一種基于向量的空間圓檢測方法*

趙鵬飛

(上海市測繪院，上海 200063)

一種基于向量的空間圓檢測方法*

趙鵬飛

(上海市測繪院，上海 200063)

提出一種新的空間圓檢測方法。首先以觀測點擬合平面，然后采用空間向量構(gòu)成中垂面的方法擬合球殼，并加入圓心在擬合平面內(nèi)的限制條件，直接解算空間圓的圓心坐標(biāo)及半徑;同時在擬合過程中加入粗差剔除。該方法的數(shù)學(xué)模型可靠、擬合精度高，相比其他擬合方法，其實現(xiàn)更加簡便。

空間圓檢測;平面擬合;中垂面;球殼擬合;粗差剔除

在工程實踐中，經(jīng)常會遇到空間圓形物體的檢測，例如地鐵工程中的洞門檢測、隧道斷面檢測、收斂測量等，都可以歸納成空間圓的檢測問題。空間圓檢測的目的是精確獲得空間圓的圓心三維坐標(biāo)和空間圓的半徑。

一般來說，數(shù)據(jù)采集多使用高精度全站儀，以免棱鏡模式獲得空間圓特征點的三維坐標(biāo)，通過對測量點擬合來確定空間圓的參數(shù)。目前擬合方法主要有以下3種:

方法一［1］，直接把空間圓看成平面圓進(jìn)行擬合。這種方法存在較為明顯的缺陷，即很難保證特征點的采集是完全在一個平面上。所以，這種方法只是一種近似的擬合，適用于要求不是特別高的空間圓檢測。

方法二［2－4］，首先對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合，將觀測點投影到擬合平面上;然后采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式，將三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到平面內(nèi)，在平面內(nèi)進(jìn)行平面圓的擬合，得到圓心和半徑;最后將平面圓的圓心經(jīng)過坐標(biāo)反算轉(zhuǎn)換到原坐標(biāo)系中，得到空間圓的圓心。這種方法是目前使用最多也是較為成熟的一種方法，但其擬合過程復(fù)雜，實現(xiàn)起來也較繁瑣。

方法三［5－6］，分別擬合空間平面和球殼。球殼的擬合采用球體的標(biāo)準(zhǔn)二次方程的形式，用空間平面和球殼相交的方法確定空間圓。文獻(xiàn)［5］與［6］存在微小差異，文獻(xiàn)［6］增加了限制條件，即滿足球心在擬合平面上，其數(shù)學(xué)模型更為嚴(yán)密。

本文對空間圓的表達(dá)方式類似方法三，即以空間球殼和空間平面相交來表達(dá)一個空間圓。在擬合空間球殼的過程中采用空間向量構(gòu)成中垂面，通過中垂面求解球殼參數(shù)，再加入平面限制條件，最終精確求解空間圓的參數(shù)。為方便起見，將此方法稱為方法四。

1 空間平面的擬合

空間圓上的觀測點為 Pi，其坐標(biāo)為(xi、yi、zi)，i=1，2，3，…，n。空間平面的方程一般表達(dá)式為［7］:

觀測點Pi到擬合平面的距離為di，稱為點面距:

平面度體現(xiàn)了平面的平整程度與平面擬合的質(zhì)量。擬合平面的平面度可表示為:

在平面擬合時，可以根據(jù)點面距的大小剔除粗差。若某觀測點的殘差大于限差，則視該觀測量為粗差。限差可設(shè)定為2md或3md，或某個具體的數(shù)值。剔除粗差后重新解算參數(shù)，從而獲取最佳擬合平面。

2 球殼擬合的限制條件

可將觀測數(shù)據(jù)分別擬合成一個平面和一個空間球殼，用平面和空間球殼相交表示空間圓。但是擬合平面唯一，而擬合球殼有無窮多個。為使球殼唯一，可對其進(jìn)行限制。文獻(xiàn)［6］提出將其限制為該球殼的球心位于該擬合平面上，本文亦沿用該思路。如此，則觀測點沿平面法線方向的擾動在空間圓徑向方向的方向余弦為0，即平面擬合的誤差對球殼擬合沒有影響，也避免了所有觀測點均在同一平面而造成無數(shù)組解的特殊情況。

3 空間圓的擬合

球殼的擬合需加入球心位于擬合平面的條件約束，即公式(1)寫成約束方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:

在此方法中，球殼的半徑即為空間圓的半徑，球殼的球心坐標(biāo)即空間圓的圓心坐標(biāo)。球的半徑是球面上各個點到球心的距離的最或然值，即平均值。解出球心坐標(biāo)后，反算各觀測點到球心的距離為:

則球的半徑為:

觀測點到擬合球殼的距離為vi=Ri－R，稱為點球距。而此時點球距等價于空間圓的點圓距，所以空間圓的圓度可表示為:

同樣，可以根據(jù)點圓距的大小剔除粗差。若某觀測點的點圓距大于限差，則視該觀測點為粗差。限差可設(shè)定為2mc或3mc，或某個具體的數(shù)值。剔除粗差后重新解算參數(shù)，從而獲取最佳擬合球殼。

4 工程算例

為了驗證本文方法的正確性，以文獻(xiàn)［4］的數(shù)據(jù)為例對其進(jìn)行驗證(表1)。采用方法二、方法三、方法四3種方法分別對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計算，結(jié)果見表2。

表1 觀測點三維坐標(biāo)(單位:m)Tab.1 3D coordinates of observed points(unit:m)

表2 3種方法的擬合結(jié)果(單位:m)Tab.2 Results fitted with the three methods(unit:m)

采用上述幾種方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到幾乎完全一致的計算結(jié)果，參數(shù)互差均在1 mm以內(nèi)，可認(rèn)為這幾種方法完全等效。而方法四相比其他方法具有明顯的優(yōu)勢:數(shù)學(xué)模型簡便，便于電算程序?qū)崿F(xiàn)，可直接獲得空間圓參數(shù)，而且計算過程無需給定初值，無需繁瑣的擬合計算。

5 結(jié)論

本文提出一種平面與球殼相交，球殼擬合基于中垂面的空間圓檢測方法。其實現(xiàn)簡單，是一種行之有效的方法。在實際工作中，空間圓的檢測還需要注意以下幾點:

1)數(shù)據(jù)的采集應(yīng)盡量均勻地分布在整個空間圓的圓周上，避免擬合時產(chǎn)生病態(tài)矩陣。

2)粗差剔除應(yīng)根據(jù)實際情況設(shè)置限差。筆者在長期隧道洞門檢測工作中總結(jié)的粗差剔除經(jīng)驗如下:首先，在平面擬合中，將 di＞3md或 di＞1.5 cm的測量點作為粗差進(jìn)行剔除，直到滿足條件;然后，在空間圓擬合中，將vi＞2mc或vi＞1 cm作為粗差點進(jìn)行刪除，直至所有觀測點滿足條件，最終解算出空間圓的參數(shù)。

1 高俊強，陶建岳.利用免棱鏡全站儀進(jìn)行地鐵遂道斷面測量與計算［J］.北京:測繪通報.2005(10):41 －43.(Gao Junqiang，Tao Jianyue.Profile survey and computation of the subway tunnel using total-station instrument without prism［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2005(10):41 －43)

2 潘國榮，谷川，施貴剛.空間圓形物體檢測方法與數(shù)據(jù)處理［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007(3):28－30.(Pan Guorong，Gu Chuan，Shi Guigang.The methods and data processing for 3D circular object［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007(3):28 －30)

3 王解先，趙向陽.圓形軌道變形測量［J］.工程勘察，2003(4):60 － 64.(Wang Jiexian，Zhao Xiangyang.Deformation surveying of circular orbit［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2003(4):60 －64)

4 趙鵬飛，雷婉南.隧道洞門安裝檢測新方法［J］.工程勘察，2012(3):76 －78.(Zhao Pengfei，Lei Wannan.The new test method for installation and inspection of tunnel portal［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2012(3):76－78)

5 潘國榮，陳曉龍.空間圓形物體數(shù)據(jù)擬合新方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2008，28(2):92 －94.(Pan Guorong，Chen Xiaolong.A new method for 3D circular object fitting［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2008，28(2):92－94)

6 谷川，秦世偉.圓形隧道斷面檢測數(shù)據(jù)擬合新方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010(5):97－101.(A new method for fitting detection data of circular tunnel section［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010(5):97 －101)

7 王解先，季凱敏.工業(yè)測量擬合［M］.北京:測繪出版社，2008.(Wang Jiexian，Ji Kaimin.Industrial surveying fitting［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2008)

A METHOD FOR TESTING 3D-CIRCLE BASED ON VECTOR

Zhao Pengfei
(Shanghai Surveying and Mapping Institute，Shanghai200063)

A new method for 3D-circle testing was presented.In the method，all observed points are fitted to a plane，and the sphere can be fitted by mid vertical planes，which are composed of the space vector，the 3D-circle center locates in the fitted plane.The coordinates of the center and the radius can be calculated by the method directly.The gross error will be eliminated during the fitting process.Compared with other methods，the method is very easy to realize，and reliability and fitting precision are higher.

testing of 3D-circle;plane fitting;mid vertical planes;sphere fitting;elimination of gross error

P258

A

1671-5942(2014)03-0072-03

2013-09-13

趙鵬飛，男，1985年生，工程師，碩士，主要從事精密工程測量和測量數(shù)據(jù)處理。E－mail:zpf_paper@163.com。