GPS/INS緊組合導航中接收機鐘差建模*

甘 雨 隋立芬 肖國銳 段 宇 戚國賓

(信息工程大學地理空間信息學院，鄭州 450052)

GPS/INS緊組合導航中接收機鐘差建模*

甘 雨 隋立芬 肖國銳 段 宇 戚國賓

(信息工程大學地理空間信息學院，鄭州 450052)

提出利用功率譜密度分析、自相關函數分析、Allan方差分析等方法建立可靠的鐘差函數模型和隨機模型的思路，并對比分析了現有的兩種兩參數鐘差狀態模型——隨機游走型狀態模型和高斯-馬爾可夫型狀態模型。計算結果表明，在GPS/INS緊組合導航應用中，應使用高斯-馬爾可夫型鐘差狀態模型，并通過自相關分析等方法估計可靠的相關時間，方能準確地描述鐘差狀態變化。

GPS/INS;接收機鐘差;自相關函數;功率譜密度;高斯-馬爾可夫

GPS/INS緊組合導航采用Kalman濾波進行信息融合。在非差分組合模式下，一般將GPS接收機鐘差作為狀態參數的一部分參與濾波解算。Kalman濾波需要有可靠的函數模型及隨機模型，其中，接收機鐘差模型的可靠性影響GPS/INS緊組合的實際效果。許多學者研究了GPS衛星鐘差的建模問題［1－7］，但在接收機鐘差建模方面的研究較少，且現有的研究大多限于GPS單獨導航。Filho等［8］提出用一組白噪聲分量之和的形式逼近接收機鐘差，這種鐘差模型顯然忽略了鐘差中有色噪聲成分的影響;文獻［9］使用兩參數的鐘差狀態模型，其中鐘速參數用隨機游走模型表示;文獻［10］提出將鐘差、鐘速參數分為確定性部分和隨機部分分別進行參數化，增加了參數個數，降低了可觀測性。在GPS/INS緊組合方面，國內一些學者［11－12］提出將兩參數鐘差狀態模型中的鐘速參數用高斯-馬爾可夫模型描述，但沒有研究實際數據處理過程中如何精化模型參數的問題。本文分析了現有兩參數鐘差狀態模型的特點，根據時頻分析方法精化濾波模型的思路［13］，提出利用功率譜密度分析、自相關函數分析、Allan方差分析等方法建立鐘差函數模型和隨機模型，重點研究了隨機模型及鐘差相關時間的確定問題，并對兩種鐘差狀態模型的實際效果及鐘差相關時間參數的重要作用進行了分析。

1 GPS/INS緊組合導航中的鐘差模型

20 參數的非差GPS/INS緊組合導航狀態參數為:

式中，δt為GPS接收機鐘差(相位偏差)，δtr為接收機鐘速(頻率偏差)，其中接收機鐘差和接收機鐘速實用中一般為等效距離和等效距離變化率。

對于接收機鐘差參數，有:

式中，ωt為調頻白噪聲，具有功率譜密度qωt。

用隨機游走過程描述的鐘速參數為:

式中，ξr為調頻隨機游走過程δtr的驅動白噪聲，功率譜密度為 qξt。

用一階高斯－馬爾可夫過程描述的鐘速參數為:

式中，βc=1/Tc，Tc為該過程的相關時間，ηr為高斯－馬爾可夫過程的驅動白噪聲，qηt為功率譜密度。

一般而言，兩參數的鐘差狀態模型中，鐘差總是如式(1)所示，但鐘速采用隨機游走或高斯－馬爾可夫過程進行建模。本文中，兩種模型分別稱隨機游走型狀態模型和高斯－馬爾可夫型狀態模型。

2 鐘差狀態模型精化

2.1 調頻白噪聲模型

2.1.1 Allan 方差法

設頻率漂移的功率譜密度參數為 h－2、h－1、h0、h1、h2，則調頻白噪聲的功率譜密度為［9］:

頻率漂移的Allan方差為［14］:

式中，σt(τ)為Allan標準差。由雙對數Allan標準差(logσt(τ)－ logτ)進行分段擬合，求出 h－2、h－1、h0、h1、h2功率譜參數。

2.1.2 功率譜密度法

2.2 調頻隨機游走模型

2.2.1 Allan 方差法

由Allan方差和功率譜密度關系得調頻隨機游走過程驅動白噪聲的功率譜密度為［9］:

根據雙對數 Allan標準差(logσt(τ)－logτ)擬合斜率為1的部分，由式(5)求取h－2。

2.2.2 方差法

隨機游走過程驅動白噪聲譜密度所滿足的關系式為［16］:

可以看出，當 ΔT很小時，［δtr(t+ΔT)－δtr(t)］/ΔT實際上近似為隨機游走過程的微分——白噪聲 ξr。

2.3 高斯-馬爾可夫過程模型

高斯-馬爾可夫過程驅動白噪聲譜密度qηt為:

式中，σ2為高斯－馬爾可夫過程的方差。

雖然通過Allan方差可以得到一些G-M過程的信息，但是Allan方差對G-M過程的表達不夠精確，更理想的分析方法是自相關函數法。

利用自相關函數估計結果，通過式(10)可以求取 σ2及Tc，即可求得驅動白噪聲 ηr的譜密度 qηt。相關時間Tc=300 s，方差σ2=1.0的一階G-M過程的自相關函數如圖1所示。

3 計算與分析

3.1 GPS/INS緊組合中兩種鐘差狀態模型的應用

采用的GPS/INS實驗數據約30 min，IMU采樣頻率100 Hz，GPS采樣頻率1 Hz，對 GPS/INS數據進行緊組合解算。以載波相位差分獲得的位置作為參考解。

圖1 一階G-M過程的自相關函數Fig.1 Autocorrelation function of 1st order G-M process

GPS接收機時鐘為溫度補償石英振蕩器，Allan方差計算的典型數值［9］h0=2 × 10－19，h－2=2 ×10－20，應用中需考慮乘上光速c2進行單位轉換。對鐘速數據進行自相關分析，得到高斯－馬爾可夫過程模型的相關時間為 325.5 s，方差為 1.08 m2/s2，標準化后自相關函數如圖2所示。

圖2 鐘速數據的自相關分析結果Fig.2 Autocorrelation analysis results of clock drift

采用兩種方案進行緊組合解算，其中方案1為隨機游走型狀態模型，即式(1)和式(2)的鐘差模型;方案2為一階高斯-馬爾可夫型狀態模型，即式(1)和式(3)的鐘差模型。利用§2的建模方法確定函數模型和隨機模型，兩種方案的高程誤差結果如圖3所示，均方根統計見表1。

表1 兩種方案的均方根比較Tab.1 RMS comparison of the two schemes

由上述結果可以看出:

1)受到慣性元件誤差和GPS測量誤差的影響，不同鐘差模型得到的導航誤差的整體變化趨勢相近。

圖3 兩種方案的高程誤差Fig.3 Elevation error of the two schemes

2)高斯-馬爾可夫型狀態模型的結果優于隨機游走狀態模型。隨機游走可以看成是相關時間很長的一階G-M過程，當相關時間Tc→∞時，一階G-M過程轉化成隨機游走，這種過長的相關時間與實際的鐘速變化有所偏差。

3.2 不同模型參數下的鐘差模型效果比較

為了進一步比較兩種狀態模型的效果并反映高斯-馬爾可夫過程相關時間確定的重要性，設計4種方案進行解算:

方案3:譜密度參數仍取前述典型數值，取高斯－馬爾可夫過程的相關時間為900 s;

方案4:譜密度參數同方案3，取高斯-馬爾可夫過程的相關時間為1 800 s。

4 個方案的均方根結果統計如表2。從表2可以看出:

表2 4種方案的均方根比較Tab.2 RMS comparison of the four schemes

1)對比方案1、2與表1可知，由于隨機游走函數模型的固有問題，即使改變其隨機模型，計算結果和高斯-馬爾可夫過程狀態模型相比仍然較差。

2)對比方案3、4和表1可知，相關時間與真實情況相差愈大，導航誤差也越大。相關時間為高斯-馬爾可夫過程的關鍵參數，它確定的準確與否對濾波實際效果影響很大。

4 結語

高斯-馬爾可夫過程的相關時間參數能夠反映接收機的時變特性，是高斯-馬爾可夫過程建模的關鍵。利用自相關分析估計時鐘頻率偏差數據的相關時間，可以更加合理地反映接收機鐘速的實際變化規律。在GPS/INS緊組合導航應用中，應使用高斯-馬爾可夫型鐘差狀態模型，并通過自相關分析等方法估計可靠的相關時間，更準確地描述鐘差狀態變化。

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2 Epstein M，Freed G，Rajan J.GPS IIR rubidium clocks:Inorbit performance aspects［C］.35th Annual Precise Time and Time Interval(PTTI)Meeting，San Diego，2003.

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4 張清華，隋立芬，賈小林.應用Jones-Tryon Kalman濾波器對在軌GPS Rb鐘進行狀態檢測［J］.武漢大學學報:信息科學版，2012，37(4):436 － 439.(Zhang Qinghua，Sui Lifen，Jia Xiaolin.Monitor state of GPS Rb clock using Jones-Tryon Kalman filter［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan Universit，2012，37(4):436 －439)

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6 王繼剛，等.組合模型預報導航衛星鐘差［J］.大地測量與地球動力學，2012(1):84 －88.(Wang Jigang，et al.Combination models for navigation satellite clock prediction［J］.Journal of Ceodesy and Geodynamics，2012(1):84 － 88)

7 鄭作亞，陳永奇，盧秀山.灰色模型修正及其在實時GPS衛星鐘差預報中的應用研究［J］.天文學報，2008，49(3):306 － 320.(Zheng Zuoya，Chen Yongqi，Lu Xiushan.An improved grey model for the prediction of real-time GPS satellite clock bias［J］.Acta Astronomica Sinica，2008，49(3):306－320)

8 Filho E A M，et al.Real time estimation of GPS receiver Clock offset by the Kalman filter［C］.17th International Congress of Mechanical Engineering，2003.

9 Brown R G，Hwang P Y C.Introduction to random signals and applied Kalman filtering(3rd Edition)［M］.USA:John Wiley ＆ Sons，1997.

10 Chan F C，Pervan B.Stochastic modeling of GPS receiver clocks for improved positioning and fault detection performance［C］.ION GNSS 2009，Savannah，GA，2009.

11 袁信，俞濟祥，陳哲.導航系統［M］.北京:航空工業出版社，1993.(Yuan Xin，Yu Jixiang，Chen Zhe.Navigation system［M］.Beijing:Aviation Industry Press，1993)

12 吳富梅.GNSS/INS組合導航誤差補償與自適應濾波理論的拓展［D］.鄭州:信息工程大學，2010.(Wu Fumei.Error compensation and extension of adaptive filtering theory in GNSS/INS integrated navigation［D］.Zhengzhou:Information Engineering University，2010)

13 甘雨，等.利用時頻分析法精化GNSS/INS組合導航先驗濾波模型［J］.大地測量與地球動力學，2013(1):108－112.(Gan Yu，et al.Refining prior filtering model of GNSS/INS integrated navigation based on time-frequency analysis［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013(1):108－112)

14 冀峰，等.GPS接收機時鐘頻率漂移誤差分析及模型預測［J］.數據采集與處理，2010，25(4):544 －548.(Ji Feng，et al.Error analysis and model prediction of GPS receiver clock frequency drift［J］.Journal of Data Acquisition＆ Processing，2010，25(4):544 －548)

15 何正嘉，等.現代信號處理及工程應用［M］.西安:西安交通大學出版社，2007.(He Zhengjia，et al，Modern signal processing and its application［M］.Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，2007)

16 Maybeck P S.Stichastic models，estimation and control，Volume 1 ［M］.New York:Academic Press，1979.

MODELING RECEIVER CLOCK ERROR IN GPS/INS TIGHTLY INTEGRATED NAVIGATION

Gan Yu，Sui Lifen，Xiao Guorui，Duan Yu and Qi Guobin
(Institute of Geo－Spatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450052)

A method to constructe a reliable functional model and a stochastic model for clock error based on the theory of refining filter model by time-frequency analysis，power spectral density，autocorrelation and Allan variance was proposed.Comparison of the results calculateed with random walk type and with Gauss-Markov type shows that only by using Gauss-Markov type clock model together with the autocorrelation analysis of correlation time，the variation disciplinarian of clock can be represented properly.

GPS/INS;receiver clock error;autocorrelation function;power spectral density(PSD);Gauss-Markov

P228.41

A

1671-5942(2014)03-0129-04

2013-08-12

國家自然科學基金項目(40974010，41274016，41174006，40971306)。

甘雨，男，1988年生，博士研究生，研究方向為動態大地測量數據處理。E－mail:ganyu099@163.com。