增大，接觸區愈來愈多的微凸體接觸且發生塑性變形，結合面阻尼的耗能能力逐漸增強，所以CAO和CRO逐漸增大。

圖6 軸向載荷對剛度的影響曲線Fig．6 Influencing curve of axial load on the stiffness

圖7 軸向載荷對阻尼的影響曲線Fig．7 Influencing curve of axial load on the damping

圖8 徑向載荷對剛度的影響曲線Fig．8 Influencing curve of radial load on the stiffness

3.2 徑向載荷對動態特性的影響

圖8～9分別為NSK 50TAC 100A軸承當軸向載荷Fa＝3 500 N時軸承的軸向剛度KAO、軸向阻尼CAO和徑向剛度KRO、徑向阻尼CRO隨徑向載荷Fr的變化情況。

從圖8可以看出，隨著Fr的增大，KAO、KRO逐漸增大，但增幅越來越小。這是因為：當 Fr作用時，軸承內、外圈之間產生相對徑向位移，上半圈滾珠接觸變形量會減小，下半圈滾珠接觸變形量會增大，而結合面的綜合法向動剛度會增大，故KAO和KRO逐漸增大；隨著Fr的進一步增大，上、下半圈結合面的實際接觸面積之和增長趨緩，故KAO和KRO增幅逐漸減小。

圖9 徑向載荷對阻尼的影響曲線Fig．9 Influencing curve of radial load on the damping

從圖9可以看出，隨著Fr的增大，CAO、CRO先增大后減小再增大。這是因為：據圖7知，當Fa＝3 500 N時軸承以結合面阻尼為主要的能量耗損方式；當Fr在一定范圍內增長時，軸承結合面耗能方式以結合面阻尼為主，上、下半圈結合面法向阻尼分別減小、增大，而結合面的綜合法向阻尼會增大，故CAO和CRO會逐漸增大；當Fr繼續增大，軸承結合面耗能發生變化——上、下半圈分別以庫倫摩擦阻尼、結合面阻尼為主，而上半圈結合面耗能能力減小量大于下半圈結合面的增加量，即結合面的綜合法向阻尼會減小，故CAO和CRO在該階段將逐漸減小；當Fr進一步增大，上、下半圈結合面的實際接觸面積分別繼續減小、增大，此時上半圈結合面耗能能力減小量小于下半圈結合面的增加量，即結合面的綜合法向阻尼會增大，故CAO和CRO將再次趨于增大。

4 結 論

（1）本文搭建了角接觸球軸承動態參數識別試驗裝置，采用粘彈性彈簧阻尼單元等效軸承滾動結合面，提出了考慮基礎響應的單自由度動態參數測試力學模型，識別角接觸球軸承在不同軸向載荷Fa、徑向載荷Fr工況下的動態特性參數；

（2）當Fr＝0 N時，隨著Fa的增大，軸承的軸向剛度KAO和徑向剛度KRO逐漸增大，且增幅逐漸減小；軸向阻尼CAO和徑向阻尼CRO先增大后減小；

（3）當Fa一定時，隨著Fr的增大，軸承的軸向剛度KAO和徑向剛度KRO逐漸增大，且增幅逐漸減小；軸向阻尼CAO和徑向阻尼CRO先增大后減小再增大。

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