利用和聲搜索算法求解投資組合最優化研究

何紅+拓守恒

文章編號：1001-148X（2014）04-0142-07

摘要：隨著社會的進步， 經濟呈多元化趨勢發展， 多元化的投資就顯得尤為重要。為了使投資收益盡可能大、風險盡可能小，通過對基數約束均值-方差模型進行詳細分析，本文提出了基于和聲搜索算法的投資優化組合求解算法，通過對5個投資案例進行仿真測試，驗證采用這種算法是有效可靠的。

關鍵詞：投資優化組合；和聲搜索算法； 基數約束均值-方差模型

中圖分類號：F83059 文獻標識碼：A

收稿日期：2013-12-30

作者簡介：何紅（1978-），女，陜西蒲城人，陜西理工學院歷史文化與旅游學院教師，研究方向：區域旅游經濟；拓守恒（1978-），男，寧夏中衛人，陜西理工學院數學與計算機科學學院副教授，研究方向：智能優化算法與信息處理。

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目，項目編號：12JK0147；陜西（高校）哲學社會科學重點研究基地漢水文化研究中心計劃項目，項目編號：SLGH1248。受國際金融風暴的影響，人們開始專注于多種投資理財，投資者在進行投資目標選擇時必然要考慮投資的收益和風險問題，怎樣選擇最優的投資優化（Portfolio optimization: PO）方案成為重要課題。和聲搜索（Harmony Search：HS）算法是一種新型的群體智能優化算法，近年來得到了廣泛應用，但對投資組合優化問題卻鮮有應用。本文提出一種改進的和聲搜索算法，并試圖用其進行投資組合優化問題求解。

一、CCMV投資優化模型帶有基數約束的投資組合優化模型 ［1-2］是建立在MV模型基礎之上，引入了風險規避參數，具體模型如下：minf(X)=(1－λ)?Re－λ?Ri(1)Ri=∑Di=1∑Dj=1xixjδij(2)Re=∑Di=1xiμi(3)st∑Di=1zi=K(4)∑Di=1xi=1 (5)ξizi≤xi≤ζizi, zi∈{0,1},i=1,…,D.(6)公式（1）中Re表示投資收益，Ri表示投資風險，λ是風險規避參數；公式（2）-（5）中，D表示可投資的資產總數目，μi是第i種投資的期望收益率(i=1,2,…,D),xi表示第i種資產的投資比例， δij表示第i種資產與第j中資產之間的協方差；zi表示第i中資產是否要選擇投資，若zi=1，表示選擇第i種資產進行投資，zi=0，表示不對其進行投資，K表示可選擇投資的資產總數量；ξi和ζi分別表示第i種投資在總投資中所占比例的下限和上限。從公式（1）的目標函數可以看出：當λ=0時，不考慮投資風險，優化的目標是收益最大化；反之，當λ=0時，不考慮投資收益，僅僅選擇投資風險最小的資產進行投資。當然，投資選擇需要同時考慮收益和風險，目的是收益盡可能大，風險盡可能小。因此，需要在收益和風險之間找的一種平衡。當λ在（0,1）之間任取值λ′，都會獲得相應的期望收益Re′和風險值Ri′，所有λ在（0,1）中的取值，得到的（Re′，Ri′）就構成了問題的有效前沿。CCMC模型是一種約束優化問題，求解算法必須保證獲得的最優解是可行解，一般對于約束優化問題都采用約束處理技術，比如罰函數法等，但是計算代價很大，并且效果不一定理想。由公式（4）-（5）可以看出約束條件是混合的二次整數規劃問題。對公式（4），如果K*=∑Di=1zi>K,根據風險規避參數Ci的值（公式7），采用輪盤賭算法隨機選擇（Ci值小的被選中概率較大）一些資產將其去除；反之，如果K*

二、利用和聲搜索算法求解CCMV投資優化模型（一）標準HS算法HS算法中的幾個重要概念：（1）和聲記憶庫（harmony memory:HM），類似于遺傳算法中的種群，初始時在搜索空間內隨機產生。HM=X1

X2



XHMS=x11x12…x1D

x21x22…x2D



xHMS1xHMS2…xHMSD（2）和聲記憶庫選擇概率（Harmony memory consideration rate：HMCR）。（3）音高調整概率(pitch-adjusting rate:PAR)。（4）音高調整步長(pitch bandwidth:BW)。標準和聲搜索算法思想如下：（1）產生新和聲Xnew=(x1,x2,…,xD)，產生方法如下：if rand

{xnewi=xai(a=U{1,2,…,HMS}

if rand

xnewi=xnewi±rand×BW(i)}

else

xnewi=xLi+rand×(xUi-xLi) （2）判斷Xnew是否比和聲記憶庫最差和聲Xidworst（idworst是HM中最差和聲的索引）。如果是，將其用Xnew替換。（3）重復（1）（2）直到結束條件滿足。（二）改進的HS算法HS算法具有很強的全局探索能力，但是求解精度較低，學者們對HS做了很多改進 ［3-4］，并且在實踐中得到了很好應用。例如無線傳感器網絡優化，電力系統優化配置等工程優化領域［5-10］。本文提出一種動態降維調整策略對和聲搜索算法改進，將其應用于投資組合優化問題。由于投資組合優化問題是高維復雜優化問題，算法容易陷入局部搜索而丟失全局最優解。本文算法的主要思想是對一個高維復雜優化問題，為了保證算法的全局探索能力，在搜索開始時采用多維度擾動，隨著搜索的進行逐步減少擾動維數。到了后期，為了獲得高精度的最優解，算法進行少維度調整，主要進行局部搜索，算法偽代碼如下：

基于動態降維調整策略的和聲搜索算法While t

If rand < PAR  xnewi=xnewi±rand?BW(i); %規則②

EndIf

Else xnewi = xLi  + rand?(xUi -xLi ); %規則③

EndEndIF

EndFor t=t+1;EndWhile本文算法流程如圖1所示。在本文算法中，調整概率TP=TPmax－(TPmax－TPmin)?(t/Tmax)2 隨著迭代次數的增加逐步減小（如圖2），其中TPmax 和TPmin分別為最大調整概率值和最小調整概率值。在算法優化開始時，以較大的概率TPmax進行擾動，主要進行全局探索優化，隨著搜索的進行，調整概率TP隨之變小，使得搜索逐步從全局探索變為局部微調。設置J=ceil(rand*D)是為了防止優化調整概率太小，可能導致所有維都得不到調整。因此，需要從1到D中隨機選取一維J ，使得該維必須得到調整，避免了算法“空轉”。（類似于差分進化算法進行交叉時，隨機選擇1個J，使其能夠得到交叉的機會）。另外，本文算法中的參數PAR和BW與算法IHS［4］中的更新一致，根據算法的迭代動態更新。對于投資組合優化問題，和聲記憶庫HM中每一個和聲X就是一種投資分配方案，通過本文的動態和聲調整策略，使其HM的中和聲得到優化。由于CCMV模型中不同的λ會產生不同的最優投資方案，可以讓λ從0以較小的步長變化到1，這樣產生的多個最優投資形成了最優有效前言，具體方法如下列偽代碼：For λ=0:step:1利用本文和聲搜索算法計算最優投資方案X*;計算此時的風險與收益（Re，Ri），并將其記錄在最優前端（Pareto）集合中。

End圖1 基于動態降維調整的和聲搜索算法流程圖圖2調整概率TP變化曲線三、仿真實驗為了評估本文算法對投資組合優化問題的優化性能，選取5組測試數據（HangSeng 31種資產； DAX100 85種資產；FTSE100 89種資產；S&P100 98種資產；Nikkei 225種資產），測試數據來源于http://peoplebrunelacuk/~mastjjb/jeb/orlib/portinfohtml。實驗1問題參數設置：準備投資資產總數K不限，投資比例下上限不限，λ=0:002:1（讓λ從0以步長002變化到1）。實驗2問題參數設置：準備投資資產總數K=10，投資比例下上限：ξi=001，ζi=1，λ=0:002:1。本文算法參數設置如表1。算法仿真實驗是在Lenovo PC電腦Inter(R) Core(TM) i5-3407CPU @32GHz, 4GB內存，Windows XP操作系統，所有測試程序采用Matlab R2009a編寫。為了比較本文算法的性能，將其和遺傳算法（GA）、粒子群優化（PSO）算法、模擬退火算法（SA）、禁忌搜索（TS）進行比較，保證比較的公平性，對每一個測試問題，算法獨立運行20次，選取平均值進行比較。實驗結果的評價指標如下：（1）到最優前端平均距離（Mean Euclidian distance）。根據λ計算得到的收益與風險的有效前沿與標準最優前端之間的平均距離。（2）收益率誤差方差（Variance of return error）。（3）收益率誤差均值(Mean return error)。實驗1的測試結果如表2，本文算法獲得的最優有效前端如圖3-圖7。

表1 本文算法參數設置HMSHMCRPARBWTP目標函數評價次數FEs100.99PARmax=0.99

PARmin=0.1BWmax=(xU-xL)/20

BWmin=(xU-xL)/(1e+8)TPmax=0.6

TPmin=5/D1000D

表2 實驗1測試結果比較測試數據[]評價指標[]GA[]PSO[]TS[]SA[]本文算法HangSeng[]到最優前端平均距離[]5.9007E-04[]7.4137E-04[]5.9764E-04[]6.0520E-04[]9.71433E-07D=31[]收益率誤差方差[]0.2898 []0.3928 []0.2904 []0.2913 []0.0251[]收益率誤差均值[]0.1064 []0.1301 []0.1070 []0.1093 []0.0101DAX100[]到最優前端平均距離[]1.1499E-03[]1.3617E-03[]1.2407E-03[]1.1801E-03[]3.3906E-06D=85[]收益率誤差方差[]0.3073 []0.3928 []0.2904 []0.2913 []0.2008[]收益率誤差均值[]0.1151 []0.1301 []0.1070 []0.1093 []0.0217FTSE100 []到最優前端平均距離[]3.0260E-04[]3.3286E-04[]3.1773E-04[]3.2530E-04[]3.6412E-06D=89[]收益率誤差方差[]0.5021 []0.5360 []0.7030 []0.6694 []0.2571[]收益率誤差均值[]0.0574 []0.0638 []0.0578 []0.0579 []0.0319S&P100 []到最優前端平均距離[]6.2033E-04[]7.8676E-04[]6.2033E-04[]6.2033E-04[]3.8627E-06D=98[]收益率誤差方差[]0.6097 []0.6857 []1.0011 []0.9504 []0.2880[]收益率誤差均值[]0.2130 []0.2460 []0.1248 []0.1474 []0.0268Nikkei[]到最優前端平均距離[]1.5024E-03[]2.8747E-04[]1.5130E-04[]1.8610E-04[]1.0058E-05 D=225[]收益率誤差方差[]0.2112 []0.4253 []0.2178 []0.2105 []0.1836[]收益率誤差均值[]0.9332 []0.1401 []0.0737 []0.0723 []0.1900

實驗2的測試結果如表3，本文算法獲得最優有效前沿和標準最優前沿比較如圖8-圖12。從表2可以看出對于實驗1，5組測試數據，“本文算法獲得最優前端”距離“標準最優前端”的平均距離都小于1E-05,非常接近最優前端，并且本文算法對3個評價指標的測試結果都明顯好于GA、PSO、TS和SA。由圖3-圖7來看，本文算法獲得的最優前端和標準最優前端幾乎是重疊的，并且分布非常均勻，說明本文算法在不對投資比例和投資數目做限制時是可行有效的。

表3實驗2測試結果比較測試數據[]評價指標[]GA[]PSO[]TS[]SA[]本文算法HangSeng[]到最優前端平均距離[]3.9E-03[]4.9E-03[]3.95E-03[]4.0E-03[]7.73E-05D=31[]收益率誤差方差[]1.6541[]2.2421[]1.6578[]1.6628[]1.6205[]收益率誤差均值[]0.6072[]0.7427[]0.6107[]0.6238[]0.6051DAX100[]到最優前端平均距離[]7.6E-03[]9.0E-03[]8.2E-03[]7.8E-03[]1.47E-04D=85[]收益率誤差方差[]1.7541[]2.2421[]1.6578[]1.6628[]1.2642[]收益率誤差均值[]0.6572[]0.7427[]0.6107[]0.6238[]0.7093FTSE100 []到最優前端平均距離[]2.0E-03[]2.2E-03[]2.1E-03[]2.15E-03[]3.72E-05D=89[]收益率誤差方差[]2.866[]3.0596[]4.0123[]3.8205[]2.6632[]收益率誤差均值[]0.3277[]0.364[]0.3298[]0.3304[]0.394S&P100[]到最優前端平均距離[]4.1E-03[]5.2E-03[]4.1E-03[]4.1E-03[]7.34E-05D=98[]收益率誤差方差[]3.4802[]3.9136[]5.7139[]5.4247[]3.6033[]收益率誤差均值[]1.2158[]1.404[]0.7125[]0.8416[]0.9746Nikkei[]到最優前端平均距離[]9.93E-03[]1.9E-03[]1E-03[]1.23E-03[]7.73E-05D=225[]收益率誤差方差[]1.2056[]2.4274[]1.2431[]1.2017[]1.1805[]收益率誤差均值[]5.3266[]0.7997[]0.4207[]0.4126[]0.6051圖3 實驗1中數據HangSeng（D=31）的最優前沿比較圖4 實驗1中數據DAX100（D=85）的最優前沿比較圖5 實驗1中數據FTSE100（D=89）的最優前沿比較圖6 實驗1中數據S&P100（D=98）的最優前沿比較

endprint

從表3可以看出對于實驗2，5組測試數據，“本文算法獲得最優前端”距離“標準最優前端”的平均距離都小于1E-04,也很接近最優前端。與GA、PSO、TS、SA相比，本文算法對第1個評價指標的測試結果明顯占優，對其它2個指標也具有一定的優勢。由圖8-圖12可以看出（標準最優前端是在沒有對投資數目和投資比例做限制時獲得的），本文算法獲得的最優前端和標準最優前端也很接近，并且分布也較為均勻。圖7 實驗1中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較圖8 實驗2中數據HangSeng（D=31）的最優前沿比較圖9 實驗2中數據DAX100（D=85）的最優前沿比較圖10 實驗2中數據FTSE100（D=89）的最優前沿比較圖11 實驗2中數據S&P100（D=98）的最優前沿比較圖12 實驗2中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較

四、結論分析本文提出的動態調整策略是為了在全局探索（Exploration）和局部開發(Exploitation)之間實現有效平衡，在迭代初期需要較強的全局擾動能力，此時可以在優化目標向量 xnew上加大擾動力度，增強種群多樣性，使其具有較強的全局探索能力。隨著優化的進行，到了后期，多數個體可能已經聚集在了全局最優解附近，此時開始加強局部最優解的探索。為了有較高的成功率，對優化目標向量 xnew，選擇較少的維數進行優化調整，從而增強算法的求解精度。通過2個實驗來看，本文算法對投資組合優化問題的求解是可行有效的。

參考文獻：

［1］ T.J. Chang, N. Meade, J.E. Beasley, Y.M. Sharaiha, Heuristics for cardinality constrained portfolio optimization［J］．Computers & Operations Research,2000,27:1271-1302.

［2］ 王貞. 幾類投資組合優化模型及其算法［D］．西安：西安電子科技大學,2012.

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［4］ M. Mahdavi, M. Fesanghary, and E. Damangir.An improved harmony search algorithm for solving optimization problems［J］． Appl. Math.Comput., 2007，188（2）：1567-1579.

［5］ Hoang D C, Yadav P, Kumar R, et al. A robust harmony search algorithm based clustering protocol for wireless sensor networks［C］//Communications Workshops (ICC), 2010 IEEE International Conference on. IEEE, 2010: 1-5.

［6］ Jaberipour M, Khorram E. Solving the sum-of-ratios problems by a harmony search algorithm［J］．Journal of computational and applied mathematics, 2010, 234(3): 733-742.

［7］ Poursha M, Khoshnoudian F, Moghadam A S. Harmony search based algorithms for the optimum cost design of reinforced concrete cantilever retaining walls［J］．International Journal of Civil Engineering, 2011, 9(1): 1-8.

［8］ Khazali A H, Kalantar M. Optimal reactive power dispatch based on harmony search algorithm ［J］．International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2011, 33(3): 684-692.

［9］ Khazali A H, Parizad A, Kalantar M. Optimal voltage/reactive control by an improve harmony search algorithm［J］．Int. Rev. Electr. Eng.-I. v5, 2010: 217-224.

［10］Khorram E, Jaberipour M. Harmony search algorithm for solving combined heat and power economic dispatch problems［J］．Energy Conversion and Management, 2011, 52(2): 1550-1554.

A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（責任編輯：關立新）

endprint

從表3可以看出對于實驗2，5組測試數據，“本文算法獲得最優前端”距離“標準最優前端”的平均距離都小于1E-04,也很接近最優前端。與GA、PSO、TS、SA相比，本文算法對第1個評價指標的測試結果明顯占優，對其它2個指標也具有一定的優勢。由圖8-圖12可以看出（標準最優前端是在沒有對投資數目和投資比例做限制時獲得的），本文算法獲得的最優前端和標準最優前端也很接近，并且分布也較為均勻。圖7 實驗1中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較圖8 實驗2中數據HangSeng（D=31）的最優前沿比較圖9 實驗2中數據DAX100（D=85）的最優前沿比較圖10 實驗2中數據FTSE100（D=89）的最優前沿比較圖11 實驗2中數據S&P100（D=98）的最優前沿比較圖12 實驗2中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較

四、結論分析本文提出的動態調整策略是為了在全局探索（Exploration）和局部開發(Exploitation)之間實現有效平衡，在迭代初期需要較強的全局擾動能力，此時可以在優化目標向量 xnew上加大擾動力度，增強種群多樣性，使其具有較強的全局探索能力。隨著優化的進行，到了后期，多數個體可能已經聚集在了全局最優解附近，此時開始加強局部最優解的探索。為了有較高的成功率，對優化目標向量 xnew，選擇較少的維數進行優化調整，從而增強算法的求解精度。通過2個實驗來看，本文算法對投資組合優化問題的求解是可行有效的。

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［9］ Khazali A H, Parizad A, Kalantar M. Optimal voltage/reactive control by an improve harmony search algorithm［J］．Int. Rev. Electr. Eng.-I. v5, 2010: 217-224.

［10］Khorram E, Jaberipour M. Harmony search algorithm for solving combined heat and power economic dispatch problems［J］．Energy Conversion and Management, 2011, 52(2): 1550-1554.

A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（責任編輯：關立新）

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從表3可以看出對于實驗2，5組測試數據，“本文算法獲得最優前端”距離“標準最優前端”的平均距離都小于1E-04,也很接近最優前端。與GA、PSO、TS、SA相比，本文算法對第1個評價指標的測試結果明顯占優，對其它2個指標也具有一定的優勢。由圖8-圖12可以看出（標準最優前端是在沒有對投資數目和投資比例做限制時獲得的），本文算法獲得的最優前端和標準最優前端也很接近，并且分布也較為均勻。圖7 實驗1中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較圖8 實驗2中數據HangSeng（D=31）的最優前沿比較圖9 實驗2中數據DAX100（D=85）的最優前沿比較圖10 實驗2中數據FTSE100（D=89）的最優前沿比較圖11 實驗2中數據S&P100（D=98）的最優前沿比較圖12 實驗2中數據Nikkei（D=225）的最優前沿比較

四、結論分析本文提出的動態調整策略是為了在全局探索（Exploration）和局部開發(Exploitation)之間實現有效平衡，在迭代初期需要較強的全局擾動能力，此時可以在優化目標向量 xnew上加大擾動力度，增強種群多樣性，使其具有較強的全局探索能力。隨著優化的進行，到了后期，多數個體可能已經聚集在了全局最優解附近，此時開始加強局部最優解的探索。為了有較高的成功率，對優化目標向量 xnew，選擇較少的維數進行優化調整，從而增強算法的求解精度。通過2個實驗來看，本文算法對投資組合優化問題的求解是可行有效的。

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A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（責任編輯：關立新）

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