基于穩健加權總體最小二乘的點云數據平面擬合*

歐江霞 李明峰 王永明 徐 燕

1)南京工業大學地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學測繪學院，武漢 430079

基于穩健加權總體最小二乘的點云數據平面擬合*

歐江霞1)李明峰1)王永明2)徐 燕1)

1)南京工業大學地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學測繪學院，武漢 430079

針對經驗權值偏差及掃描數據異常點對傳統加權整體最小二乘點云數據平面擬合精度的影響，提出既可自適應修正觀測向量權值及系數矩陣權值，又能剔除異常數據的穩健加權整體最小二乘算法。將新算法應用于擬合不同掃描距離獲取的點云數據，算例表明，與常規方法相比，該算法的單位權中誤差較小，平面擬合精度較優。

點云數據;平面擬合;最小二乘;穩健估計;權值

在點云數據平面擬合過程中，若僅觀測向量含有隨機誤差，則可通過建立高斯-馬爾科夫模型，采用最小二乘(least squares，LS)法求取平面參數的最或然值。由于受觀測條件、儀器精度等各種因素的影響，參與平面參數解算的所有觀測值均含有一定的隨機誤差，此時可采用顧及觀測向量誤差與系數矩陣誤差的總體最小二乘(total least squares，TLS)方法［1－4］。若獲取的觀測向量精度不等，則可根據每個觀測向量的精度確定其相對權值，并引入加權總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)方法［5－7］進行參數解算，提高參數的精確度。傳統的加權最小二乘模型中的權值根據經驗設定，缺乏嚴密性。對此，本文提出基于穩健估計的加權總體最小二乘(robust weighted total least squares，RWTLS)點云數據平面擬合算法，即在模型參數的迭代解算過程中自適應地修正觀測向量權值與系數矩陣權值，使各觀測向量的權值趨于合理，提高權值的可靠性，同時以3倍距離標準差為閾值，剔除異常數據，提高數據的可信度。將新算法應用于三維激光掃描點云數據平面擬合，驗證了其適用性。

1 穩健加權最小二乘平面擬合算法

1.1 加權最小二乘基本原理

點云數據平面擬合函數模型為:

式中，a、b、c為待求平面擬合參數。顧及觀測向量誤差與系數矩陣誤差的EIV(errors-in-variable)模型為:

式中，Z為含有隨機誤差ez的n×1維觀測向量，A是含有隨機誤差EA的n×m維系數矩陣，ξ為待估參數:

隨機誤差ez與EA的統計性質如下:

式中，“?”為Kronecker積，vec()為矩陣拉直變換，σ20為未知方差分量，QZ、QA為ez與eA的對稱、非奇異協因數陣，且有:

式中，PZ為觀測值權陣，PA為系數陣A的權陣，P0、PXY分別為系數陣A的行向量權陣及列向量矩陣。

加權總體最小二乘的參數估計準則為:

1.2 定權準則

由于系數矩陣A第三列為常數，不需要修正，則A的列向量權陣為:

入射角越小時，點云數據的點位精度越高;反之，精度越低。因此，可將入射角余弦值cosθi作為每個點云數據相應的權值［8－10］。若點云數據在x、y、z三個方向等精度獲取，則觀測值權陣PZ及系數陣A的行向量權陣PXY定義如下:

1.3 穩健加權總體最小二乘參數解算

參照非線性最小二乘的牛頓-高斯迭代算法，式(2)可改寫成如下形式:

式中，λ為n×1維拉格朗日乘數，通過對式(9)求導、求極值可計算出λ及ξ的值。結合文獻［5－6］中WTLS迭代算法與穩健估計的選權迭代思想［11］，并顧及點云數據的特點，提出穩健加權總體最小二乘算法。具體解算過程如下:

1)在利用總體最小二乘法求得平面參數估值的基礎上，計算各點的入射角余弦初始值cosθi(0)，并根據式(6)、(7)設定A的列向量權陣P0及A的行向量初始權陣PXY(0)、觀測值初始權陣PZ(0);

2)求取參數 ξ =［a，b，c］T的迭代初始值:

式中，Q0為 P0的廣義逆［5，10］;

6)計算點至平面的距離di、距離標準差σ:

式中，n為總觀測數。若di＞3σ，則認為該點為異常點，刪除;反之，保留;

8)計算單位權中誤差及平面擬合精度:

2 算例分析

利用徠卡C10三維激光掃描儀分別掃描距其20、30 m的標準反射板(反射率為90%)，獲得兩組點云數據(圖1)。

分別利用 LS、TLS、WTLS及 RWTLS法對兩個樣本點云數據進行平面擬合。本文采用奇異值分解(SVD)求解 TLS 參數估值［1，3］;依據式(6)、(7)設定WTLS中A的列向量權陣P0及A的行向量權陣PXY、觀測值權陣PZ，并將其作為RWTLS中對應權陣的初始值。各方法計算得到的平面參數及精度評定因子如表1、2所示。

圖1 實驗樣本的點云數據Fig.1 Point clouds in the experiments

表1中，各方法求得的擬合參數差異較小，其中，由于未顧及各觀測值的點位精度，TLS法的單位權中誤差及平面擬合精度最大，擬合效果最差;而WTLS以各點入射角為權值，建立加權解算模型，得到較合理的平面參數解;RWTLS在WTLS的基礎上，在解算過程中自適應地修正觀測向量權值及系數矩陣權值，同時以3倍距離標準差為閾值，剔除掃描數據中的異常點，通過迭代計算，獲得最優參數解，其精度相對LS法、TLS法及WTLS法分別提高了57%、62%、12%。

由表2可知，由于掃描距離較遠，掃描數據受入射角及外界信號干擾等因素的影響也隨之增加，各方法求得的平面參數差異較大，總體擬合精度較低。其中，WTLS法的單位權中誤差及平面擬合精度最大，表明根據先驗知識設定的權值與實際權值存在較大偏差，且一旦賦予了錯誤的權值進行參數解算，所求參數解的可信度較低，擬合精度遠遠低于其他各種方法。而RWTLS法在解算過程中根據數據特點不斷修正權值，獲得了最精確的平面參數解及最好的擬合效果。

表1 20 m處點云數據擬合精度比較Tab.1 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 20 m

表2 30 m處點云數據擬合精度比較Tab.2 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 30 m

3 結語

顧及觀測向量誤差及系數矩陣誤差的WTLS點云數據平面擬合法，在基于合理權值的前提下，可獲得比LS法、TLS法更好的擬合效果;而當權值存在偏差時，若不能得到修正，其擬合精度將大大降低。RWTLS法對所有誤差進行了最小化約束，并根據數據特點，不斷修正觀測向量權值及系數矩陣權值，同時在擬合過程中設置閾值，剔除異常數據，最終獲得最為精確的平面參數解，體現了該方法在點云數據平面擬合中較好的適用性。

WTLS法及RWTLS法中權值的設置缺少統一的原則，往往通過經驗確定，RWTLS法雖在迭代過程中修正權值，但也增加了運算次數。因此，如何獲取較精確合理的權陣初始值還需進一步研究。

1 魯鐵定，陶本藻，周世健.基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法［J］.武漢大學學報:信息科學版，2008，33(5):504 － 507.(Lu Tieding，Tao Benzao，Zhou Shijian.Modeling and algorithm of linear regression based on total least squares［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33(5):504 －507)

2 魯鐵定，周世健.總體最小二乘的迭代解法［J］.武漢大學學報:信息科學版，2010，35(11):1 351 －1 354.(Lu Tieding ，Zhou Shijian.An iterative algorithm for total least squares estimation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35(11):1 351 －1 354)

3 官云蘭，劉紹棠，周世健.基于整體最小二乘的穩健點云數據平面擬合［J］.大地測量與地球動力學，2011(5):80－ 83.(Guan Yunlan，Liu Shaotang，Zhou Shijian.Robust plane fitting of point clouds based on TLS［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(5):80 －83)

4 Burkhard S，Yaron A F.On the multivariate total leastsquares approach to empirical coordinate transformations［J］.Journal of Geodesy.2008，82(7):373 －383.

5 Burkhard S，Andreas W.On weighted total least-squars adjustment for linear regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82(6):415－421.

6 Shen Y Z，Li B F，Felus Y A.An iterative solution of weighted total least-squares adjustment［J］.Journal of Geodesy，2010，85(4):229 －238.

7 楊仕平，范東明，龍玉春.加權總體最小二乘算法的改進［J］.大地測量與地球動力學，2013(1):48 －52.(Yang Shiping，Fan Dongming，Long Yuchun.An improved weighted total least squares algorithm［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013(1):48 － 52)

8 Bucksch A，Lindenbergh R C，Van R J.Error budget of terrestrial laser scanning:influence of the intensity remission on the scan quality［R］.Novosibirsk:III International Scientific Congress Geo-Siberia，2007.

9 Soudarissanane S，Lindenbergh R，Menenti M.Teunissen.Incidence angle influence on the quality of terrestrial laser scanning points［C］.ISPRS Workshop Laserscanning，Paris，2009.

10 袁慶，樓立志，陳瑋嫻.基于加權整體最小二乘的點云數據平面擬合法［J］.大地測量與地球動力學，2011(6):1－ 3.(Yuan Qing，Lou Lizhi，Chen Weixian.Applying weighted total least-squares to the plane point cloud fitting of terrestrial laser scanning［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(6):1 －3)

11 王新洲，陶本藻，邱衛寧.高等測量平差［M］.北京:測繪出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

PLANE FITTING OF POINT CLOUDS BASED ON ROBUST WEIGHTED TOTAL LEAST SQUARES

Ou Jiangxia1)，Li Mingfeng1)，Wang Yongming2)and Xu Yan1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

A method of conventional weighted total least squares was proposed based on the robust weighted total least squares for eliminating the influences of point clouds anomalous points in laser scanning data on fitting precision.The method can be used to correct adaptively the weight of observation vector and and coefficient matrix，and remove anomalous data.The result of fitting analysis with the point clouds from different distances shows that the fitting accuracy with the method is better than the conventional methods.

point clouds;plane fitting;least square;robust estimation;weight

P207

A

1671-5942(2014)03-0160-04

2013-11-04

國家自然科學基金項目(41274009);江蘇省研究生科研創新計劃項目(CXLX13_422);南京市科技計劃項目(201101069);江蘇省測繪科研項目(JSCHKY201108)。

歐江霞，男，1989年生，碩士生，主要研究方向:大地測量數據處理方法研究。E－mail:oujx0512@163.com。