化歸思想在中學數(shù)學中的作用

丁亞輝

[內(nèi)容摘要]化歸是轉(zhuǎn)化和歸納的簡稱?；瘹w不僅是一種重要的解題思想，也是一種重要的策略。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。

[關(guān)鍵詞]化歸；數(shù)學素質(zhì)；解題思想

化歸是轉(zhuǎn)化和歸納的簡稱，最早由匈牙利數(shù)學家羅沙？彼特提出來的。羅沙？彼特曾經(jīng)問了這樣一個問題：“假如在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當怎樣去做？”答案是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！绷_沙又問：“假如其它條件都不變，只是水壺中已有足夠的水，這時你應(yīng)該怎么做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把水壺放在煤氣灶上?！钡牵_沙認為這不是最好的回答。因為，“只有物理學家才會這樣做，而數(shù)學家則會倒去水壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一個問題化歸為先前的問題了?！?/p>

“把水倒掉！”的比喻有點夸張，但它的確表明了數(shù)學家思考與解決問題的一個特點：化歸，即將已知問題化成以前已經(jīng)會的問題。在化歸思想方法指導下，我們常常將不熟悉和難解決的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易知的、易解的或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的問題；將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、特殊的問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，使問題得以解決。

化歸在數(shù)學解題中幾乎無處不在，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)?；瘹w的基本功能是：陌生的化成熟悉的，復雜的化成簡單的，抽象的化成直觀的，不會的化成會的。說到底，化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系、相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：高次的轉(zhuǎn)化為低次，多元的轉(zhuǎn)化為一元，空間的的轉(zhuǎn)換為平面，配方法，整體代人法以及化動為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想，這也是辯證唯物主義的基本觀點。

例1 ：雞兔同籠。籠中有頭40，有足140，問雞、兔各有幾只？

分析：化歸的實質(zhì)是不斷變更問題，這里可以先對已知成分進行變形。每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，這是問題中不言而喻的已知成分。現(xiàn)在對問題中的已知成分進行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨立狀），又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月狀）。那么，籠中仍有頭40，而腳只剩下70只了，并且，這時雞的頭數(shù)與足數(shù)相等，而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等。有一只兔，就多出一只腳，現(xiàn)在有頭40，有足70，這就說明有兔30只，有雞10只。

化歸思想教學在中學數(shù)學教材中體現(xiàn)得較為寬廣。數(shù)學中可以實現(xiàn)化歸的方法很多，會解一元一次方程以后再解二元一次方程組的時候，只需消元把二元化為一元；掌握了三角形內(nèi)角和是180°以后，要求多邊形內(nèi)角和只需把多邊形分割成三角形就可以了；空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數(shù)的最值問題有時也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題。

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的策略。在生活中，我們面對一座郁郁蔥蔥長滿樹木的高山，通往山頂?shù)牡缆酚泻芏?，而我們熟悉的只有一條，這時候把你放在半山腰處，向上有幾條未知的道路，而向下有一條直通山底的道路，這時你的目標是到達山頂，你應(yīng)該怎么辦？我們常常有很多種選擇，有的人為了省力、省時，向上走去，有些人可以到達山頂，也有些人到不了山頂。有的人為了保險，回到山底，從我們熟悉的道路到達山頂，化歸思想為我們提供了比較穩(wěn)妥的上山策略。

銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思維方法和研究方法就是數(shù)學素質(zhì)。數(shù)學作為各門科學的重要基礎(chǔ)， 作為人類文明的重要支柱，在很多領(lǐng)域中起著關(guān)鍵性的作用。當今社會， 運用數(shù)學已成為每一個公民應(yīng)具備的素質(zhì)。隨著社會信息反饋的不斷深入， 出現(xiàn)用概率統(tǒng)計方式播報的天氣預報、用圖表表示的工作速度、用正態(tài)分布圖表示的生產(chǎn)工藝水平等。作為數(shù)學教師， 既要熟悉數(shù)學內(nèi)部的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、知識之間的聯(lián)系， 以及數(shù)學知識的背景、地位、作用和蘊含的數(shù)學文化，也要精通數(shù)學的基礎(chǔ)理論知識，加深對數(shù)學教材的認識，提高分析教材的能力。還應(yīng)該具備高一級的數(shù)學知識，了解與數(shù)學知識有關(guān)的擴展內(nèi)容、數(shù)學思想和方法， 拓寬知識領(lǐng)域， 豐富自己的知識儲備， 有比較開闊的數(shù)學視野，這樣才能在教學中以發(fā)展的眼光設(shè)計自己的課堂教學，避免犯科學性錯誤。

化歸思想是中學數(shù)學解題的重要思想方法，但并非萬能的方法，即并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決的?；瘹w思想的成功應(yīng)用是以“數(shù)學發(fā)現(xiàn)”為前提的。數(shù)學教師不能只停留在化歸的分析，而必須有創(chuàng)新的精神，不斷地進行新的研究，在研究中獲得新的方法和理論。

參考文獻：

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（責任編輯 史玉英）