基于改進小波閾值去噪法的變形預測研究*

李明峰 歐江霞 王永明 解 晨 王 春

1)南京工業大學地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學測繪學院，武漢 430079

基于改進小波閾值去噪法的變形預測研究*

李明峰1)歐江霞1)王永明2)解 晨1)王 春1)

1)南京工業大學地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學測繪學院，武漢 430079

針對傳統小波閾值去噪算法的不足，根據變形監測數據特點及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出新的門限閾值估計方法與閾值處理函數，并應用于建筑物變形觀測數據時間序列建模。算例表明，改進后算法的去噪效果及預測值精度均優于常規方法。

小波閾值去噪;閾值函數;小波變換;時間序列;變形預測

變形預測通?？刹捎脮r間序列［1］、線性回歸［2］、灰色系統［3］、BP 神經網絡［4］等數學方法，在建立預測模型之前雖可通過穩健估計［5］、假設檢驗等方法剔除測量粗差，但未顧及數據采集過程中所受的噪聲干擾，模型可信度較低。小波閾值去噪在信號處理領域的優越性可較好地彌補這一缺陷。小波閾值去噪的效果很大程度上取決于門限閾值及閾值處理函數的選取，常用的固定閾值隨著小波分解尺度的增加易將有用信號去除，造成信號丟失;軟閾值函數［6－7］處理后的估計小波系數與含噪小波系數之間存在恒定偏差;硬閾值函數［6－7］則不具備連續性。本文根據變形監測數據的特點，提出與噪聲傳播特性相一致的新的門限閾值估計方法，針對軟閾值函數及硬閾值函數的不足構建新閾值處理函數，并將改進后的小波閾值去噪法應用于變形預測建模過程中。

1 小波閾值去噪原理與方法

信號在小波域內的能量主要集中在有限的系數中，而噪聲能量分布于整個小波域內。經小波變換后，信號的小波系數大于噪聲的小波系數，可通過設定相應的門限閾值，將小于該閾值的小波系數舍去，進而進行信號重構，達到去噪的目的。

1.1 小波變換

設φ(t)為平方可積函數，即φ(t)∈L2(R)，若其傅里葉變換(ω)滿足:

則稱φ(t)為基本小波。常用為基本小波函數有Haar、Daubechies(dbN)、Mexican Hat(mexh)、Morlet及Meyer等。設長度為N的觀測信號為:

式中，s(t)為原始信號，n(t)為服從N(0，σ2)的高斯白噪聲。對f(t)連續作J次小波變換，可得小波系數 ωj，k(j=1，…，J，k=1，…，N)［8］:

1.2 閾值及閾值函數

固定閾值按經驗可?。?－7］:

固定閾值可能將有用高頻信號去除。因此，趙瑞珍［9］、任超［10］等依據噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，對固定閾值估計方法進行了改進(稱ZR法)，但未顧及變形監測數據受噪聲干擾相對較小的特點，易造成信號失真。本文提出新的門限閾值估計公式:

由式(6)可知，新門限閾值估計方法降低了首層門限閾值，且與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致，即隨著分解尺度j的增加而減小。因此，新的門限閾值降低了有用高頻系數被舍去的風險。

傳統的閾值處理方法有硬閾值法和軟閾值法［6－7］。軟閾值函數的估計小波系數與含噪小波系數之間存在恒定偏差，硬閾值函數在定義域上的不連續會導致間斷點。故構建新的閾值函數:

由以上分析可知，式(8)的漸近線為y=x，即新的閾值函數是以=ωj，k為漸近線。因此，新閾值函數既克服了硬閾值函數的不連續性，又減小了軟閾值函數估計小波系數與含噪小波系數之間的恒定偏差。

2 算例分析

以某建筑物沉降監測點25期監測數據為例，其監測頻率為每天一次。對前20期數據(表1)進行小波閾值去噪處理，建立時間序列模型［11－12］，并預測未來5期的高程值。

表1 用于建模的實測數據Tab.1 Measurement data used for model establishment

采用db2小波對原始數據進行2層小波分解。表2為經4種小波閾值處理后的信噪比和均方差。對比表2中的信噪比及均方差可知，改進法的信噪比最高，均方差最小，具有更好的去噪效果。

表2 小波閾值去噪信噪比與均方差對比Tab.2 Comparison of SNR and MSE among four kinds of wavelet thresholding

圖1中，軟閾值法由于舍去了較多有用的信號，造成信號失真，數據曲線過于平滑;硬閾值法與ZR法的處理結果反映了原始數據的基本特征，但在觀測期數18～20處其數據變化呈上升趨勢，與原始數據變化規律不符;改進法的處理結果曲線比原始數據光滑，且與原始數據的變化規律相一致，去噪效果明顯優于其他方法。

令{x1}、{x2}、{x3}、{x4}分別代表由軟閾值法、硬閾值法、ZR法及改進法處理過的數據序列，分別建立時序模型。預測方程如下:

利用式(11)預測監測點未來5期的高程值，如表3所示。由表3可知，改進法時序模型最大預測誤差的絕對值及其絕對值的平均值最小，預測精度最高，而其他模型的預測值波動比較大、精度較低。同時，預測精度與小波閾值的去噪效果相一致，即數據序列的去噪效果越好，其建立的預測模型可信度越高，模型預測值越精確，在一定程度上彌補了其精度隨預測步數增加而降低的缺陷。

圖1 去噪效果對比Fig.1 Comparison of de-noised effects of four kinds of wavelet thresholding

步數 實測值/m 軟閾值時序模型 硬閾值時序模型 ZR 55 75 －0.61 10.455 67 －0.54 2 10.455 06 10.454 99 －0.07 10.454 93 0.13 10.454 97 －0.09 10.455 21 －0.15 3 10.454 98 10.454 16 0.82 10.454 41 0.57 10.454 43 0.55 10.454 95 0.03 4 10.454 65 10.454 57 0.08 10.454 97 －0.32 10.454 94 －0.29 10.454 97 －0.32 5 10.454 78 10.456 06 －1.28 10.455 85 －1.07 10.455 88 －1.10 10.455 02 －0.24誤差指標/mm/mm 1 10.455 14 10.455 84 －0.70 10.455 75 －0.61 10.4法時序模型 改進法時序模型預測值/m 誤差/mm 預測值/m 誤差/mm 預測值/m 誤差/mm 預測值/m 誤差最大絕對值 1.28 1.07 1.10 0.54平均絕對值0.59 0.54 0.53 0.26

由圖2可知，軟閾值時序模型、硬閾值時序模型、ZR法時序模型的預測值與實測值差距很大，而改進法時序模型在較好地去除觀測噪聲的情況下，得到更接近真實值的數據，具有較高的預測精度。

圖2 各模型預測值與實測值對比Fig.2 Comparison of predicted values and measured values

3 結語

變形監測數據不可避免地含有觀測噪聲，利用小波閾值去噪法建立數據分析模型，去除噪聲影響，可提高預測準確度。顧及門限閾值及閾值函數選取對去噪效果的影響，并根據監測數據及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出了新的門限閾值估計方法與閾值處理函數，通過對比現有小波閾值算法信噪比與均方差，驗證了所提方法的優越性。

依據經驗及信噪比確定的小波分解層數會對去噪效果產生不利影響，而現有的小波系數白噪聲檢驗僅適合于大樣本數據，因此，利用小波閾值去噪處理變形監測小樣本數據時，其最優分解層數的確定有待進一步研究。

1 黃聲享，尹暉，黃征.變形監測數據處理［M］.武漢:武漢大學出版社，2010.(Huang Shengxiang，Yin Hui，Huang Zheng.Data processing for deformation monitoring［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2010)

2 李明峰，等.基于雙參數線性化回歸的基坑變形分析與預報［J］.大地測量與地球動力學，2012(2):64 －67.(Li Mingfeng，et al.Deformation monitoring analysis and prediction for foundation pit based on two-parameter linearized regression［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2012(2):64－67)

3 焦明連，蔣延臣.基于小波分析的灰色預測模型在大壩安全監測中的應用［J］.大地測量與地球動力學，2009，(4):115 －117.(Jiao Minglian，Jiang Yanchen.Application of grey model based on wavelet analysis in dam safety monitoring［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009(4):115－117)

4 潘國榮，谷川.變形監測數據的小波神經網絡預測方法［J］.大地測量與地球動力學，2007(8):47 －50.(Pan Guorong，Gu Chuan.Wavelet neural network prediction method of deformation montoring data［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007(8):47 －50)

5 王新洲，陶本藻，邱衛寧.高等測量平差［M］.北京:測繪出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

6 Donoho D L，Johnstone I M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81:425 －455.

7 Donoho D L.De-noising by soft-thresholding ［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613 －627.

8 張維強，宋國鄉.基于一種新的閾值函數的小波域信號去噪［J］.西安電子科技大學學報:自然科學版，2004，31(2):296 － 303.(Zhang Weiqiang，Song Guoxiang.Signal de-noising in wavelet domain based on a new kind of thresholding function ［J］.Journal of Xidian University，2004，31(2):296－303)

9 趙瑞珍，宋國鄉，王紅.小波系數閾值估計的改進模型［J］.西北工業大學學報，2001，19(4):625 －628.(Zhao Ruizhen，Song Guoxiang，Wang Hong.Better threshold estimation of wavelet coefficients for improving de-noising ［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2001，19(4):625－628)

10 任超，沙磊，盧獻健.一種改進小波閾值算法的變形監測數據濾波方法［J］.武漢大學學報:信息科學版，2012，37(7):873 － 875.(Ren Chao，Sha Lei，Lu Xianjian.An adaptive wavelet thresholding de-noising for deformation analysis［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2012，37(7):873 －875)

11 趙燕榮，袁寶遠.基于小波的時序改進法在深基坑監測中的應用［J］.巖土力學，2008，29(12):3 381 －3 386.(Zhao Yanrong，Yuan Baoyuan.A method based on time series improvement method of wavelet applied to deep foundation pit monitoring［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29(12):3 381－3 386)

12 隋銘明，陳健，史玉峰.時間序列分析與頻譜分析聯合用于變形監測分析與預報［J］.工程勘察，2011(11):77－80.(Sui Mingming，Chen Jian，Shi Yufeng.Integration of time series analysis and spectrum analysis and its application in deformation data processing and forecasting［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2011(11):77 －80)

STUDY ON DEFORMATION PREDICTION BASED ON IMPROVED WAVELET THRESHOLD DE-NOISING METHOD

Li Mingfeng1)，Ou Jiangxia1)，Wang Yongming2)，Xie Chen1)and Wang Chun1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

According to the characteristics of deformation data and noise propagation on wavelet transforming in various scales，a new threshold estimation method and threshold processing function are proposed，and applied to establishment of time series model for deformation observation data.The advantage of improved wavelet de-noising method is demonstrated，and the precision of prediction value is higher than that with the conventional methods.

wavelet threshold de-noising;threshold function;wavelet transform;time series;deformation prediction

P207

A

1671-5942(2014)03-0068-04

2013-09-09

國家自然科學基金項目(41274009);江蘇省研究生科研創新計劃項目(CXLX13_422);南京市科技計劃項目(201101069);江蘇省測繪科研項目(JSCHKY201108)。

李明峰，男，1964年生，教授，博士生導師，主要研究方向為變形監測與災害預測理論與方法，E－mail:njuter@163.com。