基于位置和速度信息的GNSS衛星坐標多項式插值法*

宋傳峰 黨亞民 秘金鐘 薛樹強

(中國測繪科學研究院，北京 100830)

基于位置和速度信息的GNSS衛星坐標多項式插值法*

宋傳峰 黨亞民 秘金鐘 薛樹強

(中國測繪科學研究院，北京 100830)

用戶在對精密星歷或廣播星歷進行多項式擬合與插值時，會受到龍格現象的影響。利用衛星的位置和速度信息，可有效地減弱龍格現象的影響，8 h多項式插值弧段在檢核點處的殘差均在mm級。

全球導航衛星系統;精密星歷;廣播星歷;多項式插值;龍格現象

GNSS衛星在導航定位中是動態已知點，精確確定GNSS衛星的坐標是衛星導航定位的基礎。衛星的位置可以由廣播星歷或精密星歷計算得到。精密星歷由間隔15 min的離散數據點組成，要獲得任意時刻的衛星坐標，需要采用擬合或插值的方法。擬合或插值衛星軌道的方法有拉格朗日插值、切比雪夫多項式等。在進行多項式擬合或插值GNSS精密星歷時，為了達到需要的精度，常選擇較高階數的多項式，但隨著階數的增加，在擬合與插值節點處龍格現象尤為明顯［1－3］。傳統的做法是通過拼接相鄰天的星歷數據采用滑動窗口的方法進行計算，或多項式擬合時只取中間有效弧段，這樣不僅給用戶帶來了不便，而且數據利用率不高。

由于插值弧段在兩端缺少控制，在多項式插值時會產生龍格現象，而插值節點處的趨勢項信息能控制多項式的走向，有效地抑制龍格現象。本文利用衛星的位置和速度信息進行多項式擬合與插值，有效地減弱了龍格現象的影響，8 h插值弧段在檢核點處的殘差均在mm級，與IGS精密星歷精度相比完全可以忽略。

1 基于位置和速度信息的多項式插值法

由于速度與位置相比是無窮小量，若直接用式(1)求解參數顯然不合理。為了使速度信息在求取多項式系數時與位置信息起到相同的作用，需要合理確定觀測方程的權陣。

實際中，衛星的位置和速度都是通過特定的函數模型計算得到的，如精密星歷中的衛星位置和速度是在軌道積分過程中求解的，廣播星歷中衛星位置和速度是按星歷發布時刻的軌道參數計算得到的。避開不同函數模型之間的差異，則獲得任意時刻衛星位置和速度觀測值的函數模型為:

僅考慮高次項，則式(4)可近似表示為:

忽略不同時刻衛星位置間的相關性及同一時刻衛星位置和速度間的相關性，僅考慮同一時刻衛星位置和速度的觀測精度不同，則觀測方程權陣為:

弧段內任意時刻衛星坐標為:

2 算例分析與比較

2.1 精密星歷的多項式插值

SP3格式的精密星歷給出了15 min等間隔的衛星位置信息［4］，由于不直接包含速度信息，為了驗證速度信息在多項式插值時的作用，先通過滑動窗口的拉氏插值法計算出各節點的速度，然后再基于位置和速度信息將一較長弧段表示成多項式。

使用IGS發布的1 686周第3天的最終精密星歷，利用16階多項式對G01號衛星坐標進行多項式插值(m=n)，插值區間為2012-05-02 00:00～08:00(GPST)。為便于精度分析，每隔30 min選取一控制點進行多項式系數計算，所有時間間隔15 min的節點均作為檢核點。圖1為利用位置和速度信息與僅利用位置信息進行精密星歷多項式插值在檢核點處的衛星三維坐標殘差。

2.2 廣播星歷的多項式插值

廣播星歷精度稍差，但可直接獲得位置和速度信息。由文獻［5］可知，不同時刻發布的廣播星歷之間符合性不是很好，擬合成多項式時會產生跳躍。首先由插值弧段中間時刻附近發布的廣播星歷計算出間隔15 min的衛星位置和速度，然后基于式(1)、(6)利用廣播星歷中的位置和速度信息，將廣播星歷擬合成一m階多項式。

圖2為利用位置和速度信息與僅利用位置信息進行廣播星歷多項式插值在檢核點處的衛星三維坐標殘差。

2.3 結果分析

1)由圖1、2可知，僅利用位置信息進行多項式插值時在插值弧段兩端產生了嚴重的震蕩現象，其最大誤差可達dm級;而基于位置和速度信息的多項式插值，衛星坐標幾乎不受龍格現象的影響，其在檢核點處的殘差均在2 mm內，這與星歷本身精度相比完全可以忽略。

圖1 精密星歷多項式插值衛星三維坐標殘差Fig.1 Satellite coordinates residuals of polynomial interpolation of precise ephemeris

圖2 廣播星歷多項式插值衛星三維坐標殘差Fig.2 Satellite coordinates residuals of polynomial interpolation of broadcast ephemeris

2)算例中，為了進行精度分析，選取采樣間隔為30 min的控制點進行多項式系數計算，但實際中若采用間隔為15 min或更小的控制點則將會獲得更高的插值精度。

3)算例分析表明，利用趨勢項信息可明顯減弱龍格現象，若使用更長的插值弧段則需要提供更高階的趨勢項信息來減弱龍格現象的影響。

3 結語

通過精密星歷多項式插值和廣播星歷多項式插值，驗證了利用趨勢項信息能有效減弱龍格現象，但不同類型信息之間需要合理地配權。在實際應用中，可考慮利用趨勢項信息來進行多項式擬合或插值，其他插值方法也可以利用趨勢項信息來減弱龍格現象的影響。

1 洪櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛星精密星歷和鐘差三種內插方法的比較［J］.武漢大學學報:信息科學版，2006(6):516 －518.(Hong Ying，Ou Jikun，Peng Bibo.Three interpolation methods of precise ephemeris and clock offset of GPS satellite［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2006(6):516 －518)

2 Feng Y，Zheng Y.Efficient interpolations to GPS orbits for precise wide area applications［J］.GPS Solution，2009(9):67－72.

3 邱蕾，廖遠琴，花向紅.基于IGS精密星歷的衛星坐標插值［J］.測繪工程，2008(4):15 －18.(Qiu Lei，Liao Yuanqin，Hua Xianghong.Interpolation methods for satellite coordinate based on IGS precise ephemeris［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2008(4):15 －18)

4 劉剛，邵楠.兩種IGS精密星歷多項式插值方法的比較分析［J］.城市勘測，2012(10):107 －109.(Liu Gang，Shao Nan.Comparison and analysis of two methods for IGS precise ephemeris interpolation［J］.Urban Geotechnical Investigation and Surveying，2012(10):107 －109)

5 Horemuz M，Andersson J.Polynomial interpolation of GPS satellite coordinates［J］.GPS Solution，2006(10):67 －72.

POLYNOMIAL INTERPOLATION OF GNSS SATELLITE COORDINATES BASED ON POSITION AND VELOCITY INFORMATION

Song Chuanfeng，Dang Yamin，Bi Jinzhong and Xue Shuqiang
(Chinese Academy of Surveying and Mapping，Beijing 100830)

Polynomial fitting and interpolating of precise or broadcast ephemeris will be affected by Runge’s phenomenon.Satelites’position and velocity information were used to remove the influence of Runge’s phenomenon.The result shows that the outside precision of 8-hour fit interval can reach millimeter level.

GNSS;precise ephemeris;broadcast ephemeris;polynomial interpolation;Runge’s phenomenon

P228

A

1671-5942(2014)03-0108-03

2013-09-10

科技部863計劃重點項目(2011AA120503);科技部科技支撐計劃項目(2012BAB16B01);科技部863計劃項目(2013AA122501);北斗分析中心項目(GFZX0301040308-06)。

宋傳峰，男，1987年生，碩士研究生，主要從事GNSS衛星定軌與測量數據處理的研究工作。E－mail:297933297@qq.com。